2026学年蛟川书院数学兴趣小组选拔测试3

2026学年蛟川书院数学兴趣小组选拔测试3卷首语欢迎各位同学参加本次数学兴趣小组选拔测试。蛟川书院数学兴趣小组旨在激发同学们对数学的好奇心与探索欲，培养逻辑思维、创新意识和解决复杂问题的能力。本次测试将考察同学们对数学基础知识的掌握程度、数学思维的灵活性以及一定的拓展应用能力。希望大家沉着冷静，发挥出最佳水平，享受数学思考带来的乐趣。测试时间：90分钟满分：120分注意事项：1.请用黑色水笔或钢笔在答题卡指定位置作答，字迹工整，书写规范。2.不得使用任何形式的计算器或辅助工具。3.请独立思考，诚信答题。---一、选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若一个正整数既能表示为两个连续偶数的平方差，又能表示为三个连续奇数的平方和的一半，则满足条件的最小正整数是（）A.20B.28C.36D.442.如图，一个由相同小正方体搭成的几何体，从正面看到的图形和从左面看到的图形均为3×3的正方形（每个小方格均为小正方体的一个面），且该几何体的表面积（包括底面）为某个固定值。则搭成这个几何体所需小正方体的个数最多可能与最少可能的差为（）A.8B.9C.10D.11（注：此处原题应有图形，实际测试中会提供。本文描述为：正视图和左视图均为3行3列的正方形网格，每个格子代表一个小正方体的面。）3.甲、乙、丙三位同学参加一次数学竞赛，赛前他们预测自己的名次：甲说：“我不是第一名，也不是最后一名。”乙说：“我不是第一名，丙是最后一名。”丙说：“我不是最后一名，甲是第一名。”竞赛结果公布后，发现每人都只说对了一半。那么，此次竞赛的第一名是（）A.甲B.乙C.丙D.无法确定4.已知非负整数a、b、c满足a+b+c=5，且a≤b≤c。则代数式2a+3b+4c的最大值与最小值之和为（）A.30B.31C.32D.335.将一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1至6）连续抛掷三次，记三次朝上的数字分别为a、b、c。则以a、b、c为边长能构成等腰三角形的概率是（）A.1/4B.11/36C.13/36D.15/36---二、填空题(本大题共5小题，每小题8分，共40分)6.计算：(1/2+1/3+...+1/2025)×(1+1/2+...+1/2024)-(1+1/2+...+1/2025)×(1/2+1/3+...+1/2024)=_________。7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接CE、DF交于点G。则图中阴影部分（△DGC）的面积为_________。（注：此处原题应有图形，实际测试中会提供。阴影部分为CE与DF相交形成的其中一个三角形。）8.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。出发时他们的速度比是3:2，相遇后甲的速度提高了20%，乙的速度提高了50%。当甲到达B地时，乙离A地还有28千米。则A、B两地相距_________千米。9.用1、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的五位数，若将这些五位数按从小到大的顺序排列，则第75个数是_________。10.现有若干个边长为1的小正方形纸片，从中选取一些纸片拼成一个新的正方形，要求新正方形的边长不小于2，且拼成的新正方形的内部（不包括边界）至少有一个小正方形的纸片与组成新正方形的所有小正方形纸片颜色不同（假设内部这个特殊小正方形为黑色，其余为白色）。则满足条件的最小新正方形的面积是_________。---三、解答题(本大题共3小题，第11题15分，第12题15分，第13题20分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点O是AB的中点，点D、E分别在AC、BC边上，且∠DOE=90°。（1）求证：OD=OE；（2）若AC=6，CD=2，求CE的长；（3）连接DE，设CD=a，CE=b，△CDE的面积为S。试探究S与a、b之间的数量关系，并说明理由。（注：此处原题应有图形，实际测试中会提供。）12.某班同学去公园划船，若租用一定数量的6人座游船，则有3人没有座位；若租用同样数量的7人座游船，则多出3个空位，且比6人座游船少租一艘。（1）求该班的学生人数及原计划租用6人座游船的数量；（2）若6人座游船每艘租金为m元，7人座游船每艘租金为(m+10)元。在保证每位同学都有座位的前提下，请设计最省钱的租船方案，并求出最少租金（用含m的代数式表示）。13.我们定义：对于一个四位正整数n，若其千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，且千位数字与个位数字的和等于百位数字与十位数字的积，则称这个四位正整数n为“和积等数”。例如：1232，因为1+2=3+0（此处原例可能有误，仅为示意，实际解题需严格按定义），且1+0=2×3，所以1230是一个“和积等数”（此处为修正后示例）。（1）请判断2120是否为“和积等数”，并说明理由