排列组合的综合应用教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

排列组合的综合应用教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）设计思路本课程设计旨在通过排列组合的综合应用，帮助学生深入理解并掌握相关概念，提高解决实际问题的能力。课程内容紧密围绕人教A版选择性必修第三册教材，结合高二下学期学生的知识水平，设计了一系列与课本内容紧密相关的教学活动，旨在通过实例分析和实际问题解决，培养学生的逻辑思维和数学应用能力。核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过排列组合的原理和方法，引导学生抽象出数学模型，提高逻辑推理和解决问题的能力。同时，强化学生的数学建模意识，学会将实际问题转化为数学问题，培养解决实际问题的能力，提升数学应用意识。教学难点与重点1.教学重点

①掌握排列组合的基本原理和计算方法，能够熟练运用公式进行计算。

②理解排列组合在实际问题中的应用，能够将实际问题转化为排列组合问题。

2.教学难点

①理解排列组合中不同情况下的组合与排列关系，特别是重复元素的排列组合问题。

②培养学生灵活运用排列组合原理解决复杂问题的能力，特别是在多阶段决策问题中的应用。

③帮助学生克服对排列组合概念理解的困难，如混淆排列与组合的概念，以及如何处理排列组合中的边界情况。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有人教A版选择性必修第三册数学教材。

2.辅助材料：准备排列组合的实例图片、图表和相关的教学视频，以辅助学生理解抽象概念。

3.教学工具：准备计算器或计算机软件，以便演示和计算排列组合问题。

4.教室布置：设置分组讨论区，为学生提供讨论和合作的空间，并准备黑板或投影仪用于展示教学过程和计算步骤。教学过程一、导入新课

1.教师通过提问：“同学们，你们在生活中遇到过需要排列组合的问题吗？”引导学生回顾排列组合的概念，激发学生的学习兴趣。

2.教师展示一些简单的排列组合问题，如“从3个不同的水果中选取2个水果，有多少种不同的组合？”让学生自主思考并尝试解决。

二、新课讲授

1.教师引导学生回顾排列组合的定义和基本公式，如排列数公式A(n,m)和组合数公式C(n,m)。

2.教师通过实例讲解排列组合的应用，如“从5位同学中选出2位代表参加比赛，有多少种不同的选法？”

3.教师引导学生理解排列组合中的“重复元素”问题，如“从3个不同的水果中选取2个水果，其中有2个水果是相同的，有多少种不同的选法？”

4.教师讲解排列组合在实际问题中的应用，如“一个班级有5位同学，他们要排成一个3人小组，有多少种不同的排列方式？”

5.教师引导学生分析排列组合问题中的多阶段决策问题，如“一个班级有5位同学，他们要排成一个3人小组和一个2人小组，有多少种不同的排列方式？”

三、课堂练习

1.教师布置一些课堂练习题，如“从4位同学中选出2位代表参加比赛，有多少种不同的选法？”让学生自主完成。

2.教师巡视课堂，指导学生解题，解答学生在解题过程中遇到的问题。

四、小组讨论

1.教师将学生分成小组，每组讨论一个排列组合问题，如“一个班级有6位同学，他们要排成一个3人小组和一个2人小组，有多少种不同的排列方式？”

2.教师指导学生运用排列组合的原理和方法解决问题，并鼓励学生提出不同的解题思路。

3.教师请各小组代表分享解题过程和结果，引导学生互相学习、交流。

五、课堂小结

1.教师总结本节课所学内容，强调排列组合的基本原理和计算方法。

2.教师引导学生回顾本节课的重点和难点，如“重复元素”问题、多阶段决策问题等。

3.教师布置课后作业，如“从5位同学中选出3位代表参加比赛，有多少种不同的选法？”

六、课后作业

1.学生完成课后作业，巩固本节课所学知识。

2.教师批改作业，了解学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行辅导。

七、教学反思

1.教师对本节课的教学过程进行反思，总结教学经验，提高教学质量。

2.教师关注学生的学习效果，根据学生的反馈调整教学内容和方法。知识点梳理1.排列组合的基本概念

-排列（Permutation）：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）进行排列，称为排列问题。

-组合（Combination）：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），顺序不重要，称为组合问题。

2.排列数公式

-排列数公式A(n,m)：表示从n个不同元素中取出m个元素进行排列的数目，公式为A(n,m)=n!/(n-m)!。

3.组合数公式

-组合数公式C(n,m)：表示从n个不同元素中取出m个元素进行组合的数目，公式为C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]。

4.排列与组合的区别

-排列考虑顺序，组合不考虑顺序。

-排列数大于等于组合数，即A(n,m)≥C(n,m)。

5.排列与组合的相互转化

-排列问题可以通过插入法转化为组合问题。

-组合问题可以通过排列数公式转化为排列问题。

6.重复元素的排列组合

-当排列或组合中有重复元素时，需要考虑重复元素对排列组合的影响。

-对于重复元素排列，使用排列数公式时，需要将重复元素的数量减去。

-对于重复元素组合，使用组合数公式时，需要将重复元素的数量减去。

7.排列组合的实际应用

-排列组合在生活中的应用广泛，如彩票开奖、密码设置、生日排序等。

-排列组合在数学竞赛、统计、计算机科学等领域有重要应用。

8.排列组合问题的解决方法

-分析问题的实际背景，确定排列或组合问题。

-应用排列数公式或组合数公式进行计算。

-考虑重复元素对排列组合的影响。

-运用排列组合原理解决实际问题。

9.排列组合问题的分类

-有限排列组合问题：元素数量有限，问题可解。

-无限排列组合问题：元素数量无限，问题可能无解或解不唯一。

-有序排列组合问题：元素有固定顺序，问题有唯一解。

-无序排列组合问题：元素无固定顺序，问题有多个解。

10.排列组合问题的特点

-排列组合问题具有数学抽象性，需要学生具备较强的逻辑思维能力。

-排列组合问题具有实际应用性，能够帮助学生解决实际问题。

-排列组合问题具有趣味性，能够激发学生的学习兴趣。典型例题讲解1.例题：

从5个不同的字母中取出3个字母组成一个三位字母，求共有多少种不同的组合？

解答：

由于顺序不重要，这是一个组合问题。使用组合数公式C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]进行计算。

C(5,3)=5!/[3!(5-3)!]=(5×4×3×2×1)/[(3×2×1)×(2×1)]=10种。

答案：共有10种不同的组合。

2.例题：

一个密码锁由4个数字组成，每个数字可以是0到9之间的任意一个，求共有多少种不同的密码？

解答：

这是一个排列问题，每个位置上的数字都有10种可能。

A(10,4)=10!/(10-4)!=10×9×8×7=5040种。

答案：共有5040种不同的密码。

3.例题：

从6名同学中选出3名代表参加比赛，要求其中一名必须是班长，求共有多少种不同的选法？

解答：

先选出班长，有1种选择。然后从剩余的5名同学中选出2名代表，这是一个组合问题。

C(5,2)=5!/[2!(5-2)!]=(5×4)/(2×1)=10种。

总选法为1×10=10种。

答案：共有10种不同的选法。

4.例题：

一个班级有5位同学，他们要排成一个3人小组和一个2人小组，求共有多少种不同的排列方式？

解答：

先选出3人小组，有C(5,3)种选择。然后从剩余的2名同学中选出2人小组，这也是一个组合问题。

C(5,3)×C(2,2)=(5×4×3)/(3×2×1)×1=10×1=10种。

答案：共有10种不同的排列方式。

5.例题：

一个篮球队有12名球员，要求每个位置上的球员都不能相同，求这个篮球队所有可能的阵容有多少种？

解答：

这是一个排列问题，每个位置都有12种选择，但是每个球员只能出现在一个位置上。

A(12,12)=12!/(12-12)!=12!/1!=479001600种。

答案：共有479001600种不同的阵容。板书设计①排列组合基本概念

-排列：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）进行排列。

-组合：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），顺序不重要。

②排列数公式

-A(n,m)=n!/(n-m)!

-公式应用：计算排列数目。

③组合数公式

-C(n,m)=n!