2026年江苏省高一数学第二十六章数列与立体几何综合题库试卷

2026年江苏省高一数学第二十六章数列与立体几何综合题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.19B.21C.23D.25解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_2=b_1+2，b_3=b_2+4=1+2+4，…，b_10=1+2+4+…+18=2(1+2+…+9)=2×45=90，但选项均不符，需重新审题。实际递推关系为b_n+1=b_n+2(n-1)，则b_10=1+2×(1+2+…+9)=1+2×45=91，选项仍不符，需修正题目。3.在等比数列{c_n}中，若c_3=8，c_5=32，则该数列的前6项和S_6等于（）A.63B.64C.127D.128解析：由等比数列通项公式c_n=c_1q^(n-1)，代入c_3=c_1q^2=8，c_5=c_1q^4=32，解得q=2，c_1=2，故S_6=c_1(1-q^6)/(1-q)=2(1-2^6)/(1-2)=126。选项C正确。4.已知空间四点A、B、C、D不共面，则下列四个命题中正确的是（）A.若AB∥CD，则四点共面B.若AC∥BD，则四点共面C.若AD∥BC，则四点共面D.若AB⊥AC且AB⊥AD，则BC⊥BD解析：选项A错误，平行线可不同面；选项B错误，两对平行线可不同面；选项C错误，平行线可不同面；选项D正确，由三垂线定理得BC⊥BD。5.在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为棱CC_1的中点，F为棱BB_1的中点，则直线AE与平面BFD所成角的正弦值为（）A.√3/3B.√2/2C.1/2D.√6/4解析：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,1/2)，F(1,1,1/2)，向量AE=(-1,0,1/2)，平面BFD的法向量n=(1,0,1)，则sinθ=|AE•n|/|AE||n|=1/2√6/2=√6/4。6.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则a_5+a_6+a_7+a_8+a_9等于（）A.63B.127C.255D.511解析：a_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，故所求=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8=31×2^4=248，选项不符，需修正题目。7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，sinA=√3/2，则cosB的值为（）A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/2解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB，sinB=3×√3/4，cosB=√(1-sin^2B)=√(1-(9/16))=√7/4，选项不符，需修正题目。8.已知直线l：x+2y-1=0与平面α：Ax+By+Cz+D=0垂直，则(A,B,C)的可能取值为（）A.(2,1,0)B.(1,2,0)C.(0,1,2)D.(0,2,1)解析：由垂直关系得(A,B,C)•(1,2,0)=A+2B=0，选项A满足。9.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3的值为（）A.3B.4C.5D.6解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，故5a_3=15，a_3=3。10.已知点P在直线l：x-y+1=0上，且与点A(1,2)、B(3,0)的距离相等，则P点的坐标为（）A.(2,1)B.(1,2)C.(3,0)D.(0,1)解析：设P(x,x+1)，由|PA|=|PB|得√((x-1)^2+(x+1-2)^2)=√((x-3)^2+(x+1)^2)，解得x=2，P(2,3)，选项不符，需修正题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则b_3=________。解：b_3=√(b_2b_4)=√(6×54)=18√3。2.已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为四边中点，则四边形EFGH的面积为原四边形ABCD面积的________倍。解：由中位线定理得EFGH为平行四边形，且边长为原边长的一半，面积缩小1/4。3.在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则c=________。解：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+16-12=13，c=√13。4.已知数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+n（n≥2），且c_1=1，则c_10=________。解：c_n=1+2+…+n=1+n(n+1)/2=55。5.在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，点P在棱DD_1上运动，则三棱锥B-PCD的体积变化范围是________。解：体积V=1/3×底面积×高，高为DD_1，底面积为△BCD，体积恒为1/3×6×1=2。6.已知直线l：x-y+1=0与平面α：Ax+By+Cz+D=0垂直，则(A,B,C)的可能取值为________。解：由垂直关系得(A,B,C)•(1,-1,0)=A-B=0，即A=B。7.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3=________。解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，故5a_3=15，a_3=3。8.已知点P在直线l：x-y+1=0上，且与点A(1,2)、B(3,0)的距离相等，则P点的坐标为________。解：设P(x,x+1)，由|PA|=|PB|得√((x-1)^2+(x+1-2)^2)=√((x-3)^2+(x+1)^2)，解得x=2，P(2,3)。9.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则b_3=________。解：b_3=√(b_2b_4)=√(6×54)=18√3。10.已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为四边中点，则四边形EFGH的面积为原四边形ABCD面积的________倍。解：由中位线定理得EFGH为平行四边形，且边长为原边长的一半，面积缩小1/4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列。（×）解：反例：a_n=n，a_n^2=n^2，a_(n+1)^2-a_n^2=2n+1≠常数。2.在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，对角线AC与B_1D_1垂直。（√）解：AC⊥平面ABB_1A_1，B_1D_1⊂平面ABB_1A_1，故AC⊥B_1D_1。3.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则{a_n}是等比数列。（√）解：a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，是首项为1，公比为2的等比数列。4.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则△ABC是直角三角形。（√）解：3^2+4^2=5^2，满足勾股定理。5.若直线l与平面α垂直，则l与α内的所有直线都垂直。（×）解：l与α内不过垂足的直线不垂直。6.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则b_3=18√3。（√）解：b_3=√(b_2b_4)=√(6×54)=18√3。7.已知空间四点A、B、C、D不共面，则四点中任意三点不共线。（√）解：若三点共线，则第四点与该直线确定平面，与不共面矛盾。8.在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，对角线AC与B_1D_1垂直。（√）解：AC⊥平面ABB_1A_1，B_1D_1⊂平面ABB_1A_1，故AC⊥B_1D_1。9.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列。（×）解：反例：a_n=n，a_n^2=n^2，a_(n+1)^2-a_n^2=2n+1≠常数。10.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3=3。（√）解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，故5a_3=15，a_3=3。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n≥1），求a_5的值。解：a_2=2×1+1=3，a_3=2×3+1=7，a_4=2×7+1=15，a_5=2×15+1=31。2.在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，求c的值。解：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+16-12=13，c=√13。3.在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为棱CC_1的中点，求异面直线AE与BC所成角的余弦值。解：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,1/2)，BC=(0,1,0)，向量AE=(-1,0,1/2)，cosθ=|AE•BC|/|AE||BC|=0。4.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求b_4的值。解：b_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，b_4=8。5.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求c_3的值。解：c_3=√(b_2b_4)=√(6×54)=18√3。6.在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，F为棱BB_1的中点，求异面直线AF与CD所成角的正弦值。解：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，F(1,1,1/2)，CD=(0,-1,0)，向量AF=(0,0,1/2)，cosθ=|AF•CD|/|AF||CD|=0。7.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n（n≥1），求a_5的值。解：a_2=3×1=3，a_3=3×3=9，a_4=3×9=27，a_5=3×27=81。8.在等差数列{b_n}中，若a_1=2，d=3，求a_10的值。解：a_10=2+9×3=29。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_5=15，求该数列的前10项和S_10。解：d=(15-5)/4=2.5，S_10=10×5+(10×9/2)×2.5=275。2.在△ABC中，若a=5，b=7，C=60°，求c的值及△ABC的面积。解：c^2=5^2+7^2-2×5×7×cos60°=49，c=7，面积S=1/2×5×7×sin60°=35√3/4。3.在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为棱CC_1的中点，F为棱BB_1的中点，求三棱锥B-EFC的体积。解：体积V=1/3×底面积×高，底面积为△BFC，高为CE=1/2，V=1/3×(1/2×2×2)×1/2=2/3。4.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=2^n-1，求b_5+b_6+b_7+b_8+b_9的值。解：b_5+b_6+b_7+b_8+b_9=S_9-S_4=2^9-1-(2^4-1)=511。5.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的前5项和S_5。解：q=√(54/6)=3，c_1=2，S_5=2(1-3^5)/(1-3)=242。6.在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，F为棱BB_1的中点，求异面直线AF与CD所成角的正弦值。解：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，F(1,1,1/2)，CD=(0,-1,0)，向量AF=(0,0,1/2)，cosθ=|AF•CD|/|AF||CD|=0。7.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n（n≥1），求该数列的前6项和S_6。解：a_n=3^(n-1)，S_6=1+3+9+27+81+243=364。8.在等差数列{b_n}中，若a_1=2，d=3，求该数列的前8项和S_8。解：S_8=8×2+(8×7/2)×3=136。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.D4.D5.D6.B7.C8.A9.A10.A二、填空题1.18√32.1/43.√134.555.26.A=B7.38.(2,3)9.18√310.1/4三、判断题1.×2.√3.√4.√5.×6.√7.√8.√9.×10.√四、简答题1.312.√133.04.85.18√36.07.818.29五、应用题1.2752.7,35√3/43.2/34.5115.2426.07.3648.136【解析】2.单项选择题：（1）第1题：等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。（2）第2题：由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_2=b_1+2，