27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第三章　函数定义域的求解

01函数定义域的求解重难点函数的概念一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中

都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中x叫

做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}

叫做函数的值域.深度剖析

1.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应,但函数值y不一定有唯一的自变量x与之对应.2.f(x)表示x对应的函数值,而不是f乘x.1.已知函数解析式求定义域根据函数解析式的运算特点列出使函数有意义的不等式(组),不等式(组)的解集就是函数的定义域.几

类常见函数的定义域如下:(1)分式型

要满足f(x)≠0(依据:分式的分母不为0);(2)根式型

要满足f(x)≥0(依据:偶次根式的被开方数非负);(3)零指数幂型[f(x)]0要满足f(x)≠0(依据:任何不为0的数(式)的0次幂都等于1).此外,由实际背景确定的函数,其定义域不仅要使解析式有意义,还要使自变量满足实际意义.2.求抽象函数的定义域(1)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,实质是已知φ(x)的取值范围为A,求x的取值范围.(2)已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知x的取值范围为B,求φ(x)的取值范围,此范围就是

f(x)的定义域.(3)已知f(φ(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知φ(x)中x的取值范围为C,求出φ(x)的取值范围

D,再令g(x)的取值范围为D,求出x的取值范围,此范围就是f(g(x))的定义域.特别提醒1.求函数的定义域时,自变量满足的条件要以函数解析式为依据,一般不能先化简函数解析式,再求定义

域.2.当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商构成时,定义域是使各式子都有意义的自变

量取值的交集.3.定义域必须用集合或区间表示,且用区间表示结果为几部分的定义域时,用“∪”连接.勘破疑难1.f(φ(x))的定义域是指x的范围,而不是φ(x)的范围.2.在同一对应关系“f”下,括号里的整体的地位相同,即f(t),f(φ(x)),f(h(x))中的t,φ(x),h(x)的取值范围相

同.典例

(1)已知函数f(3x-1)的定义域为[-1,3],则函数g(x)=

的定义域为

()A.[-6,3)∪(3,6]

B.[-3,1]C.[-1,3)

D.[-2,3)∪(3,6](2)已知函数y=

的定义域为R,则实数k的取值范围为

()A.(-∞,0)∪(1,+∞)

B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.(0,1)

D.[0,1)

D

A

解析

(1)因为函数f(3x-1)的定义域为[-1,3],所以-1≤x≤3,则-4≤3x-1≤8,所以函数f(x)的定义域为[-4,8].对于函数g(x),需满足

解得-6≤x≤6且x≠3,即函数g(x)的定义域为[-6,3)∪(3,6].(2)因为函数y=

的定义域为R,所以关于x的方程kx2+2kx+1=0无实数解.当k=0时,显然成立.当k≠0时,需满足Δ=4k2-4k<0,解得0<k<1.综上,实数k的取