2026新高二数学暑假专题：三角函数、平面向量与解三角形的综合（原卷版）

完成时间：月日今日打卡：☐已完成

用时：min自评勋章：

暑假作业09三角函数、平面向量与解三角形的综合

【知识点1任意角和弧度制及任意角的三角函数】

1．角的定义

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置到另一个位置所形成的．

2．角的分类

正角：按逆时针方向旋转形成的角

按旋转方向

负角：按顺时针方向旋转形成的角

不同分类

零角：射线没有旋转

象限角：角的终边在第几象限，这

角的分类按终边位置

个角就是第几象限角

不同分类

轴线角：角的终边落在坐标轴上

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，kZ}或{β|β＝α＋2kπ，

kZ}．∈

∈4．弧度制

定义把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad

l

角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)

r

180

π

角度与弧度的换算1°＝rad；1rad＝π°

180

①②

弧长公式弧长l＝

1

扇形面积公式S＝lr＝

2

5.任意角的三角函数

1/17

三角函数正弦余弦正切

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么

y

定义y叫做α的正弦，记x叫做α的余弦，记作叫做α的正切，记

x

作sinαcosα

作tanα

Ⅰ＋＋＋

各象限Ⅱ＋－－

符号Ⅲ－－＋

Ⅳ－＋－

三

角

函

数有向线段为有向线段为有向线段为

线正弦线余弦线正切线

【知识点2三角函数的图像与性质】

函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx

图象

定义域RR＋

π

值域��≠�π

R2

周期性2π2π

奇偶性奇函数偶函数奇函数

单调递增区间－，＋

ππ

单调递减区间�π�π

22

对称中心＋，，

π�π

对称轴方程�π00

22

【常用结论】

(1)对称性与周期性

2/17

正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之

1

间①的距离是个周期.2

1

正切曲线4相邻两对称中心之间的距离是个周期.

1

(②2)奇偶性2

若函数y＝Asin(ωx＋φ)(xR)是奇函数，则φ＝kπ(kZ)；若为偶函数，则φ＝kπ＋(kZ).

π

①若函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ＋∈(kZ)；若为偶函数，则φ＝k2π(k∈Z).

π

②∈2∈∈

若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝(kZ).

�π

③2∈

【知识点3诱导公式】

公式一二三四五六

角

正弦

余弦

正切

口诀函数名不变，符号看象限.符号看象限.

【知识点4三角恒等变换】

1.恒等式

(1)平方关系:.

(2)商数关系:.

2.两角和与差的三角公式

(1)基本公式

sin(α±β)=.

①cos(α±β)=.

②tan(α±β)=。

tan�±tan�

③1∓tan�tan�

(2)公式变形

asinα+bcosα=sin(α+φ),(辅助角公式)其中cosφ=,sinφ=。

22��

2222

①�+�3/17�+��+�

或asinx+bcosx=cos(x-θ),其中cosθ=,sinθ=。

22��

2222

�+��+��+�

sinα±cosα=。

π

4

②tanα±tanβ=tan2(sαin±β)�(1±tanαtanβ)。

③。∓

1−tan�π

④1+tan�=tan4−�

。

1+tan�π

1−tan�4

3⑤.二倍角公=式tan+�

(1)基本公式

sin2α=.

①cos2α=.

②tan2α=且。

2tan��πππ

2

1−tan�242

(③2)公式变形�≠+α≠�π+,�∈Z

降幂公式:cos2α=;sin2α=;tan2α=。

1+cos2�1−cos2�1−cos2�

升①幂公式:cos2α=2cos22α-1=1-2sin2α。21+cos2�

半角公式:sin;cos;tan。

�1−cos��1+cos��1−cos�

4②.积化和差公式2：=±22=±22=±1+cos�

1

（1）sincossinsin．

2

1

（2）cossinsinsin．

2

1

（3）coscoscoscos．

2

（4）sinsin．

和差化积公式：

xyxy

（1）sinxsiny2sincos．

22

xyxy

（2）sinxsiny2cossin．

22

xyxy

（3）cosxcosy2coscos．

22

（4）cosxcosy．

5.三角形中的三角函数关系

4/17

(1)①sin(A+B)=sinC;②cos(A+B)=-cosC;③sin;④cos。

�+���+��

2=cos22=sin2

(2)在ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>Ba>bsinA>sinBcosA<cosB。

△⇔⇔⇔

【知识点5平面向量的概念及运算】

1.向量：在数学中,我们把的量叫做向量.

2.平面向量线性运算

法则(或几

定义运算律

何意义)

(1)交换律：

求两个向量和的运

向量的加法a＋b＝

算

(2)结合律：(a＋b)＋c＝

向量a减向量b等

向量的减法于向量a加上向量a－b＝a＋

b的相反向量

(1)方向：当λ＞0时，向量λa与向量a设λ，μ是实数.

的方向；当＜时，向量与

实数λ与向量a的λ0λa

向量的数乘运(1)(λ＋μ)a＝

乘积是一个向量，向量a的方向；当λ＝0时，0a

算

＝(2)λ(μa)＝

记作λa0

(2)模：｜λa｜＝(3)λ(a＋b)＝

3.平面向量共线定理

（1）内容：向量b与非零向量a共线，则，ba.

（2）向量共线定理的注意问题：

定理的运用过程中要特别注意a0．

①

5/17

特别地，若ab0，实数．

4．平面向量基本定理

条件e1和e2是同一平面内两个的向量

结论对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使

基把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为____

5．平面向量运算的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝

a－b＝,λa＝

6.平面向量平行的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时向量a，b共线的充要条件是

【知识点6平面向量的数量积】

1．向量的夹角

→→

已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：

2．平面向量的数量积

定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积，记作a·b

_________叫做向量a在b方向上的投影，

投影

_________叫做向量b在a方向上的投影

几何意

数量积a·b等于

义

3.平面向量数量积的运算律

(1)交换律：a·b＝b·a；

(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝；

(3)分配律：a·(b＋c)＝

4．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．

结论几何表示坐标表示

模|a|＝|a|＝

6/17

数量积a·b＝a·b＝

x1x2＋y1y2

夹角＝cosθ＝

cosθ2222

x1＋y1·x2＋y2

aba·b＝

|a·b|与|a|⊥|b|的关系|a·b|≤|x1x2＋y1y2|≤

【知识点7解三角形】

1.三角形的内角和定理：A+B+C=π，任意两角和为π减去第三角.

abc

2.正弦定理：（R为三角形外接圆半径）.

sinAsinBsinC

3．正弦定理的变形：1a:b:csinA:sinB:sinC

2a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC

abc

3sinA,sinB,sinC

2R2R2R

4.余弦定理：a2b2c22bccosA,b2

2

�=

a2c2b2a2b2c2

5.余弦定理的变形：cosA，cosB,cosC.

2ac2ab

6.三角形面积公式:

111abc1

SabsinCbcsinAacsinBabcrr是三角形内切圆的半径，并可由

ABC2224R2

可由此计算R、r．

【题型1三角函数与三角变换综合】

2

1．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数fx2cos2xsinxcosx0的图象关于直线

7/17

π

x轴对称，且0,4，则的值为（）

12

13

A．B．1C．D．2

22

2．（25-26高二上·北京延庆·期中）函数y2sin2xsin2x的最大值为（）

A．12B．3

C．21D．2

π

3．（25-26高一下·上海闵行·期中）若关于x的方程sinx3cosxk0在,π上恰有两个不同的解，则

6

实数k的取值范围是_____．

4．（25-26高二下·湖南郴州·期中）将函数fx＝6sin2x2cos2x的图象向右平移0个单位长度

后，所得图象关于y轴对称，则的最小值为______．

1

5.（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知函数fxsin2xsinxcosx，xR．

2

(1)求fx在0,π的单调递减区间；

π

(2)当x0,时，求yfx的最大值和最小值；

2

2π3π

(3)若f，,，求sin2的值．

688

【题型2平面向量与三角变换综合】

1.（25-26高一下·四川成都·期中）设向量atan80,4，b1,sin80，则ab（）

A．2B．3C．3D．2

2.（24-25高一下·江苏镇江·期中）（多选题）已知a1,3，bcosθ,sinθ，则下列命题正确的有（）

π

A．ab3B．若θ，则a与b共线

3

π

C．若θ，则abD．ab的最大值为3

6

1

3．（2026·广东·模拟预测（多选题）已知函数f(x)sin(2x)（02π）的部分图象如图所示，其中P(0,)，

2

Q(x1,1)，R(x2,0)为f(x)的图象上的三个点，则下列说法正确的是（）

8/17

π

A．2π为函数f(x)的一个周期B．

3

1π2π37

C．QRQPD．若f()，则cos2

2826525

ππ

4.（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知向量acos,sin，b(sin,cos).

1212

(1)若a//b，求tan；

10π

(2)若|ab|，已知,π，求cos2.

52

【题型3解三角形与三角变换综合】

1．（25-26高三上·江苏·期末）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a2,b6,cosCcsinA，

则ABC的面积为（）

2

A．B．1C．2D．3

2

2．（25-26高一下·天津南开·期中）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

bsinA3acosAcosC3ccos2A，则角A____________；若a2，则ABC面积的取值范围为

____________．

3（.25-26高一下·浙江·期中）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a3bsinCbcosC0．

(1)求B；

(2)若c23a，且ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积；

πBD

(3)若D为边AB上一点，且ACD，求的最大值．

2AD

9/17

4．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，已知半径为R、圆心角为60的扇形，P为AB上的动点，求OEF

面积的最大值.

5．（25-26高一下·辽宁·期中）在锐角ABC中，sin2Asin2Bsin2C2cosAcosB．

xyxy

(1)证明：cosxcosy2coscos△；

22

(2)求C；

(3)若ABC的内切圆半径为3．

（i）△当ABC的外接圆半径为23时，求ABC的周长；

（ii）求△AB的最小值．△

【题型4平面向量与解三角形综合】

1．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在ABC中，角A、B、C的对边分别为

a、b、c，若a

cosBb

cosA2c

cosC，

△

CB2，则CB在CA方向上的投影数量为（）

A．1B．2C．3D．4

2．（25-26高一下·吉林长春·期中）在ABC中，若sin2Asin2Csin2BsinAsinC，且满足ABBC2，

则ABC的面积等于（）△

△

A．23B．2C．3D．1

10/17

1

3．（2026·江西南昌·模拟预测）ABC中，已知ABBCBCCA，则cosA（）

2

2262

A．最小值为B．最小值为C．最小值为D．无最小值

333

4．（25-26高一下·广东广州·期中）如图1，ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，直线l与ABC

1

的边AB，AC分别相交于点D，E，设ADE，满足acosBbcosAc．

2

(1)求角的大小；

(2)若AE13，ADE的面积为33，求ADE的周长．

(3)用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图2，在锐角ABC中，过点B作与BC垂直的单位向量j，

因为BCCABA，所以j(BCCA)jBA．由分配律得jBCjCAjBA，即

πππ

BCcosCAcosCBAcosB，也即bsinCcsinB，请用上述向量方法探究，证明：

222

acosBbcosAccos

【题型7平面向量与三角变换综合】

1.（2026·山东日照·一模）若向量a1，2，b2，2，记a，b，则cos2（）

441010

A．B．C．D．

551010

2.（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知平面向量a=4cos,sin，bsin,4cos，ccos,4sin，

其中,R．则ab2c的充要条件为tan______．

π4

3．（25-26高一下·河北·期中）已知mcos,sin，ncos,sin，，0,，mn，

25

11/17

1

1tantan．

tan

(1)求sin的值；

(2)求cos的值．

4．（23-24高一下·广东珠海·期中）已知向量a2cos,sin，b1,2

3sin2cos

(1)若a//b，求的值；

2sincos

(2)若90，求向量a在向量b上的投影向量的坐标．

5．（25-26高一下·河北邯郸·期中）已知A(2,0)，B(0,4)，C(cos,sin)，O为坐标原点．

(1)若OC//AB，求tan的值；

(2)若OAOC3，且是第二象限角，设OC在OB上的投影向量为a，求a的坐标．

【题型5平面向量与三角函数综合】

10

1．（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）Q为坐标原点，角θ的终边经过点P(3,m)m0，且sinm，

10

则OP的单位向量为（）

3101031010

A．(,)B．(,)

10101010

3101031010

C．(,)D．(,)

10101010

2π

2．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知点C是单位圆劣弧AB上一点，AOB，以O为原点，OB所

3

2π

在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设BOC(0)，则C(cos,sin)，如图所示.若

3

12/17

OCOAOB(,R)，则的取值范围是（）

113

A．1,2B．[,1]C．[,]D．[1,3]

222

3.（25-26高一下·浙江·期中）已知向量acosx,sinx,b3,3,x0,π，若a,b为锐角，则实数x的

取值范围是__________.

4．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数fx23sinxcosx2cos2x10在一个周期内的图

象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且ABC为等腰直角三角形．

(1)化简fx的解析式并求最小正周期；

(2)求AB在AD方向上的投影坐标．

【题型6平面向量、三角函数与解三角形综合】

uuur1uuur3uuur

1.（2025·海南·模拟预测）在ABC中，点P为BC边上一点，已知APsinAABcosAAC，则角A

22

的大小为（）

ππππ

A．B．C．D．

6342

ππ

2．（25-26高一下·湖北鄂州·期中）已知函数fxacosxa0的部分图象如图所示，M，N是

44

图象上的两个顶点，O为坐标原点，且OMON5，则a__________.若点Cx1,fx1,Dx2,fx2分

9

别在曲线AM,BN上，C,D关于x轴上的点P对称，且xx，则点P的横坐标为__________.

124

13/17

3．（25-26高一下·上海奉贤·期中）已知向量acosxsinx,3cosx，bcosxsinx,2sinx，记函数

fxab．

(1)求函数fx的最小正周期；

(2)在ABC中，若fA1，a2，求ABC面积的最大值．

4．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数f(x)Asin(x)B(A0,B0,π)的部分图象如

图所示，0,1是图象的一个最低点，M(2,3)是图象的一个最高点.

(1)求函数f(x)的解析式：

(2)已知N也是图象的最低点，且函数y1与函数yf(x)图象交于图中P点，求cosMPN.

5．（25-26高一下·上海·期中）设向量asinx,cosx，b3cosx,cosx，fxab．

π

(1)求函数yfx在x0,上的最大值、最小值，并写出取得最大值、最小值时x的值；

2

A3

(2)在ABC中，若A满足f，且边BC23，求ABC周长的最大值．

22

14/17

π

1．（2026·河南开封·模拟预测）已知ABC的外接圆半径为2，若A，则BABC的最大值为（）

3

A．563B．643C．733D．473

2.（25-26高一下·河南濮阳·月考）（多选题）已知向量a3,sin，bcos,1，0π，下列说法正

确的是（）

A．若ab，则tan3

B．设函数fab，则f的最大值为2

C．ab的最大值为22

633π

D．若ab，且b在a上的投影向量为a，则a与b的夹角为

234

xxxxxx

3．（25-26高一下·海南·阶段检测）已知向量m2sin,3cossin，ncos,sincos，且

222222

函数fxmn．

1π

(1)若将函数fx的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图象向左平移个单位，

24

得到gx的图象，求函数gx最小值及对应的x的值；

π2

(2)若x0,，且fx，求sinx的值．

23

4．（2026·四川成都·模拟预测）已知a3sinx,cosx，bcosx,cosx，fxab．

(1)求函数fx的解析式及最小正周期；

1

(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若fB且b3，求ABC周长的最大值．