北师大版八年级数学下全册教学课件2020年春

1.1等腰三角形第一章三角形的证明情景引入合作探究课堂小结随堂训练第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质八年级数学上（最新北师大版）全册精品教学课件情景引入下载图片共同特点合作探究全等三角形的判定和性质定理：两角分别相等且其中一组灯脚的对边相等的两个三角形全等全等三角形的对应边相等、对应角相等等腰三角形你知道什么是等腰三角形吗?有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。ABC腰腰底边底角顶角相等的两条边AB和AC叫做腰;另一条边BC叫做底边;两腰所夹的角∠BAC叫做顶角;底边与腰的夹角∠ABC和∠ACB叫做底角.如图，△ABC中,AB=AC，那么△ABC就是等腰三角形。只有等腰三角形才有底角和底边.ABCD如图:在三角形ABC中，AB=AC，且AD=BD，请大家数一数，这个图形中一共有多少个等腰三角形？△ABC（AB=AC），△ADB（AD=BD）若将条件改为AB=AC,AD=BD=BC，则有多少个等腰三角形？△ABC（AB=AC）△ADB（AD=BD）△BDC（BD=BC）心灵手巧材料:

剪刀、一张矩形纸方法：（1）先将矩形纸按图中虚线对折；（2）剪去阴影部分；

（3）将剩余部分展开。大胆猜测

请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形纸片,它除了两腰相等以外,你还能发现什么?ABC

如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,我们就说这个图形关于这条直线对称,那么这个图形就叫轴对称图形,这条直线叫对称轴.互相重合的点是对应点,叫做对称点.ABCD设问：你发现了什么现象，猜一猜猜想等腰△ABC有哪些性质？

角:①∠B=∠C②∠BAD=∠CDA③∠ADC=∠ADB=900边:④BD=CD

→两个底角相等

→AD为顶角∠BAC的平分线

→AD为底边BC上的高

→AD为底边BC上的中线结论:等腰三角形是轴对称图形；等腰三角形性质性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（可简记为“三线合一”）证明：作顶角的平分线AD.在△BAD和△CAD中，AB=AC(已知),∠1=∠2(辅助线作法)，AD=AD(公共边),∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).已知：△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABC12证明：等腰三角形的两个底角相等作顶角的平分线D证明：

作底边中线AD.在△BAD和△CAD中，AB=AC(已知),BD=CD(辅助线作法)，AD=AD(公共边),∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).已知：△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：等腰三角形的两个底角相等作底边中线证明：

作底边高线AD.AB=AC(已知),AD=AD(公共边),∴Rt△BAD≌Rt△CAD(HL).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).已知：△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：等腰三角形的两个底角相等作底边的高线在Rt△BAD和△RtCAD中，等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）例1在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠B=80°，则∠C=___度，∠A=____度？∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）∵∠B=80°（已知）∴∠C=80°又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和为180°）∴∠A=180°－∠B－∠C

∠A=20°BCA等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）操练1

在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠A=50°，则∠B=——度，∠C=——度？CBA∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和为180°）

∠A=50°（已知）∴∠B=65°∠C=65°等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.“三线合一”课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？性质1：等边对等角性质2：“三线合一”常用来证明两角相等，求等腰三角形各角的度数．研究等腰三角形的有关问题时“三线”是常用的辅助线．

等腰三角形1.判断下列语句是否正确。（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（）（2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°.（）（3）等腰三角形的底角都是锐角.（）（4）钝角三角形不可能是等腰三角形.（）××随堂训练2.在三角形ABC中，AB=AC，且AD⊥BC，已知BD=2cm,求DC=___cm,BC=___cm？CBDA12∵AB=AC,AD⊥BC（已知）∴BD=CD（等腰三角形的高与底边上的中线重合）即（等腰三角形三线合一）∵BD=2cm（已知）∴CD=2cm3.已知AD⊥BC,试找出等腰三角形ABC（AB=AC）中，存在相等关系的量。CBDA12∠B=∠C∠1=∠2∠BDA=∠CDA=90°BD=CD4.根据等腰三角形的性质,在△ABC中，AB=AC时，

(1)∵AD⊥BC，∴∠_____=∠_____，____=____.

(2)∵AD是中线，∴____⊥____，∠_____=∠_____.(3)∵AD是角平分线，∴____⊥____，_____=_____.ABCDBADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD5.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，则点D到AB，AC的距离相等。请说明理由。┐┐AEFBDC解：相等，理由如下：连接AD在△ABC中，∵AB=AC，D为ＢC中点∴AD平分∠BAC∵DE⊥AB，DF⊥AC∴DE=DF1.1等腰三角形第一章三角形的证明情景引入合作探究课堂小结随堂训练第2课时等边三角形的性质八年级数学上（最新北师大版）全册精品教学课件ABC1、什么是等腰三角形？2、等腰三角形有什么性质？从边看：从角看：等腰三角形的两腰相等AB=AC等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合D等腰三角形是轴对称图形等腰三角形的两底角相等∠B=∠C

从对称性看：从重要线段看：情景引入三边都相等的三角形叫等边三角形。ABCAB=BC=CA提出问题：等边三角形有哪些性质呢？根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质：等边三角形是特殊的等腰三角形也叫正三角形。①从边看②从角看③从对称性看④从重要线段看合作探究等边三角形的性质2.等边三角形的内角都相等，且等于60°3.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一。4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。1.三条边相等。2.三个角都相等的三角形是等边三角形.3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.1.三边都相等的三角形是等边三角形.（定义）一般三角形等边三角形ABC等边三角形ABC∵AB=BC=AC∴△ABC是等边三角形∵∠B=600AB=BC∴△ABC是等边三角形∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形怎样判断三角形ABC是等边三角形？

例1.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，

交AB、AC于D,E。求证：△ADE是等边三角形ACBDE若将DE∥BC改为AD=AE呢？若将DE∥BC改为∠ADE＝600呢？等边三角形与等腰三角形性质和判定的异同定义

性质

判定

等腰三角形

等边三角形有两条边相等1、两边、两角相等2、三线合一3、一条对称轴1、三边、三角相等2、三线合一3、三条对称轴有三条边相等1、定义2、等角对等边1、定义2、三个角都相等3、等腰三角形有一个角是600课堂小结1等边三角形每各边上的中线，高和它所对角的平分线互相重合。AFEDCBO654321810972等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。对称轴是：顶角平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线1、△ABC是等边三角形，以下三种分法分别得到的△ADE是等边三角形吗，为什么？

①在边AB、AC上分别截取AD＝AE.ACB①ACB②ACB③DEDEDE600②作∠ADE＝600，D、E分别在边AB、AC上.③过边AB上一点D作DE∥BC，交边AC于E点.随堂训练2.如图，等边三角形ＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ上的高，∠ＢＤＥ＝∠ＣＤＦ＝６０°，图中有哪些与BD相等的线段？DEF1.1等腰三角形第一章三角形的证明复习导入合作探究课堂小结随堂训练第3课时等腰三角形的判定与反证法八年级数学上（最新北师大版）全册精品教学课件我们在上一节学习了等腰三角形的性质。现在你能回答我一些问题吗？复习导入复习：1、等腰三角形的性质定理是什么？等腰三角形的两个底角相等。（可以简称：等边对等角）2、这个定理的逆命题是什么？如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。3、猜想这个命题正确吗？思考：ABO如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？合作探究已知：△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作∠BAC的平分线AD在△BAD和△CAD中，∠B=∠C，∠1=∠2，AD=AD∴△BAD≌△CAD（AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）1ABCD2思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)ABC应用格式:在△ABC中∵∠B=∠C∴AB=AC（等角对等边）例1

:求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。ABCDE12如图，∠CAE是⊿ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC。求证：AB=AC已知：从求证看：要证AB=AC，需证∠B=∠C，分析：从已知看：因为∠1=∠2，AD∥BC可以找出∠B，∠C与的关系。证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）。∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）。ABCDE12如图，标杆AB高5m，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D，E两点拉两条绳子，使得点D，B，E在一条直线上，量得DE＝4m，绳子CD和CE要多长？例2：ACDBEC解：选取比例尺为1：100（即以1cm代表1m）⑴作线段DE＝4cm，MNB⑵作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B，⑶在MN上截取BC2.5cm，⑷连接CD，CE，△CDE就是所求的等腰三角形.量出CD的长,就可以计算出要求的绳长,自己试一试!DE1、等腰三角形的判定方法有下列几种：

。2、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是

。3、运用等腰三角形的判定定理时，应注意

。①定义，②判定定理条件和结论刚好相反。在同一个三角形中课堂小结CBAD121.已知：如图∠A=360,∠DBC=360，∠C=720。计算∠1和∠2，并说明图中有哪些等腰三角形？解：∠1=720

∠2=360等腰三角形有：△ABC，△ABD，△BCD随堂训练ACDB2.已知：如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形。等腰直角三角形有：△ABC，△ACD，△BCD。BADC3.已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC。求证：AB=AD证明：∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC∴∠ABD=∠ADB∴AB=AD(等角对等边)1.1等腰三角形第一章三角形的证明复习导入合作探究课堂小结随堂训练第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质八年级数学上（最新北师大版）全册精品教学课件图形等腰三角形

性质

三线合一三个角都相等，轴对称图形（3条）等边三角形轴对称图形（1条）两个角相等三线合一等于60º两条边相等三边都相等复习导入有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）有两个角相等的三角形是等腰三角形。满足什么条件的三角形是等边三角形？满足什么条件的三角形是等腰三角形?三边都相等的三角形是等边三角形（定义）三个角都相等的三角形是等边三角形。方法一：从边看方法二：从角看方法一：方法二：合作探究小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？ACB(1)60°(2)ABC60°分类讨论边相等转化为角相等1、判断下列说法的正误：1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形。2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形。3）三个外角都相等的三角形是等边三角形。4）有两个角为60°的三角形是等边三角形。6）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形。5）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。判定1.三边相等（定义）判定2：三个角相等∵AB=BC=AC∴△ABC是等边三角形∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形∵∠A=600,AB=BC∴△ABC是等边三角形判定3：一个角是60°的等腰三角形ACB2.在△ABC中，AB=AC，若要使△ABC为等边三角形，还应补充一个条件，这个条件是

（只填写一个条件）ACB3.在△ABC，∠A=60°。AB=AC=10cm，则BC=

.10cm例1.如图，E、F是△ABC中BC边上的点，且BE=EF=CF=AE=AF,求∠BAC.EBFCA注：边相等可转换为角相等例2：如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC

，请问△ADE是等边三角形吗?试说明理由.ACBDEBD=CE探究1

用直尺量一量含30°角的直角三角板的最短直角边(即300角所对的直角边)与斜边，记录下数据，你有什么发现？猜一猜在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。探究2①当将两个同样大小的三角板（含30°和60°的角）摆在一起，新得到的三角形是特殊的三角形吗？请说明理由；

②得出300角所对的直角边与斜边之间的数量关系，说明理由.

我们可以用两个同样大小的三角尺（含30°和60°的角）拼接起来验证ACDB验证：判定1.三边相等（定义）判定2：三个角相等∵AB=BC=AC∴△ABC是等边三角形∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形∵∠A=600,AB=BC∴△ABC是等边三角形判定3：一个角是60°的等腰三角形边角相等互相转化思想ACB类比分类讨论课堂小结三边相等（定义）含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm.92.三角形的三条边长a,b,c满足该三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形C随堂训练3如图,△ABC是等边三角形,DEF分别是三边上的点,且AD=BE=CF,请问△DEF是等边三角形吗?说明理由.AFEDCB是!DE⊥BCDF⊥ABEF⊥AC

4.如图是由15根火柴组成的两个等边三角形,你能只移动三根火柴将此图变成四个等边三角形吗？5.已知:等腰三角形的底角为150,腰长为20.求:腰上的高.∵∠B=∠ACB=150(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=150+150=300∴CD=AC=×20=10ACBD15015020解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D1.2直角三角形第一章三角形的证明复习导入合作探究课堂小结随堂作业第1课时勾股定理及其逆定理八年级数学上（最新北师大版）全册精品教学课件曾经探索过的直角三角形的哪些性质和判定方法？直角三角形的性质1.在直角三角形中，两锐角互余.2.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.4.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.复习导入直角三角形的判定1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形.2.有两个角互余的三角形是直角三角形.3.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagorastheorem）.acb勾弦股合作探究勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求证:△ABC是直角三角形.acbABC(1)逆定理的证明证明:作Rt△A′B′C′使∠C′=900,A′C′=AC,B′C′=BC(如图),则已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求证:△ABC是直角三角形.acbABC(1)acbB′A′C′(2)A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理).∵AC2+BC2=AB2(已知),A′C′=AC,B′C′=BC(作图),∴AB2=A′B′2(等式性质).∴AB=A′B′(等式性质).∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠A=∠A′＝900(全等三角形的对应边).∴△ABC是直角三角形(直角三角形意义).几何的三种语言勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.这是判定直角三角形的根据之一.在△ABC中∵AC2+BC2=AB2(已知),∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形).acbABC(1)命题与逆命题直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系?与同伴交流.再观察下面命题:如果两个角是对顶角,那么它们相等,如果两个角相等,那么它们是对顶角;三角形中相等的边所对的角相等,三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗?与同伴进行交流.命题与逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗?想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题?定理与逆定理一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.我们已经学习了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理,两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.你还能举出一些例子吗?想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagorastheorem）.勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.课堂小结命题与逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.定理与逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.1.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则在对面墙的正中间离地板1英尺的B处.试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少?●AB●301212随堂训练老师提示:你是否能将有关命题的知识予以整理.2.说出下列合理的逆命题,并判断每对命题的真假:（1）四边形是多边形;（2）两直线平行,同旁内角互补;（3）如果ab=0,那么a=0,b=0.请你举出一些命题,然后写出它的逆命题,并判断这些逆命题的真假.1.2直角三角形第一章三角形的证明复习导入合作探究课堂小结随堂作业第2课时直角三角形全等的判定八年级数学上（最新北师大版）全册精品教学课件三角形全等的判定公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.复习导入两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如果其中一边的所对的角是直角呢?如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.请证明你的结论.想一想:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等?命题的证明命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.证明:这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图:ABCA′B′C′A′B′C′●●●(1)(2)(3)老师提示:举反例证明假命题千万不可忘记噢!由图(1)和图(2)可知,这两个三角形全等;由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等;因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.ABCA′B′C′A′B′C′●●●(1)(2)(3)命题的证明两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.但如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,AC=A′C′,AB=A′B′,∠C=∠C′=900.求证:△ABC≌△A′B′C′.ABCA′B′C′分析:要证明△ABC≌△A′B′C′,只要能满足公理(SSS),(SAS),(ASA)和推论(AAS)中的一个即可.由已知和根据勾股定理易知,第三条边也对应相等.合作探究

做一做已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.已知：如图，线段a，c（a<c），直角.求作：Rt△ABC，使∠C=∠，BC=a，AB=c.

你作的直角三角形与小明作的全等吗?小明的作法如下：（1）作∠MCN=∠=90°（2）在射线CM上截取CB=a.（3）以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN与点A.（4）连接AB，得到Rt△ABC.直角三角形全等的判定定理及其三种语言定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=900,∵AC=A′C′,AB=A′B′(已知),∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).ABCA′B′C′ABCA′B′C′证明：在△ABC中，∵∠C=90°，∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）.同理，B′C′2-A′B′2-A′C′2.∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.例

如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？解：根据题意，可知∠BAC=∠EDF=90°，∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）∴∠B=∠DEF（全等三角形的对应角相等）∵∠DEF+∠F=90°（直角三角形的两锐角互余）∴∠B+∠F=90°.如图,已知∠ACB=∠BDA=900,要使△ABC≌△BDA,还需要什么条件?把它们分别写出来.增加AC=BD;ABCD增加BC=AD;增加∠ABC=∠BAD;增加∠CAB=∠DBA;你能分别写出它们的证明过程吗?若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?O你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗?你能分别写出它们的证明过程吗?直角三角形全等的判定定理:定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;两边对应相等的两个直角三角形全等;课堂小结1.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等腰三角形.分析:要证明△ABC是等腰三角形,就需要证明AB=AC;进而需要证明∠B∠C所在的△BDF≌△CDE;而△BDF≌△CDE的条件:从而需要证明∠B=∠C;BD=CD,DF=DE均为已知.因此,△ABC是等腰三角形可证.DBCAFE随堂训练2.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=BF.求证:(1)AE=AF;(2)AB∥CD.

BCAEDF分析:(1)要证明AE=CF,由此AE=CF可证.需要证明内错角∠A=∠C;而由△ABF≌△CDE可得证.(2)要证明AB∥CD,由已知条件,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,DE=BF.可证得△ABF≌△CDE,从而可得AF=CE.1.3线段的垂直平分线第一章三角形的证明复习导入合作探究课堂小结随堂作业第1课时线段的垂直平分线八年级数学上（最新北师大版）全册精品教学课件我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗?

定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等复习导入

分析：要想证明PA=PB,可以考虑去证明这条线段所在的三角形是否全等.也就是想办法证明△APC≌△BPC.而△APC≌△BPC的条件由已知AC=BC,且MN⊥AB,可推知其能满足三角形全等公理（SAS).故结论可证.

你能写出它的证明过程吗？

已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.ACBPMN合作探究证明：∵MN⊥AB∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC,PC=PC∴△APC≌△BPC(SAS)∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)ACBPMN如果点P与点C重合，那么结论显然成立.几何语言描述老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.ACBPMN如图,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).深入思考：你能写出“定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗?逆命题到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗?如果是,请你证明它.思考分析已知:如图,PA=PB.求证:点P在AB的垂直平分线上.分析:要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点,),然后证明另一个结论正确.试一试：你能自己写出这两个证明过程吗？ABP

方法一：过点P作PC⊥AB,垂足为C∵PC⊥AB∴△APC和△BPC都是Rt△∵PC=PC,PA=PB∴Rt△APC≌Rt△BPC(HL)∴AC=BC(全等三角形的对应边相等)∴P在AB的垂直平分线上ACBP

方法二：把线段AB的中点记为C,连接PC∵C为AB的中点∴AC=BC∵PA=PB,PC=PC∴△APC≌△BPC(SSS)∴∠PCA=∠PCB=90°∴PC⊥AB即P在AB的垂直平分线上ACBP.逆定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.几何语言描述：如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.ABP已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC．证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点O在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.你还有其他证明方法吗？今天你收获了什么？1、线段垂直平分线的定理及证明2、线段垂直平分线的逆定理及证明3、两个定理之间的区别与联系课堂小结1.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=

cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC=

0.EDABC760随堂训练2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.BAEDC

解：∵DE为AB的垂直平分线

∴AE=BE∵△BCE的周长等于50∴BE+EC+BC=50

即：AE+EC+BC=50∴AC+BC=50∵AC=27∴BC=23

比一比：你的写作过程完整吗？3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上

一点.

求证：PB=PCPBDCA解：∵AB=AC∴A在线段BC的垂直平分线上

∵BD=CD∴D在线段BC的垂直平分线上

∴AD是线段BC的垂直平分线

∵P是AD上一点

∴PB=PC

3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上

一点.

求证：PB=PCPBDCA深入探索：你还有其他的证明方法吗？

4.已知：如图，点P是线段AB垂直平分线MN上的一点，MN交AB于O，OB=4cm，∠APB+3∠ABP=210°，求点B到AP的距离.MABPN∟C∟01.3线段的垂直平分线第一章三角形的证明复习导入合作探究课堂小结随堂作业第2课时三角形三边的垂直平分线及作图八年级数学上（最新北师大版）全册精品教学课件定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.NACBPM如图,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).复习导入逆定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.几何语言描述：如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.ABP已知:线段AB,（如图）.求作:线段AB的垂直平分线.作法:

用尺规作线段的垂直平分线.1.分别以点A和B为圆心,以大AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.ABCD2.作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.想一想：请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.

特别提示:

因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以以后我们经常也会用这种方法作线段的中点.剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.观察这三条垂直平分线,你发现了什么?合作探究

结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗?老师期望:你能写出规范的证明过程.利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么?与同伴交流.

结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗?老师期望:你能写出规范的证明过程.如何证三条直线交于一点？命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点。要想证明三条直线相交于一点只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交于点P,连接AP,BP,CP.∵点P在线段AB的垂直平分线上,∴PA=PB.同理,PB=PC.∴PA=PC.∴点P在线段AC的垂直平分线上,∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.ABCP

定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.想一想：仿照我们上节课讲的线段垂直平分线的定理以及逆定理的几何语言的表示方法，你能把这个定理也用几何语言表示出来吗？试一试：你能独立完成这个写作过程吗？老师提示:这是证明三条直线交于一点的根据.如图,在△ABC中,∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).ABCPabc（1）已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?如果能,能作出几个?所作出的三角形都全等吗?老师期望:你能亲自探索出结果并能用尺规作出图形.（2）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?例题已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形.

已知:线段a,h(如图).ah求作:△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.老师期望:你能独立写出作法.请你写出作法.作法:（1）作线段BC=a(如图)（2）作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D（3）在m上作线段DA，使DA=h（4）连接AB,AC△ABC为所求的等腰三角形haBCADm定理

三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.如图,在△ABC中,∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).ABCPabc课堂小结

尺规作图的解题格式(六步骤):已知:

作法：求作:证明：分析:讨论：1.已知线段a,求作以a为底,以a/2为高的等腰三角形.这个等腰三角形有什么特征?老师提示:先分析,作出示意图形,再按要求去作图.随堂训练2.如图，已知△ABC，求作：（1）AC边上的高；（2）BC边上的高.ABC老师提示:钝角三角形中三边的高的情况.3.为筹办一个大型运动会,某市政府打算修建一个大型体育中心.在选址过程中,有人建议该体育中心所在位置应当与该城市的三个城镇中心(如图中P,Q,R表示)的距离相等.P●Q●R●P●Q●R●(1)(2)(1).根据上述建议,试在图(1)中画出体育中心G的位置;(2).如果这三个城镇的位置如图(2)所示,∠RPQ是一个钝角,那么根据上述建议,体育中心G应在什么位置?(3).你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议?4.如图，某市三个城镇中心A,B,C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了三种连接方案：（1）AB+BC（2）AD+BC(D为BC的中点)（3）OA+OB+OC(O为△ABC三边的垂直平分线的交点)要使铺设的光缆长度最短应选哪种方案？ABCADBCODCBA1.4角平分线第一章三角形的证明复习导入合作探究课堂小结随堂作业第1课时角平分线八年级数学上（最新北师大版）全册精品教学课件

还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的?

与小组同学交流。角平分线上的点到角两边的距离相等。复习导入角平分线上的点到角两边的距离相等。已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．

求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，

∴△PDO≌△PEO(AAS)．

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)AOCB12PDE合作探究定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).图形语言文字语言数字符号语言AOCB12PDE你能写出上面这个定理的逆命题吗?性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.用心想一想，马到成功如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是请举出反例。不是真命题，是假命题。在角的外部，也存在到角两边距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上．角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。它是真命题吗?如果是.请你证明它。AOCB12PDE已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．AOCB12PDE判定定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),且PD=PE,

∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).图形语言文字语言数字符号语言AOCB12PDE你能用什么办法平分一个已知角呢？1．可以用量角器．2．使用三角尺，也可以平分一个已知角．3．用角尺也可以平分一个已知角．4．用直尺和圆规平分一个已知角．5.用折纸的办法也可以平分一个已知角．发散思维，想一想已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.用尺规作角的平分线.作法:1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.

则射线OC就是∠AOB的平分线.ABOCDE

你能说明射线OC为什么是∠AOB的平分线吗？1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线。你发现了什么？学以致用，练一练2.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.C●D●ABO温馨提示：本题综合运用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质哦！1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.2.角平分线的判定定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.3.用尺规作角平分线课堂小结1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角平分线,它们有什么位置关系?老师期望:你能说出结论并能证明它.EDABCF随堂训练2.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.BAEDCF3.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺1:20000)。A区1.4角平分线第一章三角形的证明复习导入合作探究课堂小结随堂作业第2课时三角形三条内角的平分线八年级数学上（最新北师大版）全册精品教学课件角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).图形语言数字符号语言性质定理AOCB12PDE复习导入

在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),且PD=PE,

∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).图形语言数字符号语言判定定理AOCB12PDE已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.用尺规作角的平分线.作法:1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.

则射线OC就是∠AOB的平分线.ABOCDE作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．用心做一做合作探究实际操作，你又能发现什么？

剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．结论:三角形三个角的平分线相交于一点.

怎样证明这个结论呢?点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可。命题:三角形三个角的平分线相交于一点.已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上∴PD=PE.同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上∴△ABC的三条角平分线相交于点P．PDEFABCMN定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).ABCPMNDEF定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).三角形一个内角和与它不相邻的两外角的平分线交于一点,这个的点叫做三角形的傍心.这样点有三个.OCB1A2PDE课堂小结1.如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.老师期望:你能正确地解答并规范地写出其过程.EDABC随堂训练2.如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?ABC老师提示:三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点，这个的点叫做三角形的傍心，这样点有三个。3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线.老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.BAPDCO小结与复习第一章三角形的证明知识归纳合作探究课堂小结随堂作业八年级数学上（最新北师大版）全册精品教学课件公理:公认的真命题称为公理(axiom).证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.

推理的过程称为证明.定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).推论:由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).推论可以当作定理使用.知识归纳定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义(definition).命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).

每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.

正确的命题称为真命题(truestatement),不正确的的命题称为假命题(falsestatement).证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.提示:

要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例(counterexample).2.推论:

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).本章知识要点回顾1.定理:等腰三角形的两个底角相等简称:等边对等角A

CBD12结论4:

等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半.3.等腰三角形有关知识要点:结论1:等腰三角形两底角的平分线相等.结论2:等腰三角形两腰上的中线相等.结论3:等腰三角形两腰上的高相等；4.等边三角形的判定：(3).有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.(1).三条边都相等的三角形是等边三角形.(2).三个角都相等的三角形是等边三角形.结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.5.定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么

这个锐角所对直角边等于斜边的一半ABC300它的逆命题:

在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于300.6.勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.它的逆定理:

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.7.直角三角形全等的判定定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(简称“HL”)8.写出命题：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形.定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.9.线段的垂直平分线它的逆命题:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.ACBPMN10.角平分线定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等.∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE∴∠1=∠2(OP是角平分线或P在∠AOB的平分线上)

在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.OCB1A2PDE11.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.12.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.(这一点叫做三角形的外心)(这一点叫做三角形的内心)ABCP例1:在ΔABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB

求证:DC⊥AC21ACEF证明:取AB的中点E,连结DE∵DA=DB,AE=BE∴DE⊥AB(等腰三角形三线合一)∵AB=2AC,E为AB的中点∴AE=AC在ΔAED和ΔACD中,AE=AC,∠1=∠2,AD=AD∴ΔAED≌ΔACD(SAS)∴∠AED=∠ACD=900即AC⊥DC或用延长法:延长AC至F使CF=AC,连结DFDB21C合作探究方法二证明:延长AC至F使CF=AC,连结DF∵AB=2AC,AC=CF∴AB=AF∵∠1=∠2,AD=AD∴ΔADB≌ΔADF(SAS)∴DB=BF∵DA=DB∴DA=DF∵AC=CF∴DC⊥AF(等腰三角形三线合一)即DC⊥AC思路探究:除了截短法和延长法外,在等腰三角形中,我们通常作底边的中线或高或顶角平分线,以便使用等腰三角形的性质(三线合一).21ACFDB21C例2:如图,ΔABC,ΔCDE是等边三角形

(1)求证:AE=BDABCDE(2)若BD和AC交于点M,AE和CD交于点N,

求证:CM=CNMN(3)连结MN,猜想MN与BE的位置关系.并加以证明思路探究:通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等,这是一种常见的证明方法.本题我们应注意用到等边三角形的性质以及平行法的判定方法.当图形较复杂时,注意分清条件与图形中的对应关系角的平分线通过探索,猜想,计算和证明得到定理与等腰三角形、等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论与一般的三角形有关的结论命题的逆命题及其真假尺规作图线段的垂直平分线课堂小结1、已知:如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,

DE∥BA,DF∥CA.

求证:∠FDE=∠A.ABCDEF随堂训练2、已知:如图,AD∥CB,AD=CB.

求证:△ABC≌△CDA.ABCD3、已知:如图,AB=AC,∠ABD=∠ACE.

求证:(1)OB=OC;(2)BE=CD.ABCEDO4、已知:如图,BD,CE是△ABC的高,且BD=CE.

求证:△ABC是等腰三角形.5、已知:如图,AN⊥OB,BM⊥OA,垂足分别为

N,M,且OM=ON.

求证:PM=PN.2.1不等关系第二章一元一次不等式与一元一次不等式组情景引入合作探究课堂小结随堂训练八年级数学上（最新北师大版）全册精品教学课件地球上海洋的面积大于陆地的面积，铅球的质量比篮球的质量大……

利用相等关系可以解决许多问题，利用不等关系同样可以解决许多问题。在我们的生活中，不等关系更为普遍。情景引入Ⅰ、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：(1)要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳子长l应满足怎样的关系式？合作探究Ⅰ、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：(2)如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳子长l应满足怎样的关系式？Ⅰ、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：(3)当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？Ⅰ、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：(4)当l=12时，正方形和圆的面积哪个大？Ⅰ、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：(5)你能得到什么猜想？改变l的取值再试一试。Ⅱ、通过测量一棵树的树围(树干的周长