27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第三章　函数解析式的求解

03函数解析式的求解高频考点1.当函数类型已知或可判断时,一般用“待定系数法”求函数解析式,解题思路是:先设出含有待定系数

的解析式,再将已知条件代入列出含待定系数的方程(组),利用恒等式的性质或解方程(组)得到待定系

数的值,最后将所求待定系数的值代回原式并化简整理,得到函数的解析式.2.当函数类型未知时,可根据条件选择以下方法求其解析式.(1)代入法:已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,通常把g(x)作为一个整体替换f(x)中的x.(2)换元法:已知f(g(x))是关于x的函数,求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,用t表示出x,然后代入f(g(x))中,求得f(t)的解析式,再用x替换t,便可得到f(x)的解析式.(3)配凑法:已知f(g(x))是关于x的函数,求f(x)的解析式,可将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法,使之变形为关于g(x)的函数解析式,然后用x代替g(x),便可得到f(x)的解析式.(4)消元法(方程组法):已知有关f(x)与f

、f(-x)或f(1-x)等的关系式,可根据已知条件,用

、-x或1-x等替换x,再构造出另外一个关系式,组成方程组,通过解方程组求出f(x).(5)赋值法:已知抽象函数满足某些性质或等式,求f(x)的解析式,可通过给变量赋特殊值(如0,1,-x,x等),将

抽象等式转化为关于f(x)的具体方程,通过解方程得到f(x)的解析式.另外,有时需要多次赋值构造方程组

(如用-x替换x,或用y替换x),通过消元得到f(x)的解析式.勘破疑难

1.利用待定系数法求函数的解析式时,要根据已知灵活选择解析式的形式,比如二次函数,不

要每次都设成一般式(f(x)=ax2+bx+c(a≠0)),还可以设成顶点式(f(x)=a(x-h)2+k(a≠0))或交点式(f(x)=a(x-x

1)(x-x2)(a≠0)).2.利用赋值法求抽象函数的解析式时,要遵循“赋的值能向有利条件转化”的原则,可利用“倒推思

想”赋值.3.以选择题形式出现的求函数解析式的题目,可把选项代入验证,判断是否满足题设条件,若不满足,则

排除;若满足,则选它.典例

(1)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的解析式;(2)已知f(

+1)=x+2

,求f(x)的解析式;(3)若函数f(x)满足2f(x)+f

=2x,x∈R且x≠0,求f(x)的解析式;(4)设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析

式.思路点拨

(1)已知函数类型,用待定系数法求解.(2)将

+1看作一个整体,利用换元法或配凑法求解.(3)f(x)与f

在同一个式子中,用方程组法求解.(4)函数为抽象函数,用赋值法求解析式.解析

(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,所以

解得

所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-1.(2)解法一(换元法):令t=

+1,则x=(t-1)2,t≥1,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).解法二(配凑法):f(

+1)=x+2

=x+2

+1-1=(

+1)2-1.因为

+1≥1,所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).(3)将x换成

得2f

+f(x)=

(x≠0),由

得f(x)=

x-

(x≠0).(4)解法一:令y=x,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=f(x)-x(x+1).因为f(0)=1,所以f(x)-x(x+1)=1,即f(x)=x2+x+1.解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),即f(-y)=1-y(-y+1).令-y=x,得f(x)=1