2026年江苏省苏教版高二数学第五十七章线性规划专项训练题库试卷

2026年江苏省苏教版高二数学第五十七章线性规划专项训练题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在线性规划问题中，目标函数的最大值或最小值一定在可行域的顶点上取得，这一结论的几何依据是（）A.可行域是由若干条直线围成的封闭区域B.目标函数的等值线在可行域内平行移动时，最先与顶点相交C.线性规划问题的解集是凸集D.线性规划问题的目标函数是线性函数参考答案：B解析：线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点上取得，这一结论的几何证明基于凸集理论。当目标函数的等值线在可行域内平行移动时，最先与可行域的边界（顶点）相交的点即为最优解。选项A描述的是可行域的形状特征，但与最优解的取得条件无关；选项C是可行域为凸集的隐含前提，但不是最优解取得的原因；选项D描述的是目标函数的性质，与最优解的几何位置无关。2.已知线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤4，2x₁+x₂≥5，x₁≥0，x₂≥0，则该问题的可行域是否存在？（）A.存在，且为四边形区域B.存在，但为三角形区域C.不存在，因为约束条件矛盾D.存在，但为无界区域参考答案：C解析：将约束条件转化为不等式组：{x₁+x₂≤4{2x₁+x₂≥5{x₁≥0{x₂≥0观察前两个不等式，当x₁=0时，x₂≤4；当x₂=0时，2x₁≥5即x₁≥2.5。若x₁≥2.5且x₁+x₂≤4，则x₂≤1.5，但此时2x₁+x₂≥5不成立（2×2.5+1.5=6.5>5），因此无解。可行域不存在，选项C正确。3.某工厂生产A、B两种产品，每件A产品消耗原材料3kg，消耗电力2kW•h，利润为50元；每件B产品消耗原材料2kg，消耗电力3kW•h，利润为40元。工厂每周原材料供应量不超过120kg，电力供应量不超过90kW•h，则该工厂每周最大利润的线性规划模型为（）A.maxz=50x₁+40x₂，s.t.3x₁+2x₂≤120，2x₁+3x₂≤90，x₁≥0，x₂≥0B.maxz=40x₁+50x₂，s.t.2x₁+3x₂≤120，3x₁+2x₂≤90，x₁≥0，x₂≥0C.maxz=50x₁+40x₂，s.t.3x₁+2x₂≤90，2x₁+3x₂≤120，x₁≥0，x₂≥0D.maxz=40x₁+50x₂，s.t.3x₁+2x₂≤90，2x₁+3x₂≤120，x₁≥0，x₂≥0参考答案：A解析：设每周生产A产品x₁件，B产品x₂件，则目标函数为利润最大化：maxz=50x₁+40x₂约束条件为原材料和电力限制：{3x₁+2x₂≤120（原材料）{2x₁+3x₂≤90（电力）非负约束：x₁≥0，x₂≥0选项B和D错误地将原材料和电力的约束关系颠倒；选项C和D错误地将不等式方向颠倒。正确模型为选项A。4.在用图解法求解线性规划问题时，若目标函数的等值线与可行域的一条边平行，则该线性规划问题（）A.无解B.有唯一最优解C.有无穷多最优解D.最优解在可行域的内部参考答案：C解析：当目标函数的等值线与可行域的一条边平行时，说明沿该边移动等值线，目标函数值可以无限增大或减小（取决于最大化或最小化）。此时该边上的所有点都是最优解，因此有无穷多最优解。例如，maxz=2x₁+x₂，s.t.x₁+x₂=4，x₁≥0，x₂≥0，最优解为(4,0)到(0,4)之间的所有点。5.已知线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥1，x₁≥0，x₂≥0，则该问题的可行域的顶点个数为（）A.0B.1C.2D.3参考答案：C解析：将约束条件转化为不等式组：{x₁+x₂≤4{x₁-x₂≥1即x₁≥1+x₂{x₁≥0{x₂≥0在坐标系中绘制不等式对应的半平面：-x₁+x₂≤4：直线x₁+x₂=4下方区域-x₁≥1+x₂：直线x₁-x₂=1右下方区域-x₁≥0，x₂≥0：第一象限交集为三角形区域，顶点为(1,0)，(4,0)，(1,3)。6.若线性规划问题的目标函数为z=3x₁+5x₂，约束条件为：x₁+x₂≤6，x₁-x₂≥2，x₁≥0，x₂≥0，则该问题的最优解为（）A.(4,2)B.(6,0)C.(2,4)D.(0,6)参考答案：A解析：绘制可行域：-x₁+x₂=6：经过(6,0)，(0,6)-x₁-x₂=2：经过(2,0)，(0,-2)交集为三角形，顶点为(4,2)，(6,0)，(2,4)。计算目标函数值：-(4,2):z=3×4+5×2=22-(6,0):z=3×6+5×0=18-(2,4):z=3×2+5×4=26最大值为26，最优解为(2,4)。7.在单纯形法中，若某次迭代后，所有检验数均非正，则该线性规划问题（）A.无最优解B.有唯一最优解C.有无穷多最优解D.需要继续迭代参考答案：B解析：单纯形法中，检验数对应目标函数的系数。若所有检验数均非正，说明目标函数已无法增大（最大化问题）或减小（最小化问题），此时已达到最优解。若存在检验数为零，则有无穷多最优解；若存在检验数为正，则需继续迭代。8.已知线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥1，x₁≥0，x₂≥0，则该问题的可行域是否为凸集？（）A.是B.否C.部分是D.无法确定参考答案：B解析：可行域为所有约束条件的交集。绘制不等式对应的半平面：-x₁+x₂≤4：直线x₁+x₂=4下方区域-x₁-x₂≥1即x₁≥1+x₂：直线x₁-x₂=1右下方区域-x₁≥0，x₂≥0：第一象限交集为三角形区域，是凸集。但若约束条件为线性不等式，交集必为凸集。选项B错误，正确答案应为A。9.若线性规划问题的目标函数为z=2x₁+x₂，约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥1，x₁≥0，x₂≥0，则该问题的最优解为（）A.(4,0)B.(2,4)C.(3,1)D.(1,3)参考答案：A解析：绘制可行域：-x₁+x₂=4：经过(4,0)，(0,4)-x₁-x₂=1：经过(2,0)，(0,-1)交集为三角形，顶点为(4,0)，(2,4)，(3,1)。计算目标函数值：-(4,0):z=2×4+0=8-(2,4):z=2×2+4=8-(3,1):z=2×3+1=7最大值为8，最优解为(4,0)和(2,4)。10.在线性规划问题中，若增加一个新的约束条件，则可行域（）A.一定变大B.一定变小C.可能变大，可能变小，可能不变D.一定不变参考答案：B解析：增加一个新的约束条件相当于在坐标系中增加一条直线，可行域为所有约束条件的交集。若新约束与原可行域无交集，则可行域缩小；若新约束与原可行域有交集，则可行域不变或缩小。因此可行域不可能变大。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.线性规划问题的解集称为__________。参考答案：可行域解析：线性规划问题的解集是所有约束条件的交集，在几何上称为可行域，是凸集。2.若线性规划问题的目标函数为z=3x₁-2x₂，约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥1，x₁≥0，x₂≥0，则该问题的最优解为__________，最大值为__________。参考答案：(4,0)；8解析：绘制可行域，计算目标函数值，最优解为(4,0)，最大值为8。3.在单纯形法中，若某次迭代后，存在检验数为正，则说明目标函数__________。参考答案：可以增大解析：检验数对应目标函数的系数，若存在检验数为正，说明沿该方向移动可以增大目标函数值。4.若线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥1，x₁≥0，x₂≥0，则该问题的可行域的顶点个数为__________。参考答案：3解析：可行域为三角形，顶点为(1,0)，(4,0)，(1,3)。5.在线性规划问题中，若目标函数与约束条件均为线性函数，则该问题称为__________。参考答案：线性规划问题解析：线性规划问题是指目标函数和约束条件均为线性函数的优化问题。6.若线性规划问题的目标函数为z=2x₁+x₂，约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥2，x₁≥0，x₂≥0，则该问题的最优解为__________，最小值为__________。参考答案：(2,0)；4解析：绘制可行域，计算目标函数值，最优解为(2,0)，最小值为4。7.在单纯形法中，若某次迭代后，所有检验数均非正，则该线性规划问题__________。参考答案：有最优解解析：所有检验数均非正时，已达到最优解。8.若线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥1，x₁≥0，x₂≥0，则该问题的可行域是否为凸集？__________。参考答案：是解析：可行域为三角形，是凸集。9.在线性规划问题中，若增加一个新的约束条件，则可行域__________。参考答案：可能变小解析：增加新约束条件可能导致可行域缩小。10.若线性规划问题的目标函数为z=3x₁+5x₂，约束条件为：x₁+x₂≤6，x₁-x₂≥2，x₁≥0，x₂≥0，则该问题的最优解为__________，最大值为__________。参考答案：(4,0)；12解析：绘制可行域，计算目标函数值，最优解为(4,0)，最大值为12。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点上取得。（）参考答案：正确解析：根据线性规划的基本定理，最优解一定在可行域的顶点上取得。2.若线性规划问题的目标函数为z=2x₁+x₂，约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥2，x₁≥0，x₂≥0，则该问题的可行域为空集。（）参考答案：正确解析：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥2即x₁≥2+x₂，若x₁≥0，x₂≥0，则x₁+x₂≥2+x₂，矛盾，无解。3.在单纯形法中，若某次迭代后，存在检验数为零，则该线性规划问题有无穷多最优解。（）参考答案：正确解析：检验数为零说明沿该方向移动目标函数值不变，因此有无穷多最优解。4.若线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥1，x₁≥0，x₂≥0，则该问题的可行域为凸集。（）参考答案：正确解析：可行域为三角形，是凸集。5.在线性规划问题中，若目标函数与约束条件均为非线性函数，则该问题称为非线性规划问题。（）参考答案：正确解析：非线性规划问题是指目标函数或约束条件至少有一个为非线性函数。6.若线性规划问题的目标函数为z=3x₁-2x₂，约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥1，x₁≥0，x₂≥0，则该问题的最优解为(4,0)。（）参考答案：正确解析：绘制可行域，计算目标函数值，最优解为(4,0)。7.在单纯形法中，若某次迭代后，所有检验数均非正，则该线性规划问题无解。（）参考答案：错误解析：所有检验数均非正时，已达到最优解。8.若线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥1，x₁≥0，x₂≥0，则该问题的可行域为空集。（）参考答案：错误解析：可行域为三角形，非空。9.在线性规划问题中，若增加一个新的约束条件，则可行域可能变大。（）参考答案：错误解析：增加新约束条件不可能使可行域变大。10.若线性规划问题的目标函数为z=3x₁+5x₂，约束条件为：x₁+x₂≤6，x₁-x₂≥2，x₁≥0，x₂≥0，则该问题的最优解为(4,0)。（）参考答案：正确解析：绘制可行域，计算目标函数值，最优解为(4,0)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述线性规划问题的基本要素。参考答案：线性规划问题的基本要素包括：(1)决策变量：表示待求解的未知量；(2)目标函数：表示要最大化或最小化的线性函数；(3)约束条件：表示决策变量必须满足的线性等式或不等式。2.简述单纯形法的步骤。参考答案：单纯形法的步骤如下：(1)初始基本可行解：选择初始基变量，得到初始基本可行解；(2)检验最优性：计算检验数，若所有检验数均非正，则已达到最优解；(3)初始解：若存在检验数为正，则选择入基变量和出基变量，进行基变换，得到新的基本可行解；(4)迭代：重复步骤(2)和(3)，直到达到最优解。3.简述线性规划问题的可行域的性质。参考答案：线性规划问题的可行域具有以下性质：(1)凸性：可行域是凸集，即任意两个可行解的凸组合仍是可行解；(2)有界性：可行域可能是有界的，也可能是无界的；(3)空集：若约束条件矛盾，则可行域为空集。4.简述线性规划问题的最优解的性质。参考答案：线性规划问题的最优解具有以下性质：(1)唯一性：最优解可能唯一，也可能有无穷多个；(2)顶点性：最优解一定在可行域的顶点上取得；(3)整数性：若要求最优解为整数，则称为整数线性规划问题。5.简述线性规划问题的应用领域。参考答案：线性规划问题的应用领域包括：(1)生产计划：确定生产计划以最大化利润；(2)运输问题：确定运输方案以最小化运输成本；(3)资源分配：确定资源分配方案以最大化效益；(4)排班问题：确定排班方案以最小化成本。6.简述线性规划问题的图解法的步骤。参考答案：线性规划问题的图解法步骤如下：(1)绘制可行域：根据约束条件绘制不等式对应的半平面，求交集；(2)确定顶点：求可行域的所有顶点；(3)计算目标函数值：计算目标函数在每个顶点的值；(4)确定最优解：选择目标函数值最大或最小的顶点。7.简述线性规划问题的对偶问题的概念。参考答案：线性规划问题的对偶问题是另一个线性规划问题，其约束条件与原问题的目标函数相同，目标函数与原问题的约束条件相同。对偶问题具有以下性质：(1)对称性：原问题与对偶问题互为对偶；(2)弱对偶定理：原问题的目标函数值和对偶问题的目标函数值之间的关系；(3)强对偶定理：若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且目标函数值相同。8.简述线性规划问题的整数规划的概念。参考答案：线性规划问题的整数规划是指要求部分或全部决策变量为整数的线性规划问题。整数规划可以分为：(1)整数线性规划：要求所有决策变量为整数；(2)混合整数线性规划：要求部分决策变量为整数；(3)0-1线性规划：要求决策变量只能取0或1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产A、B两种产品，每件A产品消耗原材料3kg，消耗电力2kW•h，利润为50元；每件B产品消耗原材料2kg，消耗电力3kW•h，利润为40元。工厂每周原材料供应量不超过120kg，电力供应量不超过90kW•h，求每周最大利润的线性规划模型。参考答案：设每周生产A产品x₁件，B产品x₂件，则线性规划模型为：maxz=50x₁+40x₂s.t.3x₁+2x₂≤120{2x₁+3x₂≤90{x₁≥0{x₂≥02.某公司生产两种产品，每件产品A需要1小时加工时间，每件产品B需要2小时加工时间。公司每周有80小时加工时间，产品A的利润为每件100元，产品B的利润为每件80元。求每周最大利润的线性规划模型。参考答案：设每周生产产品Ax₁件，产品Bx₂件，则线性规划模型为：maxz=100x₁+80x₂s.t.x₁+2x₂≤80{x₁≥0{x₂≥03.某公司生产两种产品，每件产品A需要1kg原材料，每件产品B需要2kg原材料。公司每周有100kg原材料，产品A的利润为每件50元，产品B的利润为每件40元。求每周最大利润的线性规划模型。参考答案：设每周生产产品Ax₁件，产品Bx₂件，则线性规划模型为：maxz=50x₁+40x₂s.t.x₁+2x₂≤100{x₁≥0{x₂≥04.某公司生产两种产品，每件产品A需要1小时加工时间，每件产品B需要2小时加工时间。公司每周有80小时加工时间，产品A的利润为每件100元，产品B的利润为每件80元。求每周最大利润的线性规划模型。参考答案：设每周生产产品Ax₁件，产品Bx₂件，则线性规划模型为：maxz=100x₁+80x₂s.t.x₁+2x₂≤80{x₁≥0{x₂≥05.某公司生产两种产品，每件产品A需要1kg原材料，每件产品B需要2kg原材料。公司每周有100kg原材料，产品A的利润为每件50元，产品B的利润为每件40元。求每周最大利润的线性规划模型。参考答案：设每周生产产品Ax₁件，产品Bx₂件，则线性规划模型为：maxz=50x₁+40x₂s.t.x₁+2x₂≤100{x₁≥0{x₂≥06.某公司生产两种产品，每件产品A需要1小时加工时间，每件产品B需要2小时加工时间。公司每周有80小时加工时间，产品A的利润为每件100元，产品B的利润为每件80元。求每周最大利润的线性规划模型。参考答案：设每周生产产品Ax₁件，产品Bx₂件，则线性规划模型为：maxz=100x₁+80x₂s.t.x₁+2x₂≤80{x₁≥0{x₂≥07.某公司生产两种产品，每件产品A需要1kg原材料，每件产品B需要2kg原材料。公司每周有100kg原材料，产品A的利润为每件50元，产品B的利润为每件40元。求每周最大利润的线性规划模型。参考答案：设每周生产产品Ax₁件，产品Bx₂件，则线性规划模型为：maxz=50x₁+40x₂s.t.x₁+2x₂≤100{x₁≥0{x₂≥08.某公司生产两种产品，每件产品A需要1小时加工时间，每件产品B需要2小时加工时间。公司每周有80小时加工时间，产品A的利润为每件100元，产品B的利润为每件80元。求每周最大利润的线性规划模型。参考答案：设每周生产产品Ax₁件，产品Bx₂件，则线性规划模型为：maxz=100x₁+80x₂s.t.x₁+2x₂≤80{x₁≥0{x₂≥0【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.A4.C5.C6.A7.B8.B9.A10.B二、填空题1.可行域2.(4,0)；83.可以增大4.35.线性规划问题6.(2,0)；47.有最优解8.是9.可能变小10.(4,0)；12三、判断题1.正确2.正确3.正确4.正确5.正确6.正确7.错误8.错误9.错误10.正确四、简答题1.线性规划问题的基本要素包括：决策变量、目标函数、约束条件。2.单纯形法的步骤：初始基本可行解、检验最优性、初始解、迭代。3.线性规划问题的可行域的性质：凸性、有界性、空集。4.线