2027届普通高等学校招生适应性考试数学试卷（十七）（含解析）

2027届普通高等学校招生适应性考试（十七）数学本试卷共19小题，满分150分；考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、准考证号、考场、座位号填写在试卷与答题卡指定区域，粘贴准考证条形码。2.所有作答必须写在答题卡对应区域，试卷、草稿纸作答无效。3.考试结束仅上交答题卡。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一项符合要求。1.集合P={−3,−2,0,2}，集合Q={x∣x2+3x+2x+2<4}，P∩Q=

A.{−2,0,2} B.{0} C.{−2,0}2.复数w=6i1‑3i，w的虚部为

A.35 B.35i C.−33.设随机变量Y∼N(1,4)A.0.78 B.0.98 C.0.37 D.1.094.现有8组观测值u=1,2,…,8，对应的响应值为v，满足回归方程v^=0.3u+p^，i=18vi−i=18ui=2.4，则p=

A.1.84 5.二面角ϕ‑s‑ψ大小为120∘，A∈ϕ，B∈ψ，X,Y∈s，AX⊥s，BY⊥s，AX=BY=2，XY=4，则|AB|=

A.27 B.22 C.6 6.直线2x+y‑5=0与圆x2+y2‑4x+2y‑11=0交于D,E两点，圆心为T，则sin∠DTE=

A.35 B.1910 7.已知函数f(x)=−x2‑3bx‑2b,x<53x+ln⁡(x‑4),x≥5；数列{un}满足un=f(n),n∈N∗，且{un8.函数g(x)=3sin2x‑cos2x图像向左平移πA.35 B.45 C.34 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出四个选项，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。9.已知x−3xn展开式第5项与第7项二项式系数相等，则

A.n=10 B.第4项的系数为−3240

C.展开式有理项一共6项 10.在△UVW中，角U,V,W对边为u,v,w，且满足vcos⁡W+wcos⁡V=3，U=2π3，则 A.u=3 B.△UVW外接圆半径为3

C.△UVW11.已知椭圆x29+y23=1，左右顶点为B1,B2，上顶点C，点Q为椭圆上异于B1,B2的点。直线B1Q交直线x=3于点N，直线ON交B2Q于点H，记kB1Q=k1，kB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一组样本数据：4,6,2,9,5,7,3,8,10，则该组样本的70百分位数为________。13.某平面矩形的斜二测直观图为梯形M′N′P′Q′，M14.函数f(x)=3ex四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在空间几何体中，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120∘，AB=3；△ADE为等边三角形，平面ADE⊥平面ABCD。点G在底面ABCD上投影是对角线交点O，且OG=23。

(1)证明：AC⊥平面DOG；

16.(15分)一个初始可分裂粒子，每相隔一个单位时间发生分裂，有三种结果：产生2个可分裂粒子概率14；产生1个可分裂、1个不可分裂粒子概率12；产生2个不可分裂粒子概率14。每个可分裂粒子独立按上述规则分裂，无可以分裂粒子则系统终止。

(1)求第2单位时刻系统首次终止的概率；

(2)记第2单位时刻可分裂粒子数目为Z，求Z17.(15分)设函数f(x)=e2x−bx‑2。

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当b=2，存在不等实数x1,x2满足f(x1)=f(x18.(17分)双曲线Γ:x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)的离心率e=2，且过点Q(3,5)。

(1)求双曲线Γ标准方程；

(2)过右焦点F的直线l交双曲线于A,B两点，交两条渐近线于M,N，记S△OAB=S1，S19.(17分)定义：对于数列{xn}，若存在正整数t，对任意正整数n，数列{xn+xn+1+⋯+xn+t}是公差为d(d>0)的等差数列，则称{xn}为“t‑d组差数列”。已知x1=2。

(1)若xn=2n‑1，判断{xn}是否为“1‑4组差数列”，说明理由；

(2)若2027届普通高等学校招生适应性考试（十七）数学参考答案本试卷共19小题，满分150分；考试时间120分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一项符合要求。12345678DCDBABCB二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，错选0分。91011ABABCAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。121314812(−四、解答题：本题共5小题，共77分，需写出完整文字说明、演算、证明步骤。15（13分）解析(1)证明：

菱形对角线互相垂直，故AC⊥BD。

G在底面投影为O，即GO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，故GO⊥BD。

AC∩GO=O，AC,GO⊂平面DOG，根据线面垂直判定定理，BD⊥平面DOG。(2)解：

菱形ABCD，AB=3，∠ABC=120∘，AO=32，OD=332。

△ADE等边，平面ADE⊥平面ABCD，交线AD。取AD中点M，连接EM，则EM⊥AD，故EM⊥底面ABCD，EM=332。

以O为原点，AC为x轴，BD为y轴，过O平行EM方向为z轴建立空间直角坐标系。

O(0,0,0)，A32,0,0，D0,−332,0，B0,332,0，E34,−3设直线EG与平面BDE所成角为θ，线面角θ∈[0,π2]

sin⁡θ=|EG→⋅n|16（15分）解析(1)第1单位时刻初始1个粒子必须分裂为2个不可分裂粒子，概率p1=14，此时第1时刻就终止，不符合“第2单位时刻首次终止”。

要第2时刻首次终止：

第1时刻分裂得到1个可分裂+1个不可分裂粒子（概率12）；

这个唯一可分裂粒子，在第2时刻分裂为2个不可分裂粒子（概率1(2)第1时刻分裂有三种情形：情形①：分裂成2个可分裂，概率14；此时两个可分裂各自独立分裂。每个可分裂分裂后可分裂子粒子数目：0（概率14），1（概率12），2情形②：分裂成1可分裂+1不可分裂，概率12情形③：分裂成2不可分裂，概率14；第1时刻直接终止，则第2时刻可分裂粒子Z=0Z可以取值：0,1,2,3,4。P(Z=0)分布列：Z01234P25201441求期望，设单个可分裂粒子分裂后可分裂子粒子数ξ：

E(ξ)=0⋅14+1⋅12+2⋅14=1。

第1时刻后可分裂数目为17（15分）解析f(x)=e2x−bx−2，求导f′(x)=2e2x−b。

①若b≤0，f′(x)=2e2x−b>0恒成立；f(x)在R上单调递增。

②若b>0，令f′(x)=0，2(2)b=2，f(x)=e2x−2x‑2，f′(x)=2e2x−2=2(e2x−1)。

x<0，f′(x)<0；x>0，f′(x)>0，令H(x)H当(3)条件：∀x>0，e2x−bx−2≥(2‑3x)e2x+ln(2x)

整理：−bx≥(1‑3x)e2x+ln(2x)+2

两边除以x>0：−b≥(1‑3x)e2x+ln(2x)+2x

记G(x)=(1‑3x)e2x+ln(2x)+2x,x>0

即18（17分）解析(1)双曲线离心率e=2，故e2=m2+n2m2=2⟹n2=m(2)右焦点F(22,0)，渐近线y=±x。

①当直线斜率存在，设l:y=k(x‑22)，k≠±1（与渐近线重合无两个双曲线交点）。

联立y=k(x‑22)x2‑y2=4，

(1‑k2)x2+42k2x‑(8k2+4)=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2)。

x1+x2=−42k21‑k2,x1x2=−8k②直线垂直x轴：x=22，代入双曲线8‑y2=4⇒y=±2；|AB|=4；交渐近线y=±22综上取值范围：22(3)证明：

设直线l′：x=my+t，渐近线x2‑y2=0，双曲线x2‑y2=4。

联立x=my+t与渐近线：(my+t)2‑y2=0⇒(m2‑1)y2+2mty+t2=0，两根yR1,yR2。

联立x=my+t与双曲线：19（17分）解析(1)xn=2n‑1。“1‑4组差数列”定义：取t=1，则n≥1，Sn′=xn+xn+1为公差d=4的等