4.6正弦函数的图像和性质-中职《数学》上册基础知识教学课件

4.6正弦函数的图像和性质春天万物复苏、百花盛开，年复一年，周而复始．像这样重复出现的现象称为周期现象，数学中也存在这种现象．正弦函数就是一种周期函数，是刻画“周而复始”现象的数学模型．正弦函数的图像4.6.1情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业做一个沙漏单摆实验：如图所示，一个沙漏挂在架子上，沙漏下方放一块纸板，纸板中间画一条直线作为坐标系的横轴．把沙漏沿垂直于该直线方向拉离平衡位置，放手使之摆动，同时匀速拉动纸板．这样可在纸板上得到一条曲线．这是一条什么曲线呢？这个实验得到的曲线是一条波浪起伏、周而复始的曲线．从前面的学习我们知道，随着角的变化，三角函数值也具有这种周而复始的变化规律．我们可以用正弦函数来刻画这条曲线．情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业

根据单位圆的圆周运动特点，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这说明自变量每增加或者减少2π，

正弦函数值将重复出现．这一现象可以用公式

sin(x+2kπ)

=sinx，k∈Z来表示．情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业

一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内任意一个值时，都有f(x+T)＝f(x)，

则称函数y＝f(x)为周期函数．非零常数T为y＝f(x)的一个周期．

4.6.1正弦函数的图像情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业

因此正弦函数y=sinx，x∈R是一个周期函数，2π，4π，6π，…及-2π，-4π，-6π，…都是它的周期，即常数2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期．如果周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数T0

，那么这个最小的正数T0就称为y＝f(x)的最小正周期．本书中所涉及的周期，如果不特别说明，都是指函数的最小正周期．显然，2π为正弦函数的最小正周期

．

情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业（1）列表．

用描点法作出正弦函数y＝sinx

在[0，2π]上的图像.

把区间[0，2π]分成12等份，分别求出y=sinx在各分点及区间端点的正弦函数值．情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业

根据表中x，y的数值在平面直角坐标系内描点(x，y)

，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图像．用描点法作出正弦函数y＝sinx

在[0，2π]上的图像.（2）描点作图．

4.6.1正弦函数的图像情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业观察函数y=sinx在[0，2π]上的图像发现，在确定图像的形状时，起关键作用的点有以下五个，描出这五个点后，正弦函数的图像就基本确定了．

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因此，在精确度要求不高时，常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到[0，2π]上正弦函数的图像简图了，这种作图方法称为五点法．情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业

因为正弦函数的周期是2π，所以只要将函数y＝sinx在[0，2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2kπ(k∈Z)，就可得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图像．

正弦函数的图像也称为正弦曲线，它是一条“波浪起伏”“周而复始”的连续光滑曲线．例1利用五点法作出函数y＝1+sinx在[0，2π]上的图像．解

（1）列表．

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（2）描点作图．情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业例1

利用五点法作出函数y＝1+sinx在[0，2π]上的图像．解（1）列表．

根据表中x，y的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，再用光滑曲线顺次连接各点，就得到函数y=1+sinx在[0，2π]上的图像．练习情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业1.设函数y=f(x)，x∈R的周期为2，且f(1)＝1，则f(3)=

．2

.利用五点法作出下列函数在[0，2π]上的图像：（1）

y＝sinx−1；

（2）

y＝−sinx．3.利用五点法作出正弦函数y＝sinx在

上的图像．正弦函数的性质4.6.2情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业利用研究函数的经验，可否从正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性等方面来研究正弦函数的性质呢？

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（1）定义域．

正弦函数的定义域是实数集R．

观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论：

观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论：（2）值域．

情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业如图所示，正弦曲线分布在两条直线y=-1和y=1之间，即对任意的x，都有|sinx|≤1成立．因此，正弦函数的值域是[1，1]．

观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论：（4）

周期性．

正弦函数是周期为2π的周期函数．情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业读一读对于周期函数，通过一个周期内的特征，可以了解其整个定义域的情况．

观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论：（4）奇偶性．

由图像关于原点O对称和诱导公式sin(−x)=−sinx可知，正弦函数是奇函数．情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业

观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论：情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业（5）单调性．

观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论：情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业（5）单调性．

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解

（2）

因为-1≤sinx≤1，所以2≥-2sinx≥-2，即-2≤-2sinx≤2．所以-1≤1-2sinx≤3．情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业

解

根据正弦函数的图像和性质可知：情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业

解

根据正弦函数的图像和性质可知：情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业

观察正弦函数y=sinx在[0，2π]上图像．

2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z)，

故函数的定义域为{x|2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z}．情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业

发现，在[0，2π]内，符合题意的x满足0≤x≤π．由函数的周期性得：

对含三角函数的函数式求定义域时，除了考虑使函数式有意义之外，还要注意三角函数的周期性．情境导入探索新知巩固练习归纳总结布置作业典型例题

情