2026年江苏省苏教版高三数学第一章立体几何知识点巩固习题试卷

2026年江苏省苏教版高三数学第一章立体几何知识点巩固习题试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x-2y+3z=6的距离为（）A.1B.√14C.√22D.√26解析：点A到平面α的距离公式为d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)，代入A（1，2，3）和平面方程系数得d=|1×1-2×2+3×3+6|/√(1²+(-2)²+3²)=√22，故选C。2.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交，则直线l在平面α上的投影方程为（）A.x=1，y+z=0B.x=1，y-z=0C.x=0，y+z=1D.x=0，y-z=1解析：直线l与平面α的法向量（1，1，1）垂直，投影方向为（0，1，-1），投影平面方程为x=1，法向量为（1，1，1）×（0，1，-1）=（2，1，1），代入点（1，0，0）得y+z=0，故选A。3.若三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为△ABC的重心，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P-ABC的体积为（）A.√3/3B.√6/3C.2√3/3D.4√3/3解析：设底面面积为S，高为h，重心到顶点距离为2/3h，由射影性质得h²+(2/3h)²=2²，解得h=2√6/3，体积V=S•h/3，代入底面面积S=√3×2²/4=√3得V=4√2/3，故选B。4.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（）A.1/√3B.√2/2C.1/2D.√3/2解析：底面中心O到顶点距离为√2，SO=√(√3²-(√2)²)=1，侧面三角形高为√(√3²-1²)=√2，二面角余弦为√2/√3，故选A。5.在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=1，AA₁=2，则点B₁到平面ACC₁A₁的距离为（）A.1B.√2/2C.√3/2D.√5/2解析：平面ACC₁A₁的法向量为（1，0，1）×（0，1，1）=（-1，-1，1），点B₁（0，1，2）到平面的距离为|-1×0-1×1+1×2|/√3=√2/2，故选B。6.已知球O的半径为R，点P在球面上，OP与球面上过点P的某大圆所在平面的距离为R/2，则OP与大圆所在平面的夹角为（）A.π/6B.π/4C.π/3D.π/2解析：设大圆平面为α，OP与α的夹角为θ，OP在α上的投影为OP'，由三棱锥体积公式得R•R•sinθ•R/3=R•OP'•R/3，解得sinθ=1/2，θ=π/6，故选A。7.若四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，则二面角B-PC-D的余弦值为（）A.1/√3B.√2/2C.1/2D.√3/2解析：取CD中点E，连接BE，PC，∠BPC即为二面角B-PC-D的平面角，BE=√2，PC=√(2²+1²)=√5，BC=√(1²+1²)=√2，cos∠BPC=(√2²+√5²-√2²)/(2×√2×√5)=√5/5，故选D。8.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的正切值为（）A.2√2B.√3C.√6/3D.2√3解析：底面中心O到顶点距离为√3/3×2=2√3/3，SO=√(3²-(2√3/3)²)=√15/3，侧面三角形高为√(3²-(2√3/3)²)=√6，二面角正切为(√6)/(2√3/3)=3√2/2，故选A。9.在空间直角坐标系中，点A（1，1，1）到直线l：x+y+z=1，x-y+z=0的距离为（）A.√2/2B.√3/2C.1D.√2解析：直线l的方向向量为（1，1，1）×（-1，1，1）=（0，-2，2），单位方向向量为（0，-1，1）/√2，点A到直线的距离为|(1，1，1)•(0，-1，1)/√2-1|/√2=√2/2，故选A。10.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P在棱CC₁上运动，则点P到平面ABCD的距离为（）A.1B.√2/2C.√3/2D.1/2解析：点P（0，1，z）到平面x+y=1的距离为|0+1-1|/√2=√2/2，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为△ABC的垂心，且PA=PB=PC=3，则三棱锥P-ABC的表面积为_________。解：设底面面积为S，高为h，重心到顶点距离为2/3h，由射影性质得h²+(2/3h)²=3²，解得h=3√6/3=√6，体积V=S•h/3，表面积S表=S+3×(1/2)×3×3=3S+27，由等体积法S=9√3，S表=9√3+27，故填9√3+27。2.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为3，侧棱长为√7，则侧面与底面所成二面角的正弦值为_________。解：底面中心O到顶点距离为√2，SO=√(√7²-(√2)²)=√5，侧面三角形高为√(√7²-1²)=√6，二面角正弦为√6/√7，故填√42/7。3.在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=2，BC=1，AA₁=3，则点B₁到平面ACC₁A₁的距离为_________。解：平面ACC₁A₁的法向量为（1，0，1）×（0，1，1）=（-1，-1，1），点B₁（0，1，3）到平面的距离为|-1×0-1×1+1×3|/√3=√3，故填√3。4.已知球O的半径为2，点P在球面上，OP与球面上过点P的某大圆所在平面的距离为1，则OP与大圆所在平面的夹角为_________。解：设大圆平面为α，OP与α的夹角为θ，OP在α上的投影为OP'，由三棱锥体积公式得2•2•sinθ•2/3=2•OP'•2/3，解得sinθ=1/2，θ=π/6，故填π/6。5.若四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=√2，则二面角B-PC-D的余弦值为_________。解：取CD中点E，连接BE，PC，∠BPC即为二面角B-PC-D的平面角，BE=√2，PC=√(2²+(√2)²)=√8，BC=√(√2²+√2²)=2，cos∠BPC=(2²+√8²-2²)/(2×2×√8)=√2/4，故填√2/4。6.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，侧棱长为5，则侧面与底面所成二面角的余弦值为_________。解：底面中心O到顶点距离为√3/3×4=4√3/3，SO=√(5²-(4√3/3)²)=√19/3，侧面三角形高为√(5²-(4√3/3)²)=√19，二面角余弦为√19/(4√3/3)=3√19/12，故填3√19/12。7.在空间直角坐标系中，点A（2，1，3）到直线l：x-y+z=1，x+y+z=3的距离之和为_________。解：直线l的方向向量为（1，-1，1）×（1，1，1）=（-2，0，2），单位方向向量为（-1，0，1）/√2，点A到直线的距离为|(2，1，3)•(-1，0，1)/√2-1|/√2=√2，故填2√2。8.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P在棱CC₁上运动，则点P到平面ABCD的距离的最大值为_________。解：点P（0，2，z）到平面x+y=1的距离为|0+2-1|/√2=√2/2，当z=2时取最大值√2，故填√2。9.若三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为△ABC的内心，且PA=PB=PC=4，则三棱锥P-ABC的体积为_________。解：设底面面积为S，高为h，内心到顶点距离为2/3R，由射影性质得h²+(2/3R)²=4²，解得h=4√6/3，体积V=S•h/3，由等体积法S=16√3，V=32√2，故填32√2。10.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，侧棱长为√10，则侧面与底面所成二面角的正切值为_________。解：底面中心O到顶点距离为√2，SO=√(√10²-(√2)²)=√8，侧面三角形高为√(√10²-1²)=√9，二面角正切为√9/√8=3√2/4，故填3√2/4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为△ABC的外心，则PA=PB=PC。解：外心到顶点距离相等，故正确。2.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P在棱CC₁上运动，则点P到平面ABCD的距离为定值。解：点P（0，1，z）到平面x+y=1的距离为|0+1-1|/√2=√2/2，故正确。3.若四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则二面角B-PC-D为直二面角。解：PC⊥BC，PC⊥CD，BC∩CD=C，故正确。4.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的正弦值为√3/2。解：底面中心O到顶点距离为√3/3×2=2√3/3，SO=√(3²-(2√3/3)²)=√6，侧面三角形高为√(3²-(2√3/3)²)=√6，二面角正弦为√6/3，故错误。5.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x-y+z=1，x+y+z=0的距离为√3/2。解：直线l的方向向量为（1，-1，1）×（1，1，1）=（-2，0，2），单位方向向量为（-1，0，1）/√2，点A到直线的距离为|(1，2，3)•(-1，0，1)/√2-1|/√2=√2/2，故错误。6.若三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为△ABC的垂心，则PA⊥BC。解：射影性质，故正确。7.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为3，侧棱长为√5，则侧面与底面所成二面角的余弦值为√5/3。解：底面中心O到顶点距离为√2，SO=√(√5²-(√2)²)=√1，侧面三角形高为√(√5²-1²)=√4，二面角余弦为√4/√5=2√5/5，故错误。8.在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=1，BC=2，AA₁=3，则点B₁到平面ACC₁A₁的距离为√2。解：平面ACC₁A₁的法向量为（1，0，1）×（0，2，1）=（-2，-1，2），点B₁（0，2，3）到平面的距离为|-2×0-1×2+2×3|/√9=√2，故正确。9.已知球O的半径为1，点P在球面上，OP与球面上过点P的某大圆所在平面的距离为1/2，则OP与大圆所在平面的夹角为π/3。解：设大圆平面为α，OP与α的夹角为θ，OP在α上的投影为OP'，由三棱锥体积公式得1•1•sinθ•1/3=1•OP'•1/3，解得sinθ=1/2，θ=π/6，故错误。10.若四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=√3，则二面角B-PC-D的余弦值为√3/2。解：取CD中点E，连接BE，PC，∠BPC即为二面角B-PC-D的平面角，BE=√2，PC=√(2²+(√3)²)=√7，BC=√(√3²+√3²)=√6，cos∠BPC=(√3²+√7²-√6²)/(2×√3×√7)=√21/7，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P在棱CC₁上运动，求点P到平面ABCD的距离的表达式。解：点P（0，2，z）到平面x+y=1的距离为|0+2-1|/√2=√2/2，故距离为√2/2。2.若三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为△ABC的重心，且PA=PB=PC=1，求三棱锥P-ABC的体积。解：设底面面积为S，高为h，重心到顶点距离为2/3h，由射影性质得h²+(2/3h)²=1²，解得h=2√6/3，体积V=S•h/3，由等体积法S=√3，V=2√2/3。3.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为3，侧棱长为√5，求侧面与底面所成二面角的正切值。解：底面中心O到顶点距离为√2，SO=√(√5²-(√2)²)=√1，侧面三角形高为√(√5²-1²)=√4，二面角正切为√4/√5=2√5/5。4.在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=1，BC=2，AA₁=3，求点B₁到平面ACC₁A₁的距离。解：平面ACC₁A₁的法向量为（1，0，1）×（0，2，1）=（-2，-1，2），点B₁（0，2，3）到平面的距离为|-2×0-1×2+2×3|/√9=√2。5.已知球O的半径为2，点P在球面上，OP与球面上过点P的某大圆所在平面的距离为1，求OP与大圆所在平面的夹角。解：设大圆平面为α，OP与α的夹角为θ，OP在α上的投影为OP'，由三棱锥体积公式得2•2•sinθ•2/3=2•OP'•2/3，解得sinθ=1/2，θ=π/6。6.若四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，求二面角B-PC-D的余弦值。解：取CD中点E，连接BE，PC，∠BPC即为二面角B-PC-D的平面角，BE=√2，PC=√(2²+(1)²)=√5，BC=√(1²+1²)=√2，cos∠BPC=(√2²+√5²-√2²)/(2×√2×√5)=√5/5。7.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，侧棱长为5，求侧面与底面所成二面角的正弦值。解：底面中心O到顶点距离为√3/3×4=4√3/3，SO=√(5²-(4√3/3)²)=√19/3，侧面三角形高为√(5²-(4√3/3)²)=√19，二面角正弦为√19/(4√3/3)=3√19/12。8.在空间直角坐标系中，点A（1，1，1）到直线l：x+y+z=1，x-y+z=0的距离，求距离之和。解：直线l的方向向量为（1，-1，1）×（1，1，1）=（-2，0，2），单位方向向量为（-1，0，1）/√2，点A到直线的距离为|(1，1，1)•(-1，0，1)/√2-1|/√2=√2，故距离之和为2√2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点P在棱CC₁上运动，求点P到平面ABCD的距离的最大值和最小值。解：点P（0，3，z）到平面x+y=1的距离为|0+3-1|/√2=√2，当z=3时取最大值√2，当z=0时取最小值√2，故最大值为√2，最小值为√2。2.若三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为△ABC的垂心，且PA=PB=PC=5，求三棱锥P-ABC的表面积。解：设底面面积为S，高为h，重心到顶点距离为2/3h，由射影性质得h²+(2/3h)²=5²，解得h=5√6/3，体积V=S•h/3，表面积S表=S+3×(1/2)×5×5=3S+75，由等体积法S=25√3，S表=75+75√3。3.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，侧棱长为√6，求侧面与底面所成二面角的正切值。解：底面中心O到顶点距离为√2，SO=√(√6²-(√2)²)=√4，侧面三角形高为√(√6²-1²)=√5，二面角正切为√5/√4=√5/2。4.在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=2，BC=3，AA₁=4，求点B₁到平面ACC₁A₁的距离。解：平面ACC₁A₁的法向量为（1，0，1）×（0，3，1）=（-3，-1，3），点B₁（0，3，4）到平面的距离为|-3×0-1×3+3×4|/√19=3√19/19。5.已知球O的半径为3，点P在球面上，OP与球面上过点P的某大圆所在平面的距离为1.5，求OP与大圆所在平面的夹角。解：设大圆平面为α，OP与α的夹角为θ，OP在α上的投影为OP'，由三棱锥体积公式得3•3•sinθ•3/3=3•OP'•3/3，解得sinθ=1/2，θ=π/6。6.若四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=3，AB=2√2，求二面角B-PC-D的余弦值。解：取CD中点E，连接BE，PC，∠BPC即为二面角B-PC-D的平面角，BE=√2，PC=√(3²+(2√2)²)=√17，BC=√(2√2²+2√2²)=4，cos∠BPC=(4²+√17²-4²)/(2×4×√17)=√17/17。7.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为6，侧棱长为7，求侧面与底面所成二面角的正弦值。解：底面中心O到顶点距离为√3/3×6=2√3，SO=√(7²-(2√3)²)=√13，侧面三角形高为√(7²-(2√3)²)=√13，二面角正弦为√13/(2√3)=√39/6。8.在空间直角坐标系中，点A（2，3，4）到直线l：x-y+z=2，x+y+z=4的距离，求距离之和。解：直线l的方向向量为（1，-1，1）×（1，1，1）=（-2，0，2），单位方向向量为（-1，0，1）/√2，点A到直线的距离为|(2，3，4)•(-1，0，1)/√2-2|/√2=√2，故距离之和为2√2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.B4.A5.B6.A7.D8.A9.A10.B解析：1.距离公式计算；2.投影方程求解；3.体积公式计算；4.投影方向与法向量关系；5.点到平面距离公式；6.球面几何性质；7.二面角余弦计算；8.正切值计算；9.距离公式计算；10.正方体几何性质。二、填空题1.9√3+2712.√42/713.√314.π/615.√2/416.3√19/1217.2√218.√219.32√220.3√2/4解析：11.体积法计算表面积；12.正切值计算；13.点到平面距离公式；14.球面几何性质；15.二面角余弦计算；16.正弦值计算；17.距离公式计算；18.正方体几何性质；19.体积法计算；20.正切值计算。三、判断题1.√22.√23.√24.×25.×26.√27.×28.√29.×30.×解析：21.外心性质；22.正方体几何性质；23.垂直关系；24.正三棱锥几何性质；25.距离公式计算；26.射影性质；27.二面角余弦计算；28.点到平面距离公式；29.球面几何性质；30.二面角余弦计算。四、简答题1.点P（0，2，z）到平面x+y=1的距离为|0+2-1|/√2=√2/2。2.设底面面积为S，高为h，重心到顶点距离为2/3h，由射影性质得h²+(2/3h)²=1²，解得h=2√6/3，体积V=S•h/3，由等体积法S=√3，V=2√2/3。3.底面中心O到顶点距离为√2，SO=√(√5²-(√2)²)=√1，侧面三角形高为√(√5²-1²)=√4，二面角正切为√4/√5=2√5/5。4.平面ACC₁A₁的法向量为（1，0，1）×（0，2，1）=（-2，-1，2），点B₁（0，2，3）到平面的距离为|-2×0-1×2+2×3|/√9=√2。5.设大圆平面为α，OP与α的夹角为θ，OP在α上的投影为OP'，由三棱锥体积公式得2•2•sinθ•2/3=2•OP'•2/3，解得sinθ=1/2，θ=π/6。6.取CD中点E，连接BE，PC，∠BPC即为二面角B-PC-D的平面角，BE=√2，PC=√(2²+(1)²)=√5，BC=√(1²+1²)=√2，cos∠BPC=(√2²+√5²-√2²)/(2×√2×√5)=√5/5。7.底面中心O到顶点距离为√3/3×4=4√3/3，SO=√(5²-(4√