27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第二章　一元二次不等式中的恒(能)成立问题

06一元二次不等式中的恒(能)成立问题疑难点解决一元二次不等式中的恒(能)成立问题的常用方法(1)“开口方向+判别式”法此方法仅适用于解决在R上的恒(能)成立问题,具体情况如下:不等式ax2+bx+c>0(a≠0)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立

能成立a>0或

a<0或

(2)最值直接转化法此方法是直接利用函数的最值求参数的取值范围,是处理一元二次不等式恒(能)成立问题最直接、最

通用的方法.在求函数在所给范围内的最值时,一般涉及二次函数图象的对称轴和给定范围的相对位置

的讨论(对称轴在给定范围左侧、对称轴在给定范围右侧、对称轴在给定范围内);当给定范围为全体

实数R时,二次函数的最值即为二次函数图象顶点的纵坐标,此时该方法等价于“开口方向+判别式”

法.(3)分离参数法此方法对于解决在R上和在给定范围内的恒(能)成立问题均适用,一般将不等式化为一边是参数,另一

边是关于变量x的表达式(注意分离时需保证分母符号确定,或对分母正负分类讨论),依据不等号和表达

式的最值求参数的取值范围.如:m>y恒成立⇔m>ymax;当x∈[s,t]时,m>y有解⇔当x∈[s,t]时,m>ymin(y是关于

x的表达式).(4)变换主元法若目标代数式中含有两个变量,我们要将其中一个变量看成主元,另一个变量看成次元,将问题化归为

有关主元的函数、方程或不等式问题.通常情况下,已知哪个变量的取值范围,就选这个变量当主元(将

问题转化为主元函数在其范围内恒(能)成立问题);求哪个变量的取值范围,就选这个变量当参数,从而

利用主元函数的性质求解参数范围.勘破疑难1.在利用“开口方向+判别式”法时,若二次项系数含参数,且题目未指明不等式是一元二次不等式,则

还需考虑系数为0的情况.如:ax2+bx+c>0在R上恒成立的条件为

或

2.特别地,对于y=ax2+bx+c(a≠0),①当a>0时,y<0在α≤x≤β时恒成立⇔

②当a<0时,y>0在α≤x≤β时恒成立⇔

深度剖析一个恒成立的不等式中含有a和x,习惯将x看作变量,a看作参数.但如果题目中已知a的范围,求x的范围,

那么此时要更换主元,将a看作变量,x看作参数,式子是关于a的函数,结合a的取值范围及不等式恒成立

的条件列关于x的关系式,求x的取值范围.典例已知不等式2x-1>m(x2+2).(1)若∀x∈R,不等式恒成立,求实数m的取值范围;(2)若∃x>1,使不等式能成立,求实数m的取值范围;(3)当-1≤m≤-

时,不等式恒成立,求x的取值范围.解析

(1)对2x-1>m(x2+2)变形,得mx2-2x+2m+1<0.二次项系数含参数,需对m是不是0进行分类讨论.当m=0时,不等式为-2x+1<0,解得x>

,不符合题意.当m≠0时,若不等式恒成立,则需

解得m<-1.综上,实数m的取值范围是{m|m<-1}.(2)解法一(分离参数法):已知x的范围,求m的范围,所以x是变量,m是参数.因为x>1,所以对2x-1>m(x2+2)分离参数,得m<

.由题意得m<

,x>1.令2x-1=t,则x=

,t>1,所以

=

=

=

≤

=

,当且仅当t=3,即x=2时取等号,故

=

,所以实数m的取值范围是

m

m<

.解法二(最值直接转化法):结合(1)知,∃x>1,mx2-2x+2m+1<0能成立.当m=0时,不等式为-2x+1<0,解得x>

,符合题意.当m<0时,y=mx2-2x+2m+1的图象开口向下,符合题意.当m>0时,y=mx2-2x+2m+1的图象开口向上,若∃x>1,使不等式能成立,则需满足y|x=1<0或

解得m<

或0<m<

,所以0<m<

.综上,实数m的取值范围为

m

m<

.(3)给定的不等式中含有两个变量,已知m的范围求x的范围,所以将m看作主元,研究关于m的函数的最值.因为当-1≤m≤-

时,2x-1>m(x2+2)恒成立,所以当-1≤m≤-

时,(x2+2)m-2x+1<0恒成立.易知x2+2>0,所以[(x2+2)m-2x+1]max=(x2+2)×

-2x+1<0,解得x<-4或