27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第一章 根据集合间的关系或运算结果求参

03根据集合间的关系或运算结果求参高频考点1.集合间的关系若A⊆B,则A中的所有元素都属于B;若A⫋B,则A⊆B且B中存在元素不属于A;若A=B,则A,B中的元素完

全相同.运算符号语言图形语言并集A∪B={x|x∈A,或x∈B}交集A∩B={x|x∈A,且x∈B}补集∁UA={x|x∈U,且x∉A}2.集合的交、并、补运算3.集合的运算性质(1)A∪B=B∪A,A∩B=B∩A(交换律);A∪(B∪C)=(A∪B)∪C(结合律);A∪A=A,A∩A=A;A∪⌀=⌀∪A=A,A∩⌀=⌀∩A=⌀.(2)A⊆(A∪B),B⊆(A∪B);(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B.(3)∁UA⊆U,∁UU=⌀,∁U⌀=U,∁U(∁UA)=A.(4)A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀;∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).4.集合运算与集合关系的等价转化(1)A∪B=B⇔A⊆B,A∩B=A⇔A⊆B;(2)(∁UB)⊆(∁UA)⇔A⊆B,A∩(∁UB)=⌀⇔A⊆B;(3)A∩B=⌀⇔A与B无公共元素.知识剖析

1.用Venn图表示A∪B如下:

2.用Venn图表示A∩B如下:

技巧点拨

对于集合的交、并运算口诀:越并越大,越交越小.1.由集合间的关系求参数的值或范围(1)若集合是有限集,则根据集合间的关系,通过观察列出方程(组)求解,解题时还要注意集合中的元素应

满足互异性.(2)若集合是用不等式描述的,则通常借助数轴进行分析,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,列出

不等式(组)求解,还要注意验证端点值是否符合题意.(3)涉及“A⊆B”或“A⫋B”的问题,若集合A中含有参数,通常要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论,

其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视.当A⊆B,且A≠⌀时,列式一般要根据A≠⌀、左端点、右端点列式,具体列式如下:集合A的表示形式集合B的表示形式A⊆B,且A≠⌀的列式{x|a<x<b}{x|c<x<d}

{x|a<x≤b}{x|c≤x<d}

{x|a≤x≤b}{x|c≤x≤d}

2.利用集合的运算结果求参数的值或范围(1)已知含参集合的运算结果求参数时,若集合是有限集,则根据运算结果讨论求解(求得结果要验证);若

集合是无限集,画数轴分析端点值的大小求解(注意等号的取舍).(2)已知含参集合的运算关系求参数时,一般可以将已知条件转化为两个集合之间的关系,如:A∪B=B,A

∩B=A,A∩(∁UB)=⌀,(∁UB)⊆(∁UA)均可以转化为A⊆B;B∩(∁UA)=B可以转化为A∩B=⌀等.则问题转

化为由集合间的关系求参数的值或范围.名师点睛1.根据集合间关系或运算求参数的核心思路:明确集合形式→转化运算关系→分情况讨论(含空集)→

列关系式求解→验证.2.验证的方向:(1)是否满足元素的互异性.(2)是否满足集合间的关系.(3)集合运算的结果是否与题目条件一致.勘破疑难1.若集合中的元素为方程的解,且方程最高次项系数含参时,要注意讨论系数是不是0,如{x|ax=1},{x|ax2

+2x+3=0}.2.若集合A是用不等式表示的,当A=⌀时列式如下:集合A的表示形式A=⌀的列式{x|a<x<b}或{x|a<x≤b}或{x|a≤x<b}a≥b{x|a≤x≤b}a>b特别地,当A={x|a<x<a+1}时,A不可能是空集;当A={x|1-a<x<1+a,a>0}时,A也不可能是空集.典例1已知集合A={x|a-1<x<2a+3},B={x|-2≤x≤4}.(1)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围;(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.解析

(1)当A=⌀时,满足A∩B=⌀,此时a-1≥2a+3,即a≤-4;当A≠⌀时,由A∩B=⌀得

或

解得-4<a≤-

或a≥5.综上,实数a的取值范围为

a

a≤-

或a≥5

.(2)若A∩B=A,则A⊆B.当A=⌀时,满足A⊆B,此时a≤-4;当A≠⌀时,由A⊆B得

解得-1≤a≤

.综上可知,实数a的取值范围为

a

a≤-4或-1≤a≤

.解题模板已知集合运算结果和运算关系求参时,正确转化集合间的关系是关键,不忘空集是注意点,

分情况讨论的结果取并集是保障.典例2设集合A={x|x2-8x+12=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-13=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围;(3)若全集U=R,A∩(∁UB)=A,求实数a的取值范围.解析

(1)A={x|x2-8x+12=0}={x|(x-2)(x-6)=0}={2,6},∵A∩B={2},∴2∈B,则22+2(a+1)×2+a2-13=0,即a2+4a-5=0,解得a=1或a=-5.当a=1时,B={x|x2+4x-12=0}={x|(x+6)(x-2)=0}={-6,2},则A∩B={2},满足题意;当a=-5时,B={x|x2-8x+12=0}=A,则A∩B={2,6},不满足题意.综上可知,若A∩B={2},则a=1.(2)若A∪B=A,则B⊆A.①当B=⌀时,满足B⊆A,则Δ=4(a+1)2-4(a2-13)=8(a+7)<0,解得a<-7,满足题意;②当B中有一个元素时,Δ=8(a+7)=0,解得a=-7,此时B={x|x2-12x+36=0}={x|(x-6)2=0}={6},满足题意;③当B中有两个元素时,B=A={2,6},则

解得a=-5.综上,实数a的取值范围为{a|a≤-7或a=-5}.(3)若全集U=R,A∩(∁UB)=A,则A⊆∁UB,即A∩B=⌀,故2∉B,且6∉B,则2