27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第五章 同角三角函数的基本关系的应用

02同角三角函数的基本关系的应用高频考点同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:

=tanα,α≠kπ+

,k∈Z.深度剖析

平方关系可以实现正弦、余弦的互化及常数“1”与正余弦平方和的互化;商数关系可以

实现弦切互化.1.sinα,cosα,tanα知一求二问题已知sinα,cosα,tanα中任意一个值,均可根据同角三角函数的基本关系求出其他三角函数值.(1)已知sinα或cosα时,可通过sin2α+cos2α=1求出cosα或sinα,然后利用tanα=

求出tanα.(2)已知tanα时,可通过|tanα|的值构造直角三角形,利用三角函数的定义求出sinα和cosα的绝对值,再根

据角的范围写出最终结果;也可以通过方程组

直接求解.2.关于sinα,cosα的齐次式的求值问题(1)分式型齐次式:已知tanα的值,求形如

、

、

的值时,可分别将分子、分母同时除以cosα、cos2α、cos2α,将其化为关于tanα的式子,再代入tanα的值求解.(2)整式型齐次式:已知tanα的值,求形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的值时,可将分母1表示成sin2α+cos2α,

化成分式型齐次式,然后将分子、分母同时除以cos2α,将其化为关于tanα的式子,再代入tanα的值求解.3.sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα知一求二问题已知sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα中任意一个式子的值,常利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα和(sinα+

cosα)2+(sinα-cosα)2=2求解其他式子的值.进一步可利用方程思想,即联立sinα+cosα=a与sinα-cosα=b

(a,b为常数)或将sinα,cosα看作方程x2-(sinα+cosα)x+sinαcosα=0的两根求出sinα,cosα的值,从而求出

tanα的值.勘破疑难解决知一求二问题时,若未给出角所在的象限,则一般需先根据已知的三角函数值结合“一全正、二正

弦、三正切、四余弦”的符号规律确定角所在的象限,再求其他三角函数值.若角所在的象限不能确

定,则需对角所在的象限分类讨论.特别提醒对于已知tanα的值,求整式型齐次式问题,当是“二次”时,可以通过1=sin2α+cos2α的代换化为齐次式进

行求解;当是“一次”时,可转化为sinα,cosα,tanα的知一求二题型进行求解.方法技巧sinα±cosα的符号确定利用sinαcosα的符号及三角函数值“一全正、二正弦、三正切、四余弦”的符号规律,结合已知条件

确定角α的范围,再由角的范围确定sinα±cosα的符号.典例1

已知tanα=-3,

<α<π,则sinα=___________.解析

解法一:tanα=-3,即

=-3,所以sinα=-3cosα.将其代入sin2α+cos2α=1,得10cos2α=1,所以cos2α=

.因为

<α<π,所以cosα=-

,所以sinα=

.解法二:由tanα=-3得|tanα|=3,结合直角三角形得,|sinα|=

,又

<α<π,所以sinα=

.易错警示利用平方关系求解时,若要开方,则需判断三角函数值的符号,因而要考虑角的范围.典例2已知

=2,计算下列各式的值.(1)

;(2)

;(3)sin2α-2sinαcosα+1.解析由

=2,化简,得sinα=3cosα,所以tanα=3.(1)解法一(换元):原式=

=

=

.解法二(弦化切):原式=

=

=

.(2)原式=

=

=-

.(3)原式=

+1=

+1=

+1=

.典例3已知sinθ+cosθ=-

sinθcosθ=m(-1<m<1),θ∈(0,π).(1)求sinθcosθ的值;(2)求sin3θ+cos3θ的值;(3)求sin4θ-cos4θ的值.解析

(1)(sinθ+cosθ)2=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ,因为sinθ+cosθ=-

sinθcosθ=m,所以m2=1-

m,解得m=-2(舍去)或m=

,所以sinθcosθ=-

.(2)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=

×

=

.(3)sin4θ-cos4θ=(sin2θ+cos2θ)(sin2θ-cos2θ)=(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ).由(1)知sinθ+cosθ=

,sinθcosθ=-

,所以(sinθ-cosθ)2=sin2θ+cos2θ-2sinθcosθ=1-2×

=

.因为sinθcosθ<0,θ∈(0,π),所以sinθ>0,cosθ<0,所以sinθ-cosθ>0,所以sinθ-cosθ=

.所以