2026年天津市北师大版高二数学第九十三章线性规划专项训练题库试卷

2026年天津市北师大版高二数学第九十三章线性规划专项训练题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在线性规划问题中，目标函数的最大值或最小值一定在可行域的顶点上取得，这一结论的几何依据是（）A.可行域是由若干条直线围成的封闭区域B.目标函数的等值线是平行直线族C.多边形顶点是有限个D.线性函数在凸多边形上的最值必在顶点处取得解析：线性规划问题的几何解法基于凸集理论，可行域作为线性不等式组的解集构成凸多边形。目标函数的等值线为平行直线族，沿等值线方向平移时，函数值单调变化。由于凸多边形顶点是有限个，而线性函数在凸集上的最值必在顶点处取得，故正确选项为D。选项A描述可行域的形状，选项B描述目标函数的几何特性，选项C描述顶点数量，均未直接说明最值存在性定理。2.已知约束条件为x+y≤4，x≥0，y≥0，则可行域的面积是（）A.4B.8C.2πD.无法确定解析：约束条件表示平面区域为第一象限内x+y=4的三角形，顶点为(0,4)、(4,0)、(0,0)。该三角形底边长为4，高为4，面积为8。选项C错误地将三角形误认为圆，选项A、D缺乏依据。3.若线性规划问题的目标函数为z=3x+5y，约束条件为x+y≤6，x≥0，y≥0，则当x=2时，y的最大取值范围是（）A.[0,4]B.[0,6]C.[0,2]D.[2,6]解析：将x=2代入约束条件得2+y≤6，即y≤4。结合y≥0，得0≤y≤4。选项B、C、D均不符合范围。4.在线性规划问题中，若目标函数z=ax+by过可行域的顶点A(1,2)和B(3,1)，则当a=2，b=3时，z在顶点C(2,1)处的取值为（）A.11B.10C.9D.8解析：目标函数z=2x+3y在A(1,2)处取值为8，在B(3,1)处取值为9。由于可行域顶点连续，C(2,1)在A、B之间，z的取值必在8和9之间。选项A、B、D超出范围。5.已知线性规划问题的最优解为(2,3)，目标函数为z=2x+y，若将目标函数改为z=3x+2y，则最优解变为（）A.(2,3)B.(3,2)C.(4,1)D.无法确定解析：最优解的变动取决于目标函数系数的变化。原目标函数z=2x+y在(2,3)处取值为7，新目标函数z=3x+2y在(3,2)处取值为11，在(2,3)处取值为8。由于新目标函数方向向量(3,2)与原方向向量(2,1)不共线，最优解可能改变。经检验，(3,2)为新的最优解。6.若线性规划问题的约束条件为x+y≤4，2x+y≤6，x≥0，y≥0，则可行域的顶点个数为（）A.3B.4C.5D.6解析：联立方程组求解交点：(x+y=4)与(2x+y=6)得x=2，y=2；(x+y=4)与x=0得(0,4)；(2x+y=6)与y=0得(3,0)；(x=0)与(y=0)得(0,0)。共4个顶点。7.在线性规划问题中，若目标函数z=3x+2y的等值线与约束条件x+y=4平行，则z在可行域上的取值（）A.有最小值无最大值B.有最大值无最小值C.既无最大值也无最小值D.既有最大值也有最小值解析：等值线与约束线平行时，目标函数在可行域边界上平行移动，存在最优解。由于可行域封闭，必有最值。选项A、B、C错误。8.已知线性规划问题的约束条件为x+y≤4，x≥0，y≥0，则目标函数z=2x+3y在可行域上的取值范围是（）A.[0,12]B.[0,8]C.[0,6]D.[0,9]解析：可行域为△OAB，顶点O(0,0)、A(4,0)、B(0,4)。计算各顶点函数值：O(0),A(8),B(12)。取值范围为[0,12]。9.若线性规划问题的约束条件为x+y≤4，x-y≥1，x≥0，y≥0，则可行域（）A.无界B.为三角形C.为四边形D.为线段解析：联立x+y=4和x-y=1得交点(2.5,1.5)；联立x+y=4和x=0得(0,4)；联立x-y=1和y=0得(1,0)。可行域由三顶点构成，为三角形。10.在线性规划问题中，若目标函数z=ax+by的系数a、b同时乘以2，则最优解（）A.一定改变B.一定不变C.可能改变D.无法确定解析：目标函数z=2ax+2by与z=ax+by等价，方向向量相同，最优解不变。选项C、D错误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若线性规划问题的约束条件为x+y≤4，x≥0，y≥0，则目标函数z=3x+2y在点(2,1)处的取值为______。参考答案：8解析：z=3×2+2×1=8。2.已知线性规划问题的可行域为矩形，顶点分别为(0,0)、(4,0)、(0,3)、(4,3)，则目标函数z=2x+3y在可行域上的最大值为______。参考答案：24解析：最大值在(4,3)处取得，z=2×4+3×3=24。3.若线性规划问题的约束条件为x+y≤4，x≥0，y≥0，则目标函数z=2x+3y在可行域上的最小值为______。参考答案：0解析：最小值在(0,0)处取得，z=0。4.在线性规划问题中，若目标函数z=3x+5y的等值线与约束条件x+y=6平行，则z在可行域上的取值范围为______。参考答案：[0,18]解析：最大值在(6,0)处取得，z=18；最小值在(0,0)处取得，z=0。5.已知线性规划问题的约束条件为x+y≤4，x≥0，y≥0，则目标函数z=2x+3y在可行域上的取值范围是______。参考答案：[0,12]解析：最大值在(4,0)处取得，z=8；在(0,4)处取得，z=12。实际取值范围[0,12]。6.若线性规划问题的约束条件为x+y≤4，x-y≥1，x≥0，y≥0，则可行域的面积是______。参考答案：3解析：顶点为(2.5,1.5)、(0,4)、(1,0)，面积为3。7.在线性规划问题中，若目标函数z=2x+3y的等值线与约束条件x+y=4平行，则最优解的个数为______。参考答案：无数解析：最优解在直线上所有点取得，为无数个。8.已知线性规划问题的约束条件为x+y≤4，x≥0，y≥0，则目标函数z=3x+2y在可行域上的最大值为______。参考答案：12解析：最大值在(4,0)处取得，z=12。9.若线性规划问题的约束条件为x+y≤4，x-y≥1，x≥0，y≥0，则可行域的顶点个数为______。参考答案：3解析：顶点为(2.5,1.5)、(0,4)、(1,0)。10.在线性规划问题中，若目标函数z=ax+by的系数a、b同时乘以2，则目标函数的等值线______。参考答案：平行移动解析：方向向量不变，等值线平行移动。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.线性规划问题的可行域一定是凸多边形。（×）解析：可行域需满足凸性，即任意两点连线仍在可行域内。若约束条件为x+y=4，则可行域为直线，非凸多边形。2.若线性规划问题的目标函数在可行域的内部取得最值，则该问题无最优解。（√）解析：线性规划问题的最值必在顶点取得，内部无最值。3.在线性规划问题中，若目标函数z=3x+5y的等值线与约束条件x+y=6平行，则最优解的个数为0。（×）解析：最优解在直线上所有点取得，为无数个。4.已知线性规划问题的约束条件为x+y≤4，x≥0，y≥0，则目标函数z=2x+3y在可行域上的取值范围是[0,12]。（√）解析：最大值在(4,0)处取得，z=8；在(0,4)处取得，z=12。实际取值范围[0,12]。5.若线性规划问题的约束条件为x+y≤4，x-y≥1，x≥0，y≥0，则可行域为空集。（×）解析：顶点为(2.5,1.5)、(0,4)、(1,0)，可行域非空。6.在线性规划问题中，若目标函数z=ax+by的系数a、b同时乘以2，则最优解一定改变。（×）解析：方向向量不变，最优解不变。7.已知线性规划问题的约束条件为x+y≤4，x≥0，y≥0，则目标函数z=3x+2y在可行域上的最大值为12。（√）解析：最大值在(4,0)处取得，z=12。8.若线性规划问题的约束条件为x+y≤4，x-y≥1，x≥0，y≥0，则可行域的面积为3。（√）解析：顶点为(2.5,1.5)、(0,4)、(1,0)，面积为3。9.在线性规划问题中，若目标函数z=2x+3y的等值线与约束条件x+y=4平行，则最优解的个数为无数。（√）解析：最优解在直线上所有点取得，为无数个。10.已知线性规划问题的约束条件为x+y≤4，x≥0，y≥0，则目标函数z=2x+3y在可行域上的最小值为0。（√）解析：最小值在(0,0)处取得，z=0。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述线性规划问题的基本要素。答：线性规划问题包含三个要素：（1）决策变量：表示待优化的量，如x、y；（2）目标函数：表示要最大化或最小化的线性函数，如z=ax+by；（3）约束条件：表示决策变量满足的线性不等式或等式，如x+y≤4。2.简述线性规划问题的几何解法步骤。答：（1）作出可行域：根据约束条件在坐标系中绘制半平面，交集为可行域；（2）确定最优解：在可行域顶点处计算目标函数值；（3）比较大小：选择最大或最小值对应的顶点作为最优解。3.简述线性规划问题无最优解的几种情况。答：（1）可行域为空集；（2）目标函数在可行域边界上平行移动，无界；（3）目标函数与约束条件平行，无交点。4.简述线性规划问题有无数最优解的几何特征。答：目标函数的等值线与约束条件平行，最优解在直线上所有点取得。5.简述线性规划问题的应用领域。答：经济管理（生产计划、运输调度）、工程技术（资源分配）、军事领域（后勤保障）等。6.简述线性规划问题与整数规划的区别。答：线性规划允许变量取任意实数，整数规划要求变量取整数。7.简述线性规划问题的单纯形法基本思想。答：通过迭代在可行域顶点间移动，逐步优化目标函数值，直至找到最优解。8.简述线性规划问题的对偶理论。答：每个线性规划问题都存在对偶问题，两者具有互为对偶、对偶定理等性质。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产A、B两种产品，需消耗甲、乙两种原料。已知生产1件A产品需甲原料2kg、乙原料1kg，生产1件B产品需甲原料1kg、乙原料2kg。甲原料每月供应量不超过100kg，乙原料每月供应量不超过120kg。每件A产品利润为30元，每件B产品利润为40元。工厂应如何安排生产，才能使月利润最大？答：（1）设生产A产品x件、B产品y件，月利润z元，则目标函数为z=30x+40y；（2）约束条件为：2x+y≤100（甲原料），x+2y≤120（乙原料），x≥0，y≥0；（3）作出可行域，计算顶点(0,0)、(0,60)、(50,35)、(60,0)的z值：z(0,0)=0，z(0,60)=2400，z(50,35)=2300，z(60,0)=1800；（4）最大利润为2400元，对应生产A产品0件、B产品60件。2.某公司需采购A、B两种设备，设备A单价为5万元/台，设备B单价为8万元/台。采购总预算不超过50万元。设备A需占用仓库面积20㎡/台，设备B需占用仓库面积30㎡/台，仓库总可用面积不超过300㎡。若设备A年利润为2万元/台，设备B年利润为3万元/台，公司应如何采购使年利润最大？答：（1）设采购A设备x台、B设备y台，年利润z万元，则目标函数为z=2x+3y；（2）约束条件为：5x+8y≤50（预算），20x+30y≤300（仓库），x≥0，y≥0；（3）作出可行域，计算顶点(0,0)、(0,6)、(10,4)、(8,0)的z值：z(0,0)=0，z(0,6)=18，z(10,4)=32，z(8,0)=16；（4）最大利润为32万元，对应采购A设备10台、B设备4台。3.某农场种植A、B两种作物，需使用甲、乙两种肥料。种植1亩A作物需甲肥料10kg、乙肥料5kg，种植1亩B作物需甲肥料6kg、乙肥料10kg。甲肥料每月供应量不超过200kg，乙肥料每月供应量不超过150kg。每亩A作物收入为300元，每亩B作物收入为400元。农场应如何安排种植，才能使月收入最大？答：（1）设种植A作物x亩、B作物y亩，月收入z元，则目标函数为z=300x+400y；（2）约束条件为：10x+6y≤200（甲肥料），5x+10y≤150（乙肥料），x≥0，y≥0；（3）作出可行域，计算顶点(0,0)、(0,15)、(12,10)、(20,0)的z值：z(0,0)=0，z(0,15)=6000，z(12,10)=6200，z(20,0)=6000；（4）最大收入为6200元，对应种植A作物12亩、B作物10亩。4.某公司生产甲、乙两种产品，需使用A、B两种原料。生产1件甲产品需A原料3kg、B原料2kg，生产1件乙产品需A原料2kg、B原料3kg。A原料每月供应量不超过100kg，B原料每月供应量不超过90kg。每件甲产品利润为50元，每件乙产品利润为60元。公司应如何安排生产，才能使月利润最大？答：（1）设生产甲产品x件、乙产品y件，月利润z元，则目标函数为z=50x+60y；（2）约束条件为：3x+2y≤100（A原料），2x+3y≤90（B原料），x≥0，y≥0；（3）作出可行域，计算顶点(0,0)、(0,30)、(20,30)、(30,0)的z值：z(0,0)=0，z(0,30)=1800，z(20,30)=2100，z(30,0)=1500；（4）最大利润为2100元，对应生产甲产品20件、乙产品30件。5.某工厂生产A、B两种产品，需消耗甲、乙两种原料。生产1件A产品需甲原料4kg、乙原料1kg，生产1件B产品需甲原料2kg、乙原料3kg。甲原料每月供应量不超过120kg，乙原料每月供应量不超过90kg。每件A产品利润为40元，每件B产品利润为50元。工厂应如何安排生产，才能使月利润最大？答：（1）设生产A产品x件、B产品y件，月利润z元，则目标函数为z=40x+50y；（2）约束条件为：4x+2y≤120（甲原料），x+3y≤90（乙原料），x≥0，y≥0；（3）作出可行域，计算顶点(0,0)、(0,30)、(24,30)、(30,0)的z值：z(0,0)=0，z(0,30)=1500，z(24,30)=1800，z(30,0)=1200；（4）最大利润为1800元，对应生产甲产品24件、乙产品30件。6.某公司生产甲、乙两种产品，需使用A、B两种原料。生产1件甲产品需A原料5kg、B原料3kg，生产1件乙产品需A原料3kg、B原料4kg。A原料每月供应量不超过150kg，B原料每月供应量不超过100kg。每件甲产品利润为60元，每件乙产品利润为70元。公司应如何安排生产，才能使月利润最大？答：（1）设生产甲产品x件、乙产品y件，月利润z元，则目标函数为z=60x+70y；（2）约束条件为：5x+3y≤150（A原料），3x+4y≤100（B原料），x≥0，y≥0；（3）作出可行域，计算顶点(0,0)、(0,25)、(20,20)、(30,0)的z值：z(0,0)=0，z(0,25)=1750，z(20,20)=2200，z(30,0)=1800；（4）最大利润为2200元，对应生产甲产品20件、乙产品20件。7.某农场种植A、B两种作物，需使用甲、乙两种肥料。种植1亩A作物需甲肥料8kg、乙肥料4kg，种植1亩B作物需甲肥料5kg、乙肥料6kg。甲肥料每月供应量不超过180kg，乙肥料每月供应量不超过120kg。每亩A作物收入为350元，每亩B作物收入为450元。农场应如何安排种植，才能使月收入最大？答：（1）设种植A作物x亩、B作物y亩，月收入z元，则目标函数为z=350x+450y；（2）约束条件为：8x+5y≤180（甲肥料），4x+6y≤120（乙肥料），x≥0，y≥0；（3）作出可行域，计算顶点(0,0)、(0,20)、(15,20)、(22.5,0)的z值：z(0,0)=0，z(0,20)=9000，z(15,20)=12250，z(22.5,0)=7875；（4）最大收入为12250元，对应种植A作物15亩、B作物20亩。8.某工厂生产甲、乙两种产品，需使用A、B两种原料。生产1件甲产品需A原料6kg、B原料4kg，生产1件乙产品需A原料4kg、B原料5kg。A原料每月供应量不超过200kg，B原料每月供应量不超过150kg。每件甲产品利润为70元，每件乙产品利润为80元。工厂应如何安排生产，才能使月利润最大？答：（1）设生产甲产品x件、乙产品y件，月利润z元，则目标函数为z=70x+80y；（2）约束条件为：6x+4y≤200（A原料），4x+5y≤150（B原料），x≥0，y≥0；（3）作出可行域，计算顶点(0,0)、(0,30)、(25,30)、(30,0)的z值：z(0,0)=0，z(0,30)=2400，z(25,30)=3100，z(30,0)=2100；（4）最大利润为3100元，对应生产甲产品25件、乙产品30件。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.B3.A4.B5.B6.B7.D8.A9.C10.B二、填空题1.82.243.04.[0,18]5.[0,12]6.37.无数8.129.310.平行移动三、判断题1.×2.√3.×4.√5.×6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.答：线性规划问题的基本要素包括：（1）决策变量：表示待优化的量，如x、y；（2）目标函数：表示要最大化或最小化的线性函数，如z=ax+by；（3）约束条件：表示决策变量满足的线性不等式或等式，如x+y≤4。2.答：线性规划问题的几何解法步骤为：（1）作出可行域：根据约束条件在坐标系中绘制半平面，交集为可行域；（2）确定最优解：在可行域顶点处计算目标函数值；（3）比较大小：选择最大或最小值对应的顶点作为最优解。3.答：线性规划问题无最优解的几种情况为：（1）可行域为空集；（2）目标函数在可行域边界上平行移动，无界；（3）目标函数与约束条件平行，无交点。4.答：线性规划问题有无数最优解的几何特征为：目标函数的等值线与约束条件平行，最优解在直线上所有点取得。5.答：线性规划问题的应用领域包括：经济管理（生产计划、运输调度）、工程技术（资源分配）、军事领域（后勤保障）等。6.答：线性规划问题与整数规划的区別为：线性规划允许变量取任意实数，整数规划要求变量取整数。7.答：线性规划问题的单纯形法基本思想为：通过迭代在可行域顶点间移动，逐步优化目标函数值，直至找到最优解。8.答：线性规划问题的对偶理论为：每个线性规划问题都存在对偶问题，两者具有互为对偶、对偶定理等性质。五、应用题1.答：（1）设生产A产品x件、B产品y件，月利润z元，则目标函数为z=30x+40y；（2）约束条件为：x+y≤4（原料），x≥0，y≥0；（3）作出可行域，计算顶点(0,0)、(0,4)、(4,0)的z值：z(0,0)=0，z(0,4)=160，z(4,0)=120；（4）最大利润为160元，对应生产A产品0件、B产品4件。2.答：（1）设采购A设备x台、B设备y台，年利润z万元，则目标函数为z=2x+3y；（2）约束条件为：5x+8y≤50（预算），20x+30y≤300（仓库），x≥0，y≥0；（3）作出可行域，计算顶点(0,0)、(0,6)、(10,4)、(8,0)的z值：z(0,0)=0，z(0,6)=18，z(10,4)=32，z(8,0)=16；（4）最大利润为32万元，对应采购A设备10台、B设备4台。3.答：（1）设种植A作物x亩、B作物y亩，月收入z元，则目标函数为z=300x+400y；（2）约束条件为：10x+6y≤200（甲肥料），5x+10y≤150（乙肥料），x≥0，y≥0；（3）作出可行域，计算顶点(0,0)、(0,15)、(12,10)、(20,0)的z值：z(0,0)=0，z(0,15)=6000，z(12,10)=6200，z(20,0)=6000；（4）最大收入为6200元，对应种植A作物12亩、B作物10亩。4.答：（1）设生产甲产品x件、乙产品y件，月利润z元，则目标函数为z=50x+60y；（2）约束条件为：3x+2y≤100（A原料），2x+3y≤90（B原料），x≥0，y≥0；（3）作出可行域，计算顶点(0,0)、(0,30)、(20,30)、(30,0)的