27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第二章　利用基本不等式求最值

02利用基本不等式求最值重难点1.两个重要不等式不等式适用条件变形形式a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号

成立)a,b∈Rab≤

≤

(当且仅当a=b时,等号成立)a,b>0a+b≥2

,ab≤

2.利用基本不等式求最值的三大核心条件(1)一正:两个数(或式)为正.(2)二定:两数(或式)之和或两数(或式)之积为定值.(3)三相等:必须验证等号成立的条件.利用基本不等式求最值时必须同时满足上述三个条件,缺一不可.深度剖析

1.在基本不等式中,

叫做正数a,b的算术平均数,

叫做正数a,b的几何平均数,即几何平均数≤算术平均数.2.最值定理已知x,y都是正数,(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2

.(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值

.简记:和定积最大,积定和最小.利用基本不等式求最值的常见方法1.直接法(1)适用情形:代数式不用额外变形,本身已满足和或积为定值,直接依据基本不等式的三个条件求解即

可.(2)模型:若m,n,x>0,则mx+

≥2

,当且仅当x=

时等号成立;若m,n>0,x<0,则mx+

=-

(-mx)+

≤-2

,当且仅当x=-

时等号成立.2.配项法(1)适用情形:题干中仅有“单个含变量的单项式+分式”,且各项为正,变量部分无法直接约去凑成定

值,需通过添加恒等项(加一个数再减一个数),让变量部分一致,使和或积是定值,本质是“造项凑定”.(2)模型:若m,n>0,x>a,则mx+

=m(x-a)+

+ma≥2

+ma,当且仅当x-a=

时等号成立.3.配系数法(1)适用情形:已知若干项的和或积为定值,且各项均为正,但各项系数与变量项的和或积无法直接凑定,

需通过给各项配系数、给整体乘(除以)常数,让变量部分的和或积为定值,本质是“调系数凑定”.(2)模型:若m,n>0,0<x<

,则x(n-mx)=

≤

·

=

,当且仅当x=

时等号成立.4.分离常量法(分式型)5.常值代换法(“1”的代换)当“ax+by”与“

+

(xy≠0)”中一个是常数求另一个的最大(小)值时,常用常值代换法(“1”的代换)进行求解,其解题步骤如下:第一步:确认题中某代数式的值为1(或可等价转化为1),且各项均为正;第二步:将待求式乘“1”对应的代数式并展开,构造定值;第三步:利用基本不等式求最值.6.消元法当已知若干个变量之间的等量关系,求关于这几个变量的代数式的最值时,若无法直接利用基本不等式

求解,可考虑用消元法,其解题步骤如下:第一步:将已知条件变形,从中解出一个变量,为消元做准备;第二步:将变形后的代数式代入所求代数式,消元,转化为单变量式;第三步:对单变量式进行求解.7.万能“k”法当题中给定关于x,y的一个二次式,要求另一个代数式的最值时,可以直接令待求式等于k,然后用y表示x,代入原式,得到一个关于y的一元二次方程,利用判别式Δ≥0或其他条件确定k的取值范围,注意验证k取

到最值时,变量的取值是否符合要求.勘破疑难

1.利用基本不等式求最值的题目形式多样,解题方法也很灵活,但本质均是通过构造、转化

等手段,满足“一正、二定、三相等”的核心条件,避免因条件缺失或构造不当导致最值求解错误.2.遇到复杂表达式时,可先化简整理,再结合上述方法构造,必要时可多次运用基本不等式进行求解,但

需保证等号能同时取到.典例

(1)已知x<1,则

的最大值为

()A.-4

B.-3

C.-7

D.-11(2)已知m>1,n>0,且m2+2n=3m,则

+

的最小值为

()A.

B.

C.

D.2

A

B

解析

(1)解法一:因为x<1,所以1-x>0,则

=

=

=

=-

≤-

=-3,当且仅当1-x=

,即x=-1时,等号成立.故所求式的最大值为-3.解法二:因为x<1,所以1-x>0,令t=1-x,则x=1-t,t>0.所以

=

=

=-

≤-

=-3,当且仅当t=

,即t=2,也就是x=-1时,等号成立,故所求式的最大值为-3.(2)由m2+2n=3m,得2n=3m-m2,所以

+

=

+

=

+

.因为n>0,所以3m-m2>0,得0<m<3,又m>1,所以1<m<3,所以m-1>0,2(3-m)>0,则

+

=

·[2(m-1)+2(3-m)]=

≥

=

,当且仅当