高考数学备考专练2小题＋1大题(数列)-节选自南京、盐城模拟

专练214小题＋1大题(数列)——节选自南京、盐城模拟一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合A＝{x|x2－4≤0},B＝{x|x＋a≤0}.若A⊆B,则实数a的取值范围是()A.(－∞,2) B.(－∞,2]C.(－∞,－2) D.(－∞,－2]答案D解析由x2－4≤0可得A＝[－2,2],由x＋a≤0可得B＝(－∞,－a],又A⊆B,所以2≤－a,即a≤－2,故D正确.2.已知复数z满足1z＋i＝i(i为虚数单位),则|A.4 B.2C.1 D.1答案B解析因为1z＋i＝i,所以z＋i＝1所以z＝－2i,所以|z|＝2.3.已知a,b,c均为单位向量.若a＝b＋c,则b与c夹角的大小是()A.π6 B.C.2π3 D.答案C解析已知a＝b＋c,两边平方可得a2＝(b＋c)2.所以a2＝b2＋2b·c＋c2.因为a,b,c均为单位向量,所以|a|＝|b|＝|c|＝1.可得1＝1＋2b·c＋1.则b·c＝－12设b与c的夹角为θ,0≤θ≤π,且|b|＝|c|＝1,b·c＝－12,可得－12＝1×1×cos即cosθ＝－12因为0≤θ≤π,所以θ＝2π3则b与c夹角的大小是2π34.某项比赛共有10个评委评分,若去掉一个最高分与一个最低分,则与原始数据相比,一定不变的是()A.极差 B.45百分位数C.平均数 D.众数答案B解析对于A,若每个数据都不相同,则极差一定变化,故A错误;对于B,由10×0.45＝4.5<5,所以将10个数据从小到大排列,45百分位数为第5个数据,从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到8个有效评分,8×0.45＝3.6<4,所以45百分位数为8个数据从小到大排列后第4个数据,即为原来的第5个数据.对于C,去掉一个最高分一个最低分,平均数可能变化,故C错误;对于D,去掉一个最高分一个最低分,众数可能变化,故D错误.5.已知数列{an}为等比数列,公比为2,且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24,则正整数k的值是()A.4 B.5C.6 D.7答案B解析因为数列{an}为等比数列,公比为2,且a1＋a2＝3,所以a1＋2a1＝3,解得a1＝1,故an＝2n－1,因为ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak(1＋2＋22＋…＋29)＝2k－1·1−2101−2＝2k＋9－2k－1＝214解得k＝5.6.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b－2c＝acosC－2acosB,则cbA.13 B.C.1 D.2答案D解析如图所示,过点A作AD⊥BC于点D,则BD＝ccosB,CD＝bcosC,∴a＝BD＋CD＝ccosB＋bcosC,同理可证b＝acosC＋ccosA,c＝acosB＋bcosA,因为b－2c＝acosC－2acosB,所以acosC＋ccosA－2(acosB＋bcosA)＝acosC－2acosB,整理得ccosA＝2bcosA,因为△ABC为锐角三角形,所以cosA≠0,所以c＝2b,即cb7.已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)的左焦点、右顶点分别为F,A,过点F倾斜角为π6的直线交C的两条渐近线分别于点M,A.y＝±33x B.y＝±2C.y＝±3x D.y＝±43答案C解析由题意可得A(a,0),F(－c,0),所以直线MN的方程为y＝33(x＋c)由y＝33(由y＝33(因为△AMN为等边三角形,所以|AM|＝|AN|,即ac3整理可得b2＝3a2,所以ba所以双曲线C的渐近线方程是y＝±3x.8.已知函数f(x)＝1a2x＋1－ax3,a>1,则关于x的不等式f(x2)＋A.(－6,1) B.(2,3)C.(－∞,1) D.(2,＋∞)答案A解析由1－f(－x)＝1－1a−2x＋1＋a(－x)3＝1－a2x1＋a2x－ax3＝则1－f(5x－6)＝f(6－5x),由a>1,则函数y＝a2x在R上单调递增,易知函数f(x)在R上单调递减,由f(x2)＋f(5x－6)>1,则f(x2)>1－f(5x－6),即f(x2)>f(6－5x),可得x2<6－5x,解得－6<x<1.二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,不选或有选错的得0分)9.已知cosαcosβ＝14,cos(α＋β)＝13A.sinαsinβ＝112 B.cos(α－β)＝C.tanαtanβ＝－13 D.sin2αsin2β＝答案BC解析由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝13,且cosαcosβ＝1则sinαsinβ＝－112,故A错误由cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝14－112＝由tanαtanβ＝sinαsinβcosαcosβ由sin2αsin2β＝2sinαcosα·2sinβcosβ＝4sinαsinβcosαcosβ＝4×−112×14＝－110.在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD＝π3,将菱形ABCD沿对角线BD折成四面体A'BCD,∠A'BC＝π2,A.直线A'C与直线BD所成角为πB.直线A'C与平面BCD所成角的余弦值为6C.四面体A'BCD的体积为4D.四面体A'BCD外接球的表面积为8π答案ABD解析如图所示,取BD的中点E,连接A'E,CE,因△A'BD和△BDC为等边三角形,则A'E⊥BD,CE⊥BD,因A'E∩CE＝E,A'E⊂平面A'EC,CE⊂平面A'EC,则BD⊥平面A'EC,因A'C⊂平面A'EC,则BD⊥A'C,故A正确;因BD⊥平面A'EC,则A'在平面BCD内的投影落在直线EC上,故∠A'CE为直线A'C与平面BCD所成角,因∠A'BC＝π2,|A'B|＝|BC|＝2则|A'C|＝22,因|A'E|＝|EC|＝3,则在△A'EC中,边A'C上的高为1,则cos∠A'CE＝23＝63,因S△A'EC＝12×22×1＝2,BD⊥平面A'EC,则V三棱锥A'－BCD＝13S△A'EC·|BD|＝13×2×2＝2点O1,O2分别为△A'BD和△BDC的外心,过O1,O2分别作O1O⊥平面A'BD,O2O⊥平面BDC,O1O∩O2O＝O,则点O为球心,则|CO2|＝23|EO2|＝|EO1|＝33在△A'EC中,tan∠A'EC故|OO2|＝|EO2|tan∠A'EC则|OC|2＝O＝632则四面体A'BCD外接球的表面积为4π×2＝8π,故D正确.11.已知函数f(x)满足:对任意x,y∈R,xf(y)＋yf(x)＝f(xy),且当0<x<1时,f(x)>0.下列说法正确的是()A.f(0)＋f(1)＝0B.f(x)为偶函数C.当|x|>1时,xf(x)<0D.f(x)在(1,＋∞)上单调递减答案ACD解析因为x,y∈R,xf(y)＋yf(x)＝f(xy),令x＝0,y＝0,可得0f(0)＋0f(0)＝f(0×0),所以f(0)＝0,令x＝1,y＝1,可得1f(1)＋1f(1)＝f(1×1),所以f(1)＝0,所以f(0)＋f(1)＝0,A正确;由xf(y)＋yf(x)＝f(xy),令y＝－1可得,xf(－1)－f(x)＝f(－x),再将xf(－1)－f(x)＝f(－x)中的x替换为－1,可得－f(－1)－f(－1)＝f(1),所以f(－1)＝0,所以－f(x)＝f(－x),所以函数f(x)为奇函数,B错误;当x≠0时,将xf(y)＋yf(x)＝f(xy)中的y用1x替换可得xf1x＋1xf(x即xf(x)＝－x3f1x当x>1时,0<1x<1,由已知可得f1x所以xf(x)<0,f(x)<0,又函数f(x)为奇函数,所以当x<－1时,f(x)>0,xf(x)<0,所以当|x|>1时,xf(x)<0,C正确;因为xf(y)＋yf(x)＝f(xy),所以若xy≠0,则f(任取x1,x2∈(1,＋∞),且x1<x2,则f＝fx2x因为x2>x1>0>1,所以x2x1>1,0<所以f(x2)x2－所以函数f(x)x在(1,＋设y＝x·f(当x>1时,y'＝f(x)x＋x[因为f(x)<0,所以f(x因为函数f(x)x在(1,＋所以[f(x)x]'≤0,所以f(x)在(1,＋∞)上单调递减,D正确.三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)12.若函数f(x)＝sinx＋acosx的图象关于直线x＝π6对称,则实数a的值是.答案3解析因为函数f(x)＝sinx＋acosx的图象关于直线x＝π6对称所以fπ6＋x＝所以sinπ6＋x＋＝sinπ6−x＋a所以sinπ6＋＝acosπ所以2cosπ6sinx＝2asinπ6sin因为sinx不恒为0,所以cosπ6＝asinπ所以a＝3.13.已知椭圆C:x22＋y2＝1的上顶点为A,直线l:y＝kx＋m交C于M,N两点.若△AMN的重心为12,0,则实数答案3解析已知椭圆C:x22＋y2＝1,上顶点坐标为A(0设M(x1,y1),N(x2,y2),因为△AMN的重心为12所以0＋x1＋由0＋x1＋x23＝12由1＋y1＋y23＝0可得直曲联立,将直线l:y＝kx＋m代入椭圆C:x22＋y2＝1,可得x22＋(kx＋展开并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.根据韦达定理可知x1＋x2＝－4km又因为y1＝kx1＋m,y2＝kx2＋m,所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝k×−4km＝2m由x1＋x2＝32可得－4km1＋2由y1＋y2＝－1可得2m1＋2由②可得m＝－1＋2k22,－4k则2k＝32,解得k＝3当k＝34时,代入②可得m＝－17此时直线l:y＝34x－1716与椭圆x22＋y14.将9个互不相同的向量ai＝(xi,yi),xi,yi∈{－1,0,1},i＝1,2,…,9,填入3×3的方格中,使得每行、每列的三个向量的和都相等,则不同的填法种数是.

答案72解析已知ai＝(xi,yi),xi,yi∈{－1,0,1},i＝1,2,…,9,那么向量ai的所有可能情况有(－1,－1),(－1,0),(－1,1),(0,－1),(0,0),(0,1),(1,－1),(1,0),(1,1)共9种.设每行、每列的三个向量的和为s＝(m,n),因为xi,yi∈{－1,0,1},所以m,n∈{－3,－2,－1,0,1,2,3}.又因为三行向量和等于三列向量和,且所有向量和为9∑i=1ai,所以3s＝9而9∑i=1ai的x分量和y分量都为0(xi,yi取值－1,0,1且各有3个),所以s要使每行、每列的三个向量和为(0,0),则每行、每列的三个向量的x分量和y分量都分别为0.对于x分量,3个数的和为0,有(－1,0,1)这一种组合情况;对于y分量,3个数的和为0,也有(－1,0,1)这一种组合情况.先确定第一行的填法,第一行的3个向量的x分量和y分量都要满足(－1,0,1)的组合,x分量的排列有A33＝3!＝6种,y分量的排列也有A33＝3!＝6种,所以第一行的填法有6当第一行确定后,第二行第一列的向量x分量要与第一行第一列和第三行第一列的x分量和为0,y分量同理,所以第二行第一列的向量是唯一确定的,同理第二行第二列、第二行第三列的向量也唯一确定,第三行的向量也就随之确定.因为第一行确定后,第二行和第三行可以交换位置.所以不同的填法种数是36×2＝72种.四、解答题(本题共13分.考查方向:数列)15.已知数列{an}的前n项和Sn满足Snn＝an＋(1－n)t,n∈N*,t为常数,且a2＝a(1)求t的值;(2)证明:{an}为等差数列;(3)若n2<Sn<(n＋1)2,n∈N*,求a1的取值范围.(1)解因为Snn＝an＋(