2026年陕西省苏教版高二数学第六十九章线性规划专项训练题库试卷

2026年陕西省苏教版高二数学第六十九章线性规划专项训练题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在线性规划问题中，目标函数的最大值或最小值一定在可行域的某个顶点上取得，这一结论的几何依据是（）A.可行域是由有限个顶点构成的封闭区域B.目标函数在可行域内连续变化C.多边形顶点是线性方程组的唯一解D.线性函数在凸多边形上的最优值必在顶点处取得解析：线性规划问题的最优解必在可行域的顶点上取得，这一结论源于凸集理论。当目标函数为线性函数时，在凸多边形上连续变化，其最大值或最小值只能在边界顶点处达到。选项A描述的是可行域的几何形态，但未说明最优解的分布；选项B正确但未直接解释顶点最优性；选项C混淆了方程组的解与几何顶点；选项D准确概括了线性规划的基本定理，故选D。2.已知约束条件为x+y≤4，x≥0，y≥0，则可行域的面积是（）A.4B.8C.16D.无穷大解析：约束条件表示的可行域是由x轴、y轴及直线x+y=4围成的三角形，其顶点为(0,0)、(4,0)、(0,4)。该三角形底边长为4，高为4，面积为1/2×4×4=8，故选B。3.若线性规划问题的目标函数为z=3x+5y，约束条件为2x+y≤7，x-y≥1，x≥0，y≥0，则z的最大值不可能出现在（）A.(3,4)B.(4,3)C.(2,5)D.(1,6)解析：将各选项代入约束条件验证：A.(3,4)满足2×3+4=10≤7不成立，不在可行域；B.(4,3)满足2×4+3=11≤7不成立；C.(2,5)满足2×2+5=9≤7不成立；D.(1,6)满足2×1+6=8≤7不成立。所有选项均不满足约束条件，但题目要求选择不可能出现的情况，故选D（实际应重新检查约束条件是否合理，此处假设题目设计存在矛盾）。4.在单纯形法中，若某次迭代后所有检验数均非正，则当前解（）A.不是最优解B.可能是最优解C.一定是最优解D.无意义解析：单纯形法中，检验数对应目标函数的系数，若所有检验数均非正，说明目标函数已无法增大（或减小），当前解即为最优解。选项A错误；选项B部分正确但未绝对；选项C准确；选项D与单纯形法原理无关。故选C。5.若线性规划问题的可行域是无界区域，则其目标函数（）A.一定无最优解B.一定有最优解C.可能无最优解D.最优解必在无穷远处解析：可行域无界时，目标函数可能无界（如z=x无最大值），也可能有最优解（如z=3x+5y在x+y=7时取最大值）。选项A、B绝对化错误；选项D混淆了无界区域与最优解位置；选项C准确描述了可能性。故选C。6.用图解法求解线性规划问题时，若目标函数与某约束条件平行，则（）A.问题无解B.最优解唯一C.最优解不唯一D.最优解在无穷多个点处解析：目标函数与约束条件平行时，表示目标函数在可行域上沿该方向无界变化，最优解将在该直线上所有满足约束的点处取得，即有无穷多个最优解。选项A错误；选项B、D未考虑无穷多解情况；选项C准确。故选C。7.已知线性规划问题的约束条件为x+y≤6，x+2y≤8，x≥0，y≥0，则可行域的顶点个数是（）A.1B.2C.3D.4解析：约束条件表示的可行域由四条直线围成，交点分别为(0,0)、(6,0)、(0,4)、(4,2)。共4个顶点，故选D。8.若线性规划问题的目标函数为z=ax+by，约束条件为x+y≤c，x≥0，y≥0，则z的最大值（）A.一定等于acB.一定小于cC.最多等于bcD.取决于a、b、c的值解析：当a、b同号时，最优解在(0,0)或(c,0)处取得，最大值为min(ac,bc)；当a、b异号时，最大值在(0,0)处取得。选项A、B、C绝对化错误；选项D准确。故选D。9.在单纯形表中，若某非基变量对应的检验数为0，则（）A.问题无最优解B.当前解已是最优解C.存在无穷多最优解D.需要继续迭代解析：检验数为0表示该非基变量增加不会改变目标函数值，当前解已是最优解，但可能存在其他最优解。选项A、C错误；选项D与单纯形法原理矛盾。故选B。10.若线性规划问题的约束条件为Ax=b，x≥0，且矩阵A的秩为r，则可行解的个数（）A.一定为0B.一定为1C.最多为2^rD.取决于b的值解析：可行解的个数取决于方程组解的结构，可能为0（无解）、1（唯一解）、有限多个或无穷多个。选项A、B、C绝对化错误；选项D准确。故选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.线性规划问题的可行域是所有满足约束条件的点的集合，几何上表现为______。参考答案：凸多边形（或凸集）解析：线性规划约束条件均为线性不等式，其解集构成凸多边形或无界凸集，这是图解法的基础。2.若线性规划问题的目标函数为z=3x-2y，约束条件为x+y≤5，x≥0，y≥0，则z的最小值是______。参考答案：-10解析：最优解在(0,5)处取得，z=3×0-2×5=-10。3.在单纯形法中，若某次迭代后出现两个检验数同时为0，则说明存在______。参考答案：无穷多最优解解析：两个非基变量检验数为0，表示存在另一条最优解边界，最优解在多条直线上取得。4.若线性规划问题的可行域为空集，则该问题______。参考答案：无解解析：可行域为空集表示约束条件矛盾，无任何解满足所有条件。5.用图解法求解线性规划问题时，若目标函数与约束条件平行且可行域无界，则目标函数______。参考答案：无界（或无最优解）解析：目标函数沿平行约束方向无界变化，无法达到最大或最小值。6.线性规划问题的约束条件x+y≤4，x≥0，y≥0所围成的可行域的面积是______。参考答案：8解析：可行域为直角三角形，面积=1/2×4×4=8。7.若线性规划问题的目标函数为z=2x+3y，约束条件为x+y≤6，x+2y≤8，x≥0，y≥0，则z的最大值在______处取得。参考答案：(4,2)解析：最优解在交点(4,2)处取得，z=2×4+3×2=14。8.在单纯形法中，若某次迭代后所有检验数均大于0，则说明当前解______。参考答案：不是可行解（或问题无解）解析：检验数大于0表示目标函数仍可增大，当前解未达到最优。9.若线性规划问题的约束条件为Ax=b，x≥0，且矩阵A的秩为r，则可行解的个数可能是______。参考答案：0、1或无穷多个解析：取决于b是否在A的列空间中，以及方程组解的结构。10.用图解法求解线性规划问题时，若可行域存在且目标函数与某约束条件平行，则最优解______。参考答案：在无穷多个点处解析：目标函数沿平行约束方向移动，最优解在整条直线上取得。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点上取得。参考答案：正确解析：这是线性规划的基本定理，源于凸集理论。2.若线性规划问题的可行域为空集，则该问题一定无解。参考答案：正确解析：可行域为空集表示约束条件矛盾，无任何解满足所有条件。3.在单纯形法中，若某次迭代后出现所有检验数均非正，则当前解已是最优解。参考答案：正确解析：检验数均非正表示目标函数无法增大（或减小），当前解已是最优解。4.若线性规划问题的目标函数为z=3x+5y，约束条件为x+y≤6，x≥0，y≥0，则z的最大值是18。参考答案：错误解析：最优解在(6,0)处取得，z=3×6+5×0=18，但题目未说明是否为最大值，需验证其他顶点。5.在单纯形法中，若某非基变量对应的检验数为0，则当前解已是最优解。参考答案：错误解析：检验数为0表示该非基变量增加不会改变目标函数值，但当前解可能存在其他最优解。6.若线性规划问题的可行域为无界区域，则其目标函数一定无最优解。参考答案：错误解析：可行域无界时，目标函数可能无界，也可能有最优解（如z=3x+5y在x+y=6时取最大值）。7.用图解法求解线性规划问题时，若可行域存在且目标函数与某约束条件平行，则最优解唯一。参考答案：错误解析：目标函数与约束条件平行时，最优解将在该直线上所有满足约束的点处取得，即有无穷多个最优解。8.线性规划问题的约束条件必须都是等式。参考答案：错误解析：线性规划约束条件可以是线性不等式。9.若线性规划问题的目标函数为z=ax+by，约束条件为Ax=b，x≥0，且矩阵A的秩为r，则最优解的个数最多为r个。参考答案：错误解析：最优解的个数取决于方程组解的结构，可能为0、1、有限多个或无穷多个。10.在单纯形法中，若某次迭代后出现两个基变量同时为0，则该问题无解。参考答案：错误解析：基变量为0表示当前解不在可行域内，但问题可能存在其他可行解。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述线性规划问题的标准形式及其特点。参考答案：线性规划问题的标准形式为：maxz=c^Txs.t.Ax=bx≥0其中，目标函数为最大化形式，约束条件为等式，决策变量非负。特点：便于用单纯形法求解。解析：标准形式是线性规划的理论基础，通过变量变换将一般形式转化为标准形式。2.解释什么是线性规划问题的可行解、最优解和可行域。参考答案：可行解：满足所有约束条件的解；最优解：使目标函数达到最大或最小值的可行解；可行域：所有可行解的集合，几何上表现为凸多边形或凸集。解析：这些概念是线性规划的基本定义，是图解法和单纯形法的基础。3.在单纯形法中，如何判断问题无解？参考答案：若某次迭代后出现以下情况之一，则问题无解：（1）存在非基变量检验数大于0且对应的约束条件右端项全为负；（2）可行域为空集。解析：无解的几何意义是目标函数无法达到最优值。4.简述线性规划问题的对偶理论及其意义。参考答案：对偶理论指出，每个线性规划问题都存在一个对偶问题，两者具有互为对偶的关系。意义：（1）提供了解决线性规划问题的另一种方法；（2）对偶问题常用于经济分析（如影子价格）。解析：对偶理论是线性规划的重要理论成果。5.用图解法求解线性规划问题时，若可行域存在且目标函数与某约束条件平行，如何判断最优解？参考答案：若可行域存在且目标函数与某约束条件平行，则最优解将在该直线上所有满足约束的点处取得，即有无穷多个最优解。解析：这种情况的几何意义是目标函数沿平行约束方向移动，最优解在整条直线上取得。6.简述单纯形法的基本步骤。参考答案：（1）将线性规划问题转化为标准形式；（2）构造初始单纯形表；（3）选择进基变量和出基变量，进行基变换；（4）判断是否达到最优解，若未达到则重复步骤（3）；（5）根据单纯形表得出最优解。解析：单纯形法是求解线性规划问题的核心算法。7.解释什么是线性规划问题的对偶变量。参考答案：对偶变量是原问题约束条件右端项的系数。例如，原问题为minz=c^Tx，s.t.Ax=b，x≥0，其对偶问题为maxw=y^Tb，s.t.y^TA≤c，y≥0，其中y是对偶变量。解析：对偶变量是对偶问题的决策变量。8.在实际应用中，如何检验线性规划模型是否合理？参考答案：（1）检查约束条件是否合理；（2）验证可行域是否存在；（3）确认目标函数是否与约束条件协调；（4）考虑实际意义（如变量取值范围）。解析：模型合理性是求解的前提。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产两种产品A和B，每件产品A需消耗原材料1kg，劳动力2小时，利润为3元；每件产品B需消耗原材料2kg，劳动力1小时，利润为5元。工厂每周原材料供应量为100kg，劳动力供应量为80小时。问如何安排生产计划，才能使每周利润最大？要求：（1）建立线性规划模型；（2）用图解法求解。参考答案：（1）模型：maxz=3x+5ys.t.x+2y≤1002x+y≤80x≥0，y≥0（2）图解法：可行域顶点为(0,0)、(40,0)、(20,30)、(0,50)。计算各顶点目标函数值：z(0,0)=0z(40,0)=120z(20,30)=210z(0,50)=250最大值为250，在(0,50)处取得。即：生产产品B50件，利润最大为250元。解析：图解法步骤：①绘制可行域；②平移目标函数线；③确定最优解。2.某公司需采购两种原材料M1和M2，M1每吨价格100元，M2每吨价格80元。要求采购总量不超过10吨，且M1至少占30%。若M1的供应量每天增加1吨，M2的供应量每天减少1吨，则公司利润增加20元。问如何采购才能使成本最低？要求：（1）建立线性规划模型；（2）用单纯形法求解。参考答案：（1）模型：minz=100x+80ys.t.x+y≤10x≥0.3(x+y)x+y-1≤0x≥0，y≥0（2）单纯形法：①转化为标准形式：minz=100x+80ys.t.x+y-s1=103.7x-0.3y+s2=0x+y-s3=1x≥0，y≥0，s1,s2,s3≥0②初始单纯形表：||x|y|s1|s2|s3|RHS||---|---|---|---|---|---|----||s1|1|1|1|0|0|10||s2|0.7|-0.3|0|1|0|0||s3|1|1|0|0|1|1||z|-100|-80|0|0|0|0|③迭代过程：（1）选择进基变量y（检验数-80最小）；（2）选择出基变量s1（10/1=10最小）；（3）基变换后单纯形表：||x|y|s1|s2|s3|RHS||---|---|---|---|---|---|----||y|1|1|1|0|0|10||s2|1|0|0.3|1|0|3||s3|0|0|-1|0|1|-9|④发现s3行RHS为负，问题无解。解析：无解的几何意义是可行域为空集。4.某农场种植两种作物A和B，每亩作物A需劳动力20人/天，化肥50kg/天，收益100元/天；每亩作物B需劳动力15人/天，化肥30kg/天，收益80元/天。农场每周劳动力供应量为600人/天，化肥供应量为3000kg/天。问如何安排种植计划，才能使每周收益最大？要求：（1）建立线性规划模型；（2）用单纯形法求解。参考答案：（1）模型：maxz=100x+80ys.t.20x+15y≤60050x+30y≤3000x≥0，y≥0（2）单纯形法：①初始单纯形表：||x|y|s1|s2|RHS||---|---|---|---|---|----||s1|20|15|1|0|600||s2|50|30|0|1|3000||z|-100|-80|0|0|0|②迭代过程：（1）选择进基变量x（检验数-100最小）；（2）选择出基变量s1（600/20=30最小）；（3）基变换后单纯形表：||x|y|s1|s2|RHS||---|---|---|---|---|----||x|1|0.75|0.05|0|30||s2|0|7.5|-2.5|1|1500||z|0|-10|5|0|3000|③迭代终止，最优解为x=30，y=0，z=3000。解析：最优解在顶点(30,0)处取得。5.某公司生产两种产品C和D，每件产品C需消耗原材料1kg，劳动力2小时，利润为3元；每件产品D需消耗原材料2kg，劳动力1小时，利润为5元。工厂每周原材料供应量为100kg，劳动力供应量为80小时。若公司决定增加原材料供应量，问如何调整生产计划才能使利润最大？要求：（1）建立线性规划模型；（2）用图解法求解。参考答案：（1）模型：maxz=3x+5ys.t.x+2y≤100+t2x+y≤80x≥0，y≥0（2）图解法：①当t=0时，最优解为(40,0)，z=120；②当t增加时，可行域右移，最优解沿x轴移动；③当t=20时，最优解为(50,0)，z=150；④当t继续增加，可行域消失，问题无解。解析：对偶理论解释了资源增加对最优解的影响。6.某公司需采购两种原材料M1和M2，M1每吨价格100元，M2每吨价格80元。要求采购总量不超过10吨，且M1至少占30%。若M1的供应量每天增加1吨，M2的供应量每天减少1吨，则公司利润增加20元。问如何采购才能使成本最低？要求：（1）建立线性规划模型；（2）用单纯形法求解。参考答案：（1）模型：minz=100x+80ys.t.x+y≤10x≥0.3(x+y)x+y-1≤0x≥0，y≥0（2）单纯形法：①转化为标准形式：minz=100x+80ys.t.x+y-s1=107.7x-0.3y+s2=0x+y-s3=1x≥0，y≥0，s1,s2,s3≥0②初始单纯形表：||x|y|s1|s2|s3|RHS||---|---|---|---|---|---|----||s1|1|1|1|0|0|10||s2|0.7|-0.3|0|1|0|0||s3|1|1|0|0|1|1||z|-100|-80|0|0|0|0|③迭代过程：（1）选择进基变量y（检验数-80最小）；（2）选择出基变量s1（10/1=10最小）；（3）基变换后单纯形表：||x|y|s1|s2|s3|RHS||---|---|---|---|---|---|----||y|1|1|1|0|0|10||s2|1|0|0.3|1|0|3||s3|0|0|-1|0|1|-9|④发现s3行RHS为负，问题无解。解析：无解的几何意义是可行域为空集。8.某工厂生产两种产品P和Q，每件产品P需消耗原材料1kg，劳动力2小时，利润为3元；每件产品Q需消耗原材料2kg，劳动力1小时，利润为5元。工厂每周原材料供应量为100kg，劳动力供应量为80小时。若工厂决定增加劳动力供应量，问如何调整生产计划才能使利润最大？要求：（1）建立线性规划模型；（2）用图解法求解。参考答案：（1）模型：maxz=3x+5ys.t.x+2y≤1002x+y≤80+tx≥0，y≥0（2）图解法：①当t=0时，最优解为(40,0)，z=120；②当t增加时，可行域上移，最优解沿x轴移动；③当t=20时，最优解为(50,0)，z=150；④当t继续增加，可行域消失，问题无解。解析：对偶理论解释了资源增加对最优解的影响。六、标准答案及解析【单项选择题】1.D2.B3.A4.C5.C6.C7.D8.D9.C10.D【填空题】2.凸多边形（或凸集）3.-104.无穷多最优解5.无解6.无界（或无最优解）7.88.(4,2)9.不是可行解（或问题无解）10.0、1或无穷多个11.在无穷多个点处【判断题】12.正确13.正确14.正确15.错误16.错误17.错误18.错误19.错误20.错误21.错误【简答题】22.线性规划问题的标准形式为：maxz=c^Tx，s.t.Ax=b，x≥0。特点：目标函数为最大化形式，约束条件为等式，决策变量非负。标准形式便于用单纯形法求解。23.可行解：满足所有约束条件的解；最优解：使目标函数达到最大或最小值的可行解；可行域：所有可行解的集合，几何上表现为凸多边形或凸集。24.若某次迭代后出现以下情况之一，则问题无解：（1）存在非基变量检验数大于0且对应的约束条件右端项全为负；（2）可行域为空集。无解的几何意义是目标函数无法达到最优值。25.对偶理论指出，每个线性规划问题都存在一个对偶问题，两者具有互为对偶的关系。意义：（1）提供了解决线性规划问题的另一种方法；（2）对偶问题常用于经济分析（如影子价格）。对偶理论是线性规划的重要理论成果。26.若可行域存在且目标函数与某约束条件平行，则最优解将在该直线上所有满足约束的点处取得，即有无穷多个最优解。这种情况的几何意义是目标函数沿平行约束方向移动，最优解在整条直线上取得。27.单纯形法的基本步骤：（1）将线性规划问题转化为标准形式；（2）构造初始单纯形表；（3）选择进基变量和出基变量，进行基变换；（4）判断是否达到最优解，若未达到则重复步骤（3）；（5）根据单纯形表得出最优解。单纯形法是求解线性规划问题的核心算法。28.对偶变量是原问题约束条件右端项的系数。例如，原问题为minz=c^Tx，s.t.Ax=b，x≥0，其对偶问题为maxw=y^Tb，s.t.y^TA≤c，y≥0，其中y是对偶变量。对偶变量是对偶问题的决策变量。29.在实际应用中，检验线性规划模型是否合理的方法：（1）检查约束条件是否合理；（2）验证可行域是否存在；（3）确认目标函数是否与约束条件协调；（4）考虑实际意义（如变量取值范围）。模型合理性是求解的前提。【应用题】30.（1）模型：maxz=3x+5ys.t.x+2y≤1002x+y≤80x≥0，y≥0（2）图解法：可行域顶点为(0,0)、(40,0)、(20,30)、(0,50)。计算各顶点目标函数值：z(0,0)=0z(40,0)=120z(20,30)=210z(0,50)=250最大值为250，在(0,50)处取得。即：生产产品B50件，利润最大为250元。解析：图解法步骤：①绘制可行域；②平移目标函数线；③确定最优解。31.（1）模型：minz=100x+80ys.t.x+y≤10x≥0.3(x+y)x+y-1≤0x≥0，y≥0（2）单纯形法：①转化为标准形式：minz=100x+80ys.t.x+y-s1=1032.7x-0.3y+s2=0x+y-s3=1x≥0，y≥0，s1,s2,s3≥0②初始单纯形表：||x|y|s1|s2|s3|RHS||---|---|---|---|---|---|----||s1|1|1|1|0|0|10||s2|0.7|-0.3|0|1|0|0||s3|1|1|0|0|1|1||z|-100|-80|0|0|0|0|③迭代过程：（1）选择进基变量y（检验数-80最小）；（2）选择出基变量s1（10/1=10最小）；（3）基变换后单纯形表：||x|y|s1|s2|s3|RHS||---|---|---|---|---|---|----||y|1|1|1|0|0|10||s2|1|0|0.3|1|0|3||s3|0|0|-1|0|1|-9|④发现s3行RHS为负，问题无解。解析：无解的几何意义是可行域为空集。33.（1）模型：maxz=3x+5ys.t.x+2y≤1002x+y≤80x≥0，y≥0（2）单纯形法：①初始单纯形表：||x|y|s1|s2|RHS||---|---|---|---|---|----||s1|1|1|1|0|100||s2|2|1|0|1|80||z|-3|-5|0|0|0|②迭代过程：（1）选择进基变量x（检验数-3最小）；（2）选择出基变量s1（100/1=100最小）；（3）基变换后单纯形表：||x|