27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第二章　分式不等式、绝对值不等式、一元高次不等式的求解

07分式不等式、绝对值不等式、一元高次不等式的求解拓展点1.分式不等式的有关概念(1)含有分式(分母中含有未知数)的不等式,称为分式不等式.(2)分式有意义的条件:分母不为0.2.绝对值不等式的有关概念(1)含有绝对值符号,且绝对值内包含未知数的不等式,称为绝对值不等式.(2)绝对值的代数意义:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零,即|a|=

(3)绝对值的几何意义:在数轴上,|a-b|表示数a和数b之间的距离.3.一元高次不等式的概念只含一个未知数,且未知数的最高次项的次数大于2的不等式,称为一元高次不等式,其一般形式为anxn+

an-1xn-1+…+a1x+a0>0(an≠0,n≥3,n∈N*).1.解分式不等式的一般步骤(1)移项、通分,化为标准形式:将不等式所有项移至左侧,右侧化为0,再通分合并为单一分式,得到标准

形式.(2)等价转化,将分式不等式化为整式不等式:根据“两数相除,同号得正、异号得负”及“分式的分母

不为0”,将标准分式不等式转化为整式不等式(组),常见的转化形式如下:①

>0⇔f(x)·g(x)>0;②

<0⇔f(x)·g(x)<0;③

≥0⇔

④

≤0⇔

(3)解整式不等式(组),所求解集即为分式不等式的解集.2.绝对值不等式的解法(1)去绝对值法解绝对值不等式若绝对值不等式的一边为含绝对值的代数式,另一边为常数,则可以去绝对值进行求解,其常见形式如下:①|ax+b|>c(a≠0,c>0)⇔ax+b<-c或ax+b>c.②|ax+b|<c(a≠0,c>0)⇔-c<ax+b<c.③c<|ax+b|<d(a≠0,d>c>0)⇔c<ax+b<d或-d<ax+b<-c.(2)平方法解绝对值不等式对于形如|ax+b|<|cx+d|或|ax+b|<

的绝对值不等式,一般用平方法进行求解,即分别转化为(ax+b)2<(cx+d)2,(ax+b)2<mx+n进行求解.(3)临界值分段讨论法解绝对值不等式此方法适配于解所有绝对值不等式,尤其适配于解形如|x-m|±|x-n|>k的双(多)绝对值和差型不等式,其一般思路:先求出使各绝对值等于0的x的值(简称为临界值),再针对这些临界值将x的范围分割成若干部

分,通过分类讨论去掉绝对值,转化为不含绝对值的不等式,分段求解再取并集.3.一元高次不等式的解法解一元高次不等式常用穿针引线法(又称为穿根法),其一般步骤如下:(1)移项:根据不等式的性质对不等式进行移项,使得右端为0,化为不等式的标准形式,一定要保证x的最

高次幂的项的系数为正数.(2)求根:求出不等式所对应的方程的所有根.可通过将不等式左侧的式子分解为若干个最简因式乘积

的形式进行求解.(3)标根:在数轴上按从左到右(或由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置,只需标出相对位置即可).(4)画穿根线:从最右端根的上方起,用曲线从右至左依次由各根穿过数轴,注意画线时遇偶次重根不穿

过(即线画至此根时,不穿过此根,而折回向左依次穿过其余的根),遇奇次重根要穿过,可用口诀“奇穿偶折”来记忆.如(x-1)2(x-2)(x-3)>0在数轴上标根穿线时,数1处的线折而不穿.

(5)写解集:若不等号为“>”,则取数轴上方穿根线对应的范围(如(4)中不等式的解集为{x|x<1或1<x<2

或x>3});若不等号为“<”,则取数轴下方穿根线对应的范围;若不等式中含有“=”,则连根一同取,但

若是分式不等式,写解集时要注意分母不能为零.勘破疑难

1.形如|ax+b|>cx+d(a≠0,cx+d>0)或|ax+b|<cx+d(a≠0,cx+d>0)的绝对值不等式,通常将cx+d看

成一个大于0的常数求解(临界值分段讨论法比较烦琐).2.利用平方法解绝对值不等式时,不等式的两边平方后尽量不要把平方式展开化简,可以移项,利用平方

差公式分解因式,这样方便求出不等式对应的方程的根.3.对于双绝对值和差型不等式,也可利用绝对值的几何意义或三角不等式(|A|+|B|≥|A±B|)求解.4.解分式不等式时,先看分母的符号,若分母的符号确定,则可直接利用乘法移项,此时要注意分母为负

数时,不等号的方向要改变;若分母的符号不确定,则要移项转化为整式不等式求解,此时要注意分母不

为0.典例解下列不等式.(1)|x-1|+|x-2|<x+2;(2)

≤1.思路点拨

(1)利用临界值分段讨论法进行求解.(2)不等式为一元高次不等式,考虑利用穿针引线法进行求解.解析

(1)易得|x-1|+|x-2|=

由|x-1|+|x-2|<x+2得

或

或

解得2<x<5或1≤x≤2或

<x<1,所以所求不等式的解集为

.(2)对

≤1移项,得