27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第二章　利用不等式的性质求代数式的取值范围

01利用不等式的性质求代数式的取值范围疑难点不等式的性质内容注意点性质1(对称性)a>b⇔b<a可逆性质2(传递性)a>b,b>c⇒a>c如果两个不等式中一个带等号,一个不带等号,那么等号不能传递下去,如由a≥b,b>c得不到a≥c,只能得到a>c性质3(可加性)a>b⇔a+c>b+c可逆,且不等号方向不变性质4(可乘性)a>b,c>0⇒ac>bc注意c的符号,当c不确定时,还要考虑c=0的情况

a>b,c<0⇒ac<bc

性质5(同向可加性)a>b,c>d⇒a+c>b+d同向性质6(同向同正可乘性)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd同向且同为正数性质7(可乘方性)a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2)同正且指数为大于1的正整数1.直接利用不等式的性质求代数式的取值范围紧扣不等式的性质,对已知不等式进行整体变形,不拆分代数式、不分步放缩,仅通过加减、乘除(定

号)、取反等基础操作,利用已知代数式求目标代数式的范围.2.待定系数法求代数式的取值范围待定系数法的核心是不拆分单个变量的范围,保留变量间的约束关系,将目标代数式用已知代数式表

示,再通过不等式的性质求出范围,其一般解题步骤如下:(1)设出待求式与已知式的等式;(2)根据等式两边对应部分的系数或指数相等建立关于参数的方程(组),求出待定系数,建立待求范围的

整体与已知范围的整体的关系;(3)结合不等式的性质求得代数式的取值范围.3.双换元法求代数式的取值范围双换元法的核心是引入两个新变量替代原问题中的两个关联变量(或原变量的线性组合),将原代数式

转化为仅含两个新变量的简单表达式,再结合新变量的范围,利用不等式的性质求解,其一般解题步骤

如下:(1)确定换元对象:将已知范围的两个代数式分别用新元表示,此时要注意新元的取值范围;(2)原变量用新变量表示:通过解方程组,将原变量分别表示为两个新变量的线性表达式;(3)转化目标代数式:将目标代数式用新变量表示;(4)求代数式的取值范围:结合新变量的范围,利用不等式的性质求解.名师点睛三种方法均是基于不等式的性质,通过合理转化建立已知与目标的直接联系.勘破疑难1.直接法是最基础、最直接的方法,无复杂变形,关键在于判断操作的正确性和注意符号的变化.2.当已知代数式由两个变量关联时(如:x+y与x-y),优先选用待定系数法或双换元法,禁止拆分变量单独

代入,因为同向不等式相加或相乘不是等价变形,在解题过程中多次使用可能会使所求范围变大,从而

使结果不准确.典例

(1)已知2<x<4,-3<y<-1,则

的取值范围是

()A.

<

<

B.

<

<2

C.

<

<1

D.

<

<

(2)已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则9x-y的取值范围是

()A.-7≤9x-y≤26

B.-1≤9x-y≤20

C.4≤9x-y≤15

D.1≤9x-y≤15(3)已知x,y∈R,且3≤xy2≤8,4≤

≤9,则

的取值范围是________________.

2≤

≤27

B

D

思路点拨

(1)对待求式变形,直接利用不等式的性质求解.(2)和(3)中的已知代数式由两个变量关联,考虑用待定系数法或双换元法求解.解析

(1)

=

.因为2<x<4,-3<y<-1,所以

<

<

,2<-2y<6,所以

<-

<3,所以

<1-

<4,所以

<

<

,即

<

<

.(2)解法一(待定系数法):设9x-y=m(x-y)+n(4x-y),则9x-y=(m+4n)x-(m+n)y,所以

解得

所以9x-y=-

(x-y)+

(4x-y).因为-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,所以由不等式的性质4得

≤-

(x-y)≤

,-

≤

(4x-y)≤

,由不等式的性质5得-1≤-

(x-y)+

(4x-y)≤20,即-1≤9x-y≤20.解法二(双换元法):令m=x-y,n=4x-y,则x=

,y=

,所以9x-y=

n-

m.因为-4≤m≤-1,-1≤n≤5,所以由不等式的性质4得

≤-

m≤

,-

≤

n≤

,由不等式的性质5得-1≤

n-

m≤20,即-1≤9x-y≤20.(3)设

=(xy2)m

,则x3y-4=xm+2ny2m-n,所以

解得

所以

=(xy2)-1

.因为3≤xy2≤8,4≤

≤9,所以

≤

≤

,16≤

≤81,所以2≤(xy2)-1

≤