高考数学备考微专题27概率

微专题27概率高考定位主要考查古典概型、条件概率、相互独立事件的概率以及全概率公式的基本应用,以选择题、填空题为主,也可能出现在解答题的一个小题中,难度中等或偏下.【真题体验】1.(2025·上海卷)已知事件A,B相互独立,事件A发生的概率P(A)＝12,事件B发生的概率为P(B)＝12,则事件A∩A.18 B.C.12 答案B解析因为事件A,B相互独立,所以P(A∩B)＝P(A)P(B)＝122.(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立答案B解析由题意可知,两点数之和为8的样本点为(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),两点数和为7的样本点为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),易知P(甲)＝16,P(乙)＝1P(丙)＝536,P(丁)＝6∴P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙),P(甲丁)＝136＝P(甲)P(丁)P(乙丙)＝136≠P(乙)P(丙)P(丙丁)＝0≠P(丙)P(丁),因此事件甲与丁相互独立.3.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1－α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1)()A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率答案ABD解析由题意,发0收1的概率为α,发0收0的概率为1－α;发1收0的概率为β,发1收1的概率为1－β.对于A,发1收1的概率为1－β,发0收0的概率为1－α,所以所求概率为(1－α)(1－β)2,故A正确;对于B,相当于发了1,1,1,收到1,0,1,则概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2,故B正确;对于C,相当于发了1,1,1,收到1,1,0或1,0,1或0,1,1或1,1,1,则概率为C32β(1－β)2＋C33(1－β)3＝3β(1－β)2＋(1－β)3,对于D,发送0,采用三次传输方案译码为0,相当于发0,0,0,收到0,0,1或0,1,0或1,0,0或0,0,0,则此方案的概率为p1＝C32α(1－α)2＋C33(1－α)3＝3α(1－α)2＋(1－发送0,采用单次传输方案译码为0的概率p2＝1－α.当0<α<0.5时,p1－p2＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0,故D正确.4.(2024·天津卷)A,B,C,D,E五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为;已知乙选了A活动,他再选择B活动的概率为.

答案35解析由题意知甲选到A的概率p＝C4记“乙选到A活动”为事件M,“乙选到B活动”为事件N,则P(M)＝C42C53＝3所以乙选了A活动,再选择B活动的概率为P(N|M)＝P(5.(2024·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为.

答案1解析因为甲出卡片1一定输,出其他卡片有可能赢,所以四轮比赛后,甲的总得分最多为3.若甲的总得分为3,则甲出卡片3,5,7时都赢,所以只有1种组合:3－2,5－4,7－6,1－8.若甲的总得分为2,有以下三类情况:第一类,当甲出卡片3和5时赢,只有1种组合,为3－2,5－4,1－6,7－8;第二类,当甲出卡片3和7时赢,有3－2,7－4,1－6,5－8或3－2,7－4,1－8,5－6或3－2,7－6,1－4,5－8,共3种组合;第三类,当甲出卡片5和7时赢,有5－2,7－4,1－6,3－8或5－2,7－4,1－8,3－6或5－4,7－2,1－6,3－8或5－4,7－2,1－8,3－6或5－2,7－6,1－4,3－8或5－2,7－6,1－8,3－4或5－4,7－6,1－2,3－8,共7种组合.综上,甲的总得分不小于2共有12种组合,而所有不同的组合共有4×3×2×1＝24(种),所以甲的总得分不小于2的概率P＝1224【热点突破】热点一古典概型利用公式法求解古典概型问题的步骤例1(1)(2025·黄山模拟)已知A,B,C是三种电子信息传递元件,第一次由A元件将信息传出,每次传递时,传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个,则第三次传递后,信息在A元件中的概率是()A.12 B.C.38 D.(2)(2025·郑州二模)某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲,每个学校至少安排1人,其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为()A.213 B.C.113 D.答案(1)B(2)A解析(1)依题意三次传递所有的传递方法有:A→B→A→B;A→B→A→C;A→B→C→A;A→B→C→B;A→C→A→B;A→C→A→C;A→C→B→A;A→C→B→C,则共有8种传递方法.第三次传递后,信息在A元件中的有两种情况,所以第三次传递后,信息在A元件中的概率p＝28(2)将这6名教师分成四组,再分配到不同的学校,若教师人数为3,1,1,1,则不同的安排方法种数为C63×若教师人数为2,2,1,1,则不同的安排方法种数为C62×C4故不同的安排方法共有480＋1080＝1560种.将这6名教师分成四组,再分配到不同的学校,甲、乙安排在同一个学校,若教师人数为3,1,1,1,则不同的安排方法种数为C41×若教师人数为2,2,1,1,则不同的安排方法种数为C42×故不同的安排方法共有96＋144＝240种.所以所求事件的概率为2401规律方法1.古典概型的样本点个数的探究方法:(1)枚举法;(2)树状图法;(3)排列组合法.2.当所求概率的事件较复杂时,可把其分解为若干个互斥事件的和求解.训练1(1)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的运动服中选择1种,则他们选择不同颜色运动服的概率为()A.34 B.C.23 D.(2)(2025·张家口模拟)从集合{1,2,3,…,8,9}中随机取出4个不同的数,并将其从大到小依次排列,则第二个数是7的概率为.

答案(1)A(2)5解析(1)甲,乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的运动服中选择1种样本点的个数为4×4＝16.他们选择相同颜色运动服有4个样本点,即(红,红),(黄,黄),(白,白),(蓝,蓝),故他们选择相同颜色运动服的概率为416所以他们选择不同颜色运动服的概率为1－14(2)任取4个不同的数,且从大到小排列可得所有的情况有C94＝126第2个数为7的情况有C21故所求的概率为30126热点二条件概率与全概率公式1.计算条件概率的公式:P(B|A)＝P(AB)P(A2.全概率公式:设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An＝Ω,且P(Ai)>0,i＝1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)＝n∑i=1P(Ai)P(B|例2(多选)甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别),先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出两球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球,则()A.P(A1)＝35 B.P(B)＝C.P(B|A1)＝950 D.P(A2|B)＝答案ABD解析依题意可得P(A1)＝35,P(A2)＝25,P(B|A1)＝C32C52＝310所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝35×310＋25×110P(A2|B)＝P(A2B)规律方法利用全概率公式的思路:首先按照确定的标准,将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2,…,n),然后求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生的条件下的概率P(B|Ai),代入全概率公式计算.训练2(1)(2025·厦门质检)设A,B是一个随机试验中的两个事件,若P(B)＝13,P(AB)＝13,则P(A|A.12 B.C.25 D.(2)(2025·赣州模拟)甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和3个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别),先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,再从乙箱中随机取出两球,则取出的两球都是红球的概率为()A.875 B.C.415 D.答案(1)A(2)B解析(1)因为P(B)＝13所以P(B)＝1－P(B)＝1－13又因为P(B)＝P(AB)＋P(AB)＝23P(AB)＝13所以P(AB)＝13所以P(A|B)＝P(AB)(2)分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球,由题意可知P(A1)＝35,P(A2)＝2P(B|A1)＝C32C62＝315,P所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝35热点三事件的独立性与n重伯努利试验1.相互独立事件的判断与计算公式:P(AB)＝P(A)P(B).2.在n重伯努利试验中,事件A发生k次的概率的计算公式:P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k,k＝0,1,2,…,例3(1)(2025·新余模拟)2024年巴黎奥运会乒乓球比赛,中国队表现出色,包揽全部乒乓球金牌,其中混双金牌是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌,由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队,最终以4∶2的比分赢得胜利.假设2026年的一次乒乓球比赛中,“莎头”组合再次遇到朝鲜队,采用7局4胜制(先胜4局者胜,比赛结束),已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为23,则“莎头”组合再次以4∶A.80729 B.C.80243 D.(2)(多选)(2025·常德模拟)设样本空间Ω＝{5,6,7,8},且每个样本点是等可能的,已知事件A＝{5,6},B＝{5,7},C＝{5,8},则下列结论正确的是()A.事件A与B为互斥事件B.事件A,B,C两两独立C.P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)D.P(A|C)＝P(C|A)答案(1)B(2)BD解析(1)“莎头”组合再次以4∶2获胜,即前5局“莎头”组合胜3局、负2局,第6局“莎头”组合获胜,所以“莎头”组合再次以4∶2获胜的概率p＝C5(2)对于A,因为A∩B＝5,所以事件A与B不互斥,故A错误;对于B,P(AC)＝P(BC)＝P(AB)＝14P(A)＝P(B)＝P(C)＝12P(AB)＝P(A)P(B),P(AC)＝P(A)P(C),P(BC)＝P(B)P(C),故B正确;对于C,A,B,C交集为{5},则P(ABC)＝14,P(A)P(B)P(C)＝18,故C对于D,P(A|C)＝P(P(C|A)＝P(AC)P(规律方法1.判断两个事件A,B是不是相互独立事件,只需判断P(A)P(B)＝P(AB)是否成立即可;求相互独立事件的概率也是利用公式P(AB)＝P(A)P(B),且注意利用互斥或对立事件的概率.2.判断一个试验是否为n重伯努利试验关键看每次试验的条件是否相同,相同则是、否则不是.训练3(1)(2025·肇庆二模)小王数学期末考试考了90分,受到爸爸表扬的概率为12,受到妈妈表扬的概率也为12,假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立A.12 B.C.34 (2)(多选)袋子中有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出两个球,设事件A＝“取出的球的数字之积为奇数”,事件B＝“取出的球的数字之积为偶数”,事件C＝“取出的球的数字之和为偶数”,则()A.事件A与B是互斥事件B.事件A与B是对立事件C.事件B与C是互斥事件D.事件B与C相互独立答案(1)C(2)AB解析(1)记小王受到爸爸表扬为事件A,小王受到妈妈表扬为事件B,小王受到表扬为事件D,事件A,B相互独立,则P(D)＝1－P(A)·P(B)＝1－12(2)对于A,B,取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生,且必有一个发生,故事件A与B是互斥事件,也是对立事件,A,B正确;对于C,如果取出的数为2,4,则事件B与事件C均发生,不互斥,C错误;对于D,P(B)＝1－C32C62＝45,P(C)＝则P(B)P(C)≠P(BC),即事件B与C不相互独立,D错误.【精准强化练】一、单选题1.(2025·兰州诊断)现有编号为1,2,3,4的4个小球和4个盒子,把4个小球随机放进4个盒子里,每个盒子装1个小球,则恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为()A.14 B.C.3128 D.答案A解析把4个小球随机放进4个盒子里,每个盒子装1个小球的方法种数为A4恰好有2个小球与盒子的编号相同,有C42(种所以恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为p＝C42.(2025·南阳模拟)袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了ξ次球,则P(ξ＝12)等于()A.C12103810·5C.C119589·3答案B解析当ξ＝12时,表示前11次中取到9次红球,第12次取到红球,所以P(ξ＝12)＝C1193893.(2025·济宁模拟)甲,乙两人进行乒乓球比赛,比赛采用3局2胜制,如果每局比赛甲获胜的概率为0.7,乙获胜的概率为0.3,且各局比赛结果相互独立,那么在甲获胜的条件下,比赛进行了3局的概率为()A.316 B.C.38 D.答案C解析设甲获胜为事件A,比赛进行了3局为事件B,则P(A)＝0.7×0.7＋2×0.7×0.3×0.7＝0.784,P(AB)＝2×0.7×0.3×0.7＝0.294,所以P(B|A)＝P(4.(2025·西安调研)从1,2,3,4,5,6,7这7个数任选3个不同数排成一个数列,则得到的数列为等差数列的概率为()A.335 B.C.935 D.答案A解析从给定的7个数中任取3个方法种数,有A7能构成等差数列的事件含有:公差为±1的5×2个,公差为±2的3×2个,公差为±3有1×2个,共18(种),所以得到的数列为等差数列的概率为18A5.(2025·潍坊模拟)某学校组织中国象棋比赛,甲、乙两名同学进入决赛.决赛采取3局2胜制,假设每局比赛中甲获胜的概率均为23,且各局比赛的结果相互独立.则在甲获胜的条件下,A.14 B.C.35 D.答案D解析设甲获胜为事件A,甲第一局获胜为事件B,则P(A)＝23P(AB)＝23所以在甲获胜的条件下,甲第一局获胜的概率是P(B|A)＝P(6.(2025·成都诊断)设事件A,B为两个随机事件,P(A)≠0,P(B)≠0,且P(A|B)＝P(B|A),则()A.P(B|A)＝P(B|A) B.P(B|A)＝P(A|B)C.P(B|A)＝P(A|B) D.P(A|B)＝P(B|A)答案B解析由P(A|B)＝P(B|A)可得P(又P(AB)＋P(AB)＝P(B),得P(AB)＝P(B)－P(AB),所以P(即1－P(所以1－P(即P(即P(于是P(B|A)＝P(A|B).7.(2025·武汉质检)有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件,加工的次品率分别为6%、5%、3%,加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%、40%、30%.任取一个零件,如果取到的零件是次品,则它是甲车床加工的概率为()A.2147 B.C.1847 D.答案C解析记事件A1:取到的零件为甲车床加工的,事件A2:取到的零件为乙车床加工的,事件A3:取到的零件为丙车床加工的,事件B:取到的零件是次品,则P(B|A1)＝6100,P(B|A2)＝5100,P(B|A3)＝3100,P(A1)＝310,P(A2)＝410,P(由贝叶斯公式可得P(A1|B)＝P＝310因此,如果取到的零件是次品,则它是甲车床加工的概率为18478.(2025·金华调研)设甲袋有3个红球,2个白球和5个黑球,乙袋有3个红球,3个白球和4个黑球,先从甲袋中随机取出一球放入乙袋,以A1、A2和A3分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙袋中随机取出一球,以B表示由乙袋取出的球是红球的事件,则()A.A1与B相互独立 B.P(B|A2)＝2C.P(B)＝310 D.P(A3|B)＝答案C解析对于A,C,由题意得P(A1)＝33＋2＋5＝310,P(BAP(A2)＝23＋2＋5＝15,P(BA2)＝15×311＝355,P(A故P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝655＋355由于P(B)P(A1)＝310故P(BA1)≠P(B)P(A1),故A1与B不互相独立,A错误;B中,由条件概率得P(B|A2)＝P(BA2D中,P(A3|B)＝P(A3B二、多选题9.有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为8%,第2台加工的次品率为3%,第3台加工的次品率为2%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的10%,40%,50%,从混放的零件中任取一个零件,则下列结论正确的是()A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B.该零件是次品的概率为0.03C.如果该零件是第3台车床加工出来的,那么它不是次品的概率为0.98D.如果该零件是次品,那么它不是第3台车床加工出来的概率为1答案BC解析记事件A为“车床加工的零件为次品”,记事件Bi为“第i台车床加工的零件”,i＝1,2,3.则P(A|B1)＝8%,P(A|B2)＝3%,P(A|B3)＝2%,P(B1)＝10%,P(B2)＝40%,P(B3)＝50%.对于A,任取一个零件,该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为P(AB1)＝P(A|B1)P(B1)＝8%×10%＝0.008,故A错误;对于B,任取一个零件,该零件是次品的概率为P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)＝8%×10%＋3%×40%＋2%×50%＝0.03,故B正确;对于C,如果该零件是第3台床加工出来的,那么它不是次品的概率为P(A|B3)＝1－P(A|B3)＝1－2%＝0.98,故C正确;对于D,如果该零件是次品,那么它不是第3台车床加工出来的概率,可以考虑它的对立事件的概率,即如果该零件是次品,那么它是第3台车床加工出来的概率,即P(B3|A),所以所求概率为1－P(B3|A)＝1－P＝1－P＝1－2%×50%0.03＝210.对于事件A与事件B,若A∪B发生的概率是0.72,事件B发生的概率是事件A发生的概率的2倍,下列说法正确的是()A.若事件A与事件B互斥,则事件A发生的概率为0.36B.P(B|A)＝2P(A|B)C.事件A发生的概率的范围为[0.24,0.36]D.若事件A发生的概率是0.3,则事件A与事件B相互独立答案BCD解析对于A,若事件A与事件B互斥,则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝3P(A)＝0.72,所以P(A)＝0.24,故A错误;对于B,P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(AB)对于C,P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝3P(A)－P(AB)＝0.72,P(A)＝0.24＋P(若事件A与事件B互斥,则P(AB)＝0,此时P(A)取到最小值为0.24,若P(A)⊆P(B),此时P(AB)＝P(A),P(A)取到最大值为0.36,故C正确;对于D,P(A)＝0.3,则P(B)＝0.6,由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB),得P(AB)＝0.3＋0.6－0.72＝0.18＝P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立,故D正确.11.(2025·苏州模拟)A,B,C表示三个随机事件,则下列选项正确的是()A.已知P(A)>0,P(B)>0,P(B|A)＝P(B)是事件A与事件B相互独立的充要条件B.已知P(A)>0,P(B)>0,则P(A)＝P(AB)＋P(AB)C.已知P(A)>0,P(B)>0,P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是事件A与事件B互斥的充要条件D.已知P(AB)>0,则P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)答案ACD解析对于A,因为P(B|A)＝P(AB)P(A得到P(AB)＝P(A)P(B),故事件A与B相互独立,即充分性成立;若事件A与B相互独立,则P(AB)＝P(A)P(B),于是P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)对于B,因为P(A)＝P(AB)＋P(AB),因P(AB)表示事件A发生而B不发生的概率,而P(AB)则表示事件A,B都不发生的概率,故B错误;对于C,因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B),所以P(AB)＝0,又P(A)>0,P(B)>0,故事件A与B互斥,即充分性成立;若事件A与B