27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第三章　含参数的二次函数在某区间上的最大(小)值

07含参数的二次函数在某区间上的最大(小)值重难点对于含参数的二次函数的最值问题,一般有以下几种类型:(1)定轴定区间型,即二次函数图象的对称轴和区间都是固定的,此时可采用配方法或图象法,根据对称

轴和区间的位置关系,结合函数在区间上的单调性即可求得最值.(2)定轴动区间型,即二次函数图象的对称轴是固定的,区间是变化的,此时只需按照对称轴在区间的左

侧、在区间的右侧以及在区间内进行分类讨论即可.以函数y=ax2+bx+c(a>0)为例,其图象的对称轴方程

为x=-

,则其在区间[m,n](m<n)上的最值如下:①若m<-

<n,即对称轴在区间内,则最小值为f

,最大值为f(m),f(n)中的较大者.②若-

<m,即对称轴在区间的左侧,则f(x)在[m,n]上单调递增,所以最小值为f(m),最大值为f(n).③若-

>n,即对称轴在区间的右侧,则f(x)在[m,n]上单调递减,所以最小值为f(n),最大值为f(m).(3)动轴定区间型,即二次函数图象的对称轴是变化的,区间是固定的,此时只需分对称轴在区间的左

侧、在区间的右侧和在区间内三种情况进行讨论,再结合二次函数的图象即可求得最值.(4)动轴动区间型,即二次函数图象的对称轴和区间都是变化的,此时根据对称轴在区间的左侧、在区

间的右侧和在区间内三种情况进行讨论,再结合二次函数的图象和单调性即可求得最值.勘破疑难无论哪种类型,解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据图象的对称轴

与区间的位置关系进行分类讨论.名师点津对于类型(2)中的①,求最大值时要比较对称轴与直线x=m和直线x=n之间的距离,可转化为比较x=-

与x=

的大小,即当-

>

时,最大值为f(m);当-

<

时,最大值为f(n);当-

=

时,最大值为f(m)=f(n).典例已知函数f(x)=x2-2tx+1.(1)设函数f(x)在区间[-2,-1]上的最小值为g(t),求g(t)的表达式;(2)对于(1)中的g(t),当x∈[-1,1],t∈[-1,1]时,恒有x2-mx-3≤g(t)成立,求实数m的取值范围.解析

(1)易知函数f(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=t.区间固定,对称轴变动,属于动轴定区间型,考虑根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论,并结合单

调性求函数的最小值.当t≤-2时,函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递增,所以f(x)min=f(-2)=5+4t.当t≥-1时,函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)min=f(-1)=2+2t.当-2<t<-1时,函数f(x)在区间[-2,t]上单调递减,在区间[t,-1]上单调递增,所以f(x)min=f(t)=1-t2.综上,g(t)=

(2)因为当x∈[-1,1],t∈[-1,1]时,恒有x2-mx-3≤g(t)成立,所以(x2-mx-3)max≤g(t)min.易知当t∈[-1,1]时,g(t)=2+2t,所以g(t)min=g(-1)=0,所以(x2-mx-3)max≤0,x∈[-1,1].令h(x)=x2-mx-3,其图象开口向上,对于图象开口向上的函数,其在定区间上的最大值必在区间端点处取到,故只需满足

解得-2≤m≤2.故实数m的取值范围是[-2,2].归纳总结双变量的任意性与存在性问题:如果不等式的有关问题中涉及两个函数、两个变量,且两个

变量前面带有逻辑中的“量词”,那么这样的问题均可转化为两个函数的值域或最值之间的关系问题.

已知函数f(x)在x∈[a,b]上的值域为A,g(x)在x∈[c,d]上的值域为B.(1)若∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],使得f(x1)=g(x2)成立,则A⊆B;(2)若∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],使得f(x1)=g(x2)成立,则A∩B≠⌀;(3)若∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],总有f(x1)<g(x2)成立,则f(x)max<g(x)min;(4)若∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],使得f(x1)<g(x2)成立,则f(x)max<g(x)max;(5)若∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],使得f(x1)<g(x2)成立,则f(x)min<g(x)max;(6)