27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第四章　函数图象的变换

04函数图象的变换方法技巧1.平移变换:左加右减,上加下减(a>0)

2.对称变换

3.翻折变换函数y=f(|x|)的图象:将y=f(x)的图象在y轴右侧的部分沿y轴翻折到y轴左侧,替换原y轴左侧的图象,并保

留y=f(x)的图象在y轴上及其右侧的部分,因此y=f(|x|)的图象关于y轴对称,如图1.

函数y=|f(x)|的图象:将y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,并保留y=f(x)的图象在x轴上

及其上方的部分,如图2.

4.伸缩变换勘破疑难1.平移变换:“左加右减”只针对x本身,与x的系数无关,当x前边有系数时,要先将系数提出来;“上加下

减”指的是在f(x)整体上进行加减.此外,在进行变换时,要分清楚谁向谁变换.2.对称变换:关于x轴对称,x不变,y变为相反数,关于y轴对称,y不变,x变为相反数,即关于谁对称,谁不变.3.翻折对称:(1)对于函数y=f(|x|),当x≥0时,f(|x|)=f(x),所以保留y轴上及其右侧的图象;当x<0时,f(|x|)=f

(-x),所以把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧.(2)对于函数y=|f(x)|,当f(x)≥0时,|f(x)|=f(x),所以保留x轴

上及其上方的图象;当f(x)<0时,|f(x)|=-f(x),所以把x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方.4.伸缩变换:横向伸缩时,注意x的系数与伸缩的量成倒数关系,纵向伸缩时,y的系数与伸缩的量一致.典例

(1)已知f(x)=|2x-1|,当a<b<c时,f(a)>f(c)>f(b),则

()A.a<0,b<0,c<0

B.a<0,b>0,c>0C.2-a<2c

D.1<2a+2c<2(2)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+4)=2f(x),当x∈(0,4]时,f(x)=2x2-8x,若∀x∈(-∞,t],都有f(x)≥-

,则实数t的取值范围为_________________.

(-∞,-7]

D

思路点拨作出函数的图象,结合图象解决问题.解析

(1)画出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图所示.(先将y=2x的图象向下平移1个单位长度,得到函数y=2x-1的图象,再将得到的图象在x轴上及其上方的部

分不变,在x轴下方的部分翻折到x轴上方,便可得到f(x)的图象)

因为当a<b<c时,f(a)>f(c)>f(b),所以由图可得,a<0,c>0,b可正,可负,可为0,0<f(a)<1,0<f(c)<1,故A,B错误.易知-a>c>0,所以2-a>2c,故C错误.由上述分析知a<0,c>0,所以0<2a<1,2c>1,所以2a+2c>1.因为f(a)>f(c),所以1-2a>2c-1,即2a+2c<2,所以1<2a+2c<2,故D正确.(2)由f(x+4)=2f(x)得f(x)=

f(x+4),所以f(x)的图象从区间(0,4]开始,从右向左,每隔4个单位长度,纵坐标缩小为原来的

.画出f(x)的图象,如图所示.

因为当x∈(-8,-4]时,x+4∈(-4,0],x+8∈(0,4],所以此时f(x)=

f(x+4)=

=

f(x+8)=

×[2(x+8)2-8(x+8)]=

(x2+12x+32),由

解得x=-7,由图可知,当t≤-7时,∀x∈(-∞,t],都有f(x)≥-

.故实数t的取值范围是(-∞,-7].解后反思

应用图象变换解题的关键是画函数图象,应遵循“先定母函数,再析变换,最后分步作图”

的原则,切勿盲目画图.一般先从已知函数中找出一个基本初等函数(母函数),分析对其进行何种变换,

明确是对x