2026年江苏省高一数学第二十一章复数与几何综合题库试卷

2026年江苏省高一数学第二十一章复数与几何综合题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知复数z满足|z-2+3i|=2，则z在复平面内对应的点位于（）A.以（2，-3）为圆心，半径为2的圆上B.以（-2，3）为圆心，半径为2的圆上C.以（2，3）为圆心，半径为2的圆上D.以（-2，-3）为圆心，半径为2的圆上解析：由|z-2+3i|=2可得复数z对应的点与点（2，-3）的距离为2，即z对应的点在以（2，-3）为圆心，半径为2的圆上，故选A。2.若复数z=1+i，则2z²-3z+5的值为（）A.3+5iB.3-5iC.7+3iD.7-3i解析：z=1+i，则z²=(1+i)²=1+2i-1=2i，代入2z²-3z+5得2×2i-3×(1+i)+5=4i-3-3i+5=2+i，故选C。3.在复平面内，点A对应的复数为-2i，点B对应的复数为3，则向量AB的模长为（）A.1B.2C.3D.5解析：向量AB的模长为|3-(-2i)|=|3+2i|=√(3²+2²)=√13，故选D。4.若复数z满足z²=2z，则z的取值集合为（）A.{0}B.{2}C.{0,2}D.{1}解析：z²=2z⇒z²-2z=0⇒z(z-2)=0⇒z=0或z=2，故选C。5.已知复数z=a+bi（a，b∈R），且|z|=5，则|z-3|的最小值为（）A.2B.3C.4D.5解析：由|z|=5可得a²+b²=25，|z-3|=|a+bi-3|=|（a-3）+bi|，其最小值为点（a，b）到点（3，0）的距离的最小值，即√(3²+0²)-5=2，故选A。6.若复数z₁=2-3i，z₂=1+i，则z₁•z₂的虚部为（）A.-5B.5C.-2D.2解析：z₁•z₂=(2-3i)•(1+i)=2+2i-3i-3i²=2-i+3=5-i，其虚部为-1，故选D。7.在复平面内，以原点为圆心，半径为3的圆上，对应的复数z满足z²为纯虚数，则z的可能取值为（）A.3iB.-3iC.3或-3D.3i或-3i解析：设z=3cosθ+3isinθ，则z²=9(cos²θ+i²sin²θ)=9(cos²θ-sin²θ)+9i•2sinθcosθ=9cos2θ+9i•sin2θ，要使z²为纯虚数，需9cos2θ=0且9sin2θ≠0，即2θ=π/2+kπ（k∈Z），θ=π/4+kπ/2，z=3cos(π/4+kπ/2)+3isin(π/4+kπ/2)，当k=0时，z=3i；当k=1时，z=-3i，故选D。8.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁与z₂在复平面内对应的点之间的距离为（）A.√2B.2C.√3D.1解析：z₁对应的点为（1，1），z₂对应的点为（1，-1），两点之间的距离为√[(1-1)²+(1-(-1))²]=√(0+4)=2，故选B。9.若复数z满足|z|=1且argz=π/3，则z的代数形式为（）A.1/2+i√3/2B.√3/2+i1/2C.1/2-i√3/2D.-1/2-i√3/2解析：由|z|=1且argz=π/3可得z=cos(π/3)+isin(π/3)=1/2+i√3/2，故选A。10.已知复数z₁=2+i，z₂=3-2i，则z₁/z₂的值为（）A.7/13-4i/13B.7/13+4i/13C.4/13-7i/13D.4/13+7i/13解析：z₁/z₂=(2+i)/(3-2i)=(2+i)(3+2i)/(3²+(-2)²)=6+4i+3i+2i²/13=4/13+7i/13，故选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z满足|z|=2且argz=π/4，则z的三角形式为_________。解：z=2(cos(π/4)+isin(π/4))，故答案为2(cos(π/4)+isin(π/4))。2.若复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，则z₁+z₂的模长为_________。解：z₁+z₂=(3+4i)+(1-2i)=4+2i，|z₁+z₂|=√(4²+2²)=√20=2√5，故答案为2√5。3.若复数z=a+bi（a，b∈R）满足z²=4，则a²+b²=_________。解：z²=4⇒(a+bi)²=4⇒a²-b²+2abi=4⇒a²-b²=4且2ab=0⇒a=0或b=0，若a=0，则b²=4⇒b=±2⇒a²+b²=4；若b=0，则a²=4⇒a=±2⇒a²+b²=4，故a²+b²=4，故答案为4。4.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁•z₂的实部为_________。解：z₁•z₂=(1+i)•(1-i)=1-i²=1+1=2，实部为2，故答案为2。5.若复数z满足|z-1|=1且argz=π/2，则z的代数形式为_________。解：由|z-1|=1可得z对应的点在以（1，0）为圆心，半径为1的圆上，由argz=π/2可得z对应的点在虚轴的正半轴上，故z对应的点为（0，1），即z=0+i=1i，故答案为i。6.已知复数z₁=2-3i，z₂=1+i，则z₁-z₂的虚部为_________。解：z₁-z₂=(2-3i)-(1+i)=1-4i，虚部为-4，故答案为-4。7.若复数z=a+bi（a，b∈R）满足z²=9，则|z|的值为_________。解：z²=9⇒(a+bi)²=9⇒a²-b²+2abi=9⇒a²-b²=9且2ab=0⇒a=0或b=0，若a=0，则b²=9⇒b=±3⇒a²+b²=9；若b=0，则a²=9⇒a=±3⇒a²+b²=9，故|z|=√9=3，故答案为3。8.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，则|z₁+z₂|的值为_________。解：z₁+z₂=(1+i)+(1-i)=2，|z₁+z₂|=2，故答案为2。9.若复数z满足|z|=1且argz=π/3，则z的代数形式为_________。解：z=cos(π/3)+isin(π/3)=1/2+i√3/2，故答案为1/2+i√3/2。10.已知复数z₁=2+i，z₂=3-2i，则z₁/z₂的值为_________。解：z₁/z₂=(2+i)/(3-2i)=(2+i)(3+2i)/(3²+(-2)²)=6+4i+3i+2i²/13=4/13+7i/13，故答案为4/13+7i/13。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z₁=2+i，z₂=1-i，则z₁•z₂的模长等于z₁和z₂模长的乘积，该说法正确吗？解：|z₁•z₂|=|z₁|•|z₂|=√5×√2=√10，z₁•z₂=(2+i)•(1-i)=3-i，|z₁•z₂|=√(3²+(-1)²)=√10，故该说法正确。2.若复数z=a+bi（a，b∈R）满足z²为纯虚数，则a=0或b=0，该说法正确吗？解：z²=(a+bi)²=a²-b²+2abi，要使z²为纯虚数，需a²-b²=0且2ab≠0⇒a=0且b≠0或a≠0且b=0，故该说法错误。3.若复数z₁和z₂在复平面内对应的点关于实轴对称，则z₁+z₂为纯虚数，该说法正确吗？解：设z₁=a+bi，z₂=a-bi，则z₁+z₂=(a+bi)+(a-bi)=2a，若a=0，则z₁+z₂=0为纯虚数；若a≠0，则z₁+z₂为实数，故该说法错误。4.若复数z满足|z|=1，则z的平方也为单位圆上的复数，该说法正确吗？解：设z=cosθ+isinθ，则z²=(cosθ+isinθ)²=cos²θ-sin²θ+2i•cosθ•sinθ=cos2θ+isin2θ，|z²|=|cos2θ+isin2θ|=√(cos²2θ+sin²2θ)=1，故z²为单位圆上的复数，该说法正确。5.若复数z₁和z₂满足z₁+z₂=0，则z₁和z₂互为相反数，该说法正确吗？解：z₁+z₂=0⇒z₁=-z₂，故z₁和z₂互为相反数，该说法正确。6.若复数z₁和z₂满足|z₁|=|z₂|，则z₁和z₂在复平面内对应的点关于原点对称，该说法正确吗？解：设z₁=a+bi，z₂=c+di，若|z₁|=|z₂|，则a²+b²=c²+d²，但z₁和z₂不一定关于原点对称，例如z₁=1+i，z₂=-1-i，|z₁|=|z₂|=√2，但z₁和z₂关于虚轴对称，故该说法错误。7.若复数z=a+bi（a，b∈R）满足z²为实数，则a=0或b=0，该说法正确吗？解：z²=(a+bi)²=a²-b²+2abi，要使z²为实数，需2ab=0⇒a=0或b=0，故该说法正确。8.若复数z₁和z₂在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z₁+z₂为实数，该说法正确吗？解：设z₁=a+bi，z₂=-a+bi，则z₁+z₂=(a+bi)+(-a+bi)=2bi，若b=0，则z₁+z₂=0为实数；若b≠0，则z₁+z₂为纯虚数，故该说法错误。9.若复数z满足|z|=1且argz=π/3，则z的代数形式为1/2+i√3/2，该说法正确吗？解：z=cos(π/3)+isin(π/3)=1/2+i√3/2，故该说法正确。10.若复数z₁=2+i，z₂=3-2i，则z₁•z₂的实部为8，该说法正确吗？解：z₁•z₂=(2+i)•(3-2i)=8-4i-3i+2i²=8-7i-2=6-7i，实部为6，故该说法错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=5且argz=π/4，求z的代数形式。解：z=5(cos(π/4)+isin(π/4))=5(√2/2+i√2/2)=5√2/2+i5√2/2，故z=5√2/2+i5√2/2。2.若复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，求z₁+z₂和z₁-z₂的代数形式。解：z₁+z₂=(3+4i)+(1-2i)=4+2i，z₁-z₂=(3+4i)-(1-2i)=2+6i，故z₁+z₂=4+2i，z₁-z₂=2+6i。3.若复数z=a+bi（a，b∈R）满足z²=4，求z的模长。解：z²=4⇒(a+bi)²=4⇒a²-b²+2abi=4⇒a²-b²=4且2ab=0⇒a=0或b=0，若a=0，则b²=4⇒b=±2⇒a²+b²=4；若b=0，则a²=4⇒a=±2⇒a²+b²=4，故|z|=√4=2。4.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁•z₂的模长。解：z₁•z₂=(1+i)•(1-i)=1-i²=1+1=2，|z₁•z₂|=2，故z₁•z₂的模长为2。5.若复数z满足|z|=1且argz=π/3，求z的三角形式。解：z=cos(π/3)+isin(π/3)，故z的三角形式为cos(π/3)+isin(π/3)。6.已知复数z₁=2+i，z₂=3-2i，求z₁/z₂的值。解：z₁/z₂=(2+i)/(3-2i)=(2+i)(3+2i)/(3²+(-2)²)=6+4i+3i+2i²/13=4/13+7i/13，故z₁/z₂=4/13+7i/13。7.若复数z₁和z₂在复平面内对应的点关于原点对称，且z₁=3+4i，求z₂的代数形式。解：设z₂=x+yi，由z₁和z₂关于原点对称可得z₂=-z₁=-（3+4i）=-3-4i，故z₂=-3-4i。8.若复数z=a+bi（a，b∈R）满足z²=9，求z的模长和辐角主值。解：z²=9⇒(a+bi)²=9⇒a²-b²+2abi=9⇒a²-b²=9且2ab=0⇒a=0或b=0，若a=0，则b²=9⇒b=±3⇒z=±3i，|z|=3，辐角主值为π/2或3π/2；若b=0，则a²=9⇒a=±3⇒z=±3，|z|=3，辐角主值为0或π，故z的模长为3，辐角主值为0，π/2，π，3π/2之一。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知复数z₁=2+i，z₂=3-2i，求z₁•z₂的值。解：z₁•z₂=(2+i)•(3-2i)=6-4i+3i-2i²=6-i+2=8-i，故z₁•z₂=8-i。2.若复数z满足|z|=5且argz=π/3，求z²的值。解：z=5(cos(π/3)+isin(π/3))=5(√2/2+i√2/2)=5√2/2+i5√2/2，z²=(5√2/2+i5√2/2)²=50/4+2×5√2/2×i5√2/2+i²(5√2/2)²=25+50i-25=50i，故z²=50i。3.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁+z₂和z₁-z₂的模长。解：z₁+z₂=(1+i)+(1-i)=2，|z₁+z₂|=2；z₁-z₂=(1+i)-(1-i)=2i，|z₁-z₂|=√(2²)=2，故z₁+z₂和z₁-z₂的模长均为2。4.若复数z=a+bi（a，b∈R）满足z²=4，求z的模长和辐角主值。解：z²=4⇒(a+bi)²=4⇒a²-b²+2abi=4⇒a²-b²=4且2ab=0⇒a=0或b=0，若a=0，则b²=4⇒b=±2⇒z=±2i，|z|=2，辐角主值为π/2或3π/2；若b=0，则a²=4⇒a=±2⇒z=±2，|z|=2，辐角主值为0或π，故z的模长为2，辐角主值为0，π/2，π，3π/2之一。5.已知复数z₁=2+i，z₂=3-2i，求z₁/z₂的值。解：z₁/z₂=(2+i)/(3-2i)=(2+i)(3+2i)/(3²+(-2)²)=6+4i+3i+2i²/13=4/13+7i/13，故z₁/z₂=4/13+7i/13。6.若复数z满足|z|=1且argz=π/3，求z的代数形式。解：z=cos(π/3)+isin(π/3)=1/2+i√3/2，故z=1/2+i√3/2。7.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁•z₂的模长。解：z₁•z₂=(1+i)•(1-i)=1-i²=1+1=2，|z₁•z₂|=2，故z₁•z₂的模长为2。8.若复数z₁和z₂在复平面内对应的点关于原点对称，且z₁=3+4i，求z₂的代数形式。解：设z₂=x+yi，由z₁和z₂关于原点对称可得z₂=-z₁=-（3+4i）=-3-4i，故z₂=-3-4i。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.D4.C5.A6.D7.D8.B9.A10.D解析：1.由|z-2+3i|=2可得复数z对应的点与点（2，-3）的距离为2，即z对应的点在以（2，-3）为圆心，半径为2的圆上，故选A。2.z=1+i，则z²=(1+i)²=1+2i-1=2i，代入2z²-3z+5得2×2i-3×(1+i)+5=4i-3-3i+5=2+i，故选C。3.在复平面内，点A对应的复数为-2i，点B对应的复数为3，则向量AB的模长为|3-(-2i)|=|3+2i|=√(3²+2²)=√13，故选D。4.若复数z满足z²=2z，则z²-2z=0⇒z(z-2)=0⇒z=0或z=2，故z的取值集合为{0,2}，故选C。5.由|z|=5可得a²+b²=25，|z-3|=|a+bi-3|=|（a-3）+bi|，其最小值为点（a，b）到点（3，0）的距离的最小值，即√(3²+0²)-5=2，故选A。6.若复数z₁=2-3i，z₂=1+i，则z₁•z₂=(2-3i)•(1+i)=2+2i-3i-3i²=2-i+3=5-i，其虚部为-1，故选D。7.在复平面内，以原点为圆心，半径为3的圆上，对应的复数z满足z²为纯虚数，则z²=9(cos²θ-sin²θ)+9i•sin2θcosθ=9cos2θ+9i•sin2θcosθ，要使z²为纯虚数，需9cos2θ=0且9sin2θ≠0，即2θ=π/2+kπ（k∈Z），θ=π/4+kπ/2，z=3cos(π/4+kπ/2)+3isin(π/4+kπ/2)，当k=0时，z=3i；当k=1时，z=-3i，故选D。8.在复平面内，点A对应的复数为-2i，点B对应的复数为3，则向量AB的模长为|3-(-2i)|=|3+2i|=√(3²+2²)=√13，故选D。9.若复数z满足|z|=1且argz=π/3，则z=cos(π/3)+isin(π/3)=1/2+i√3/2，故选A。10.若复数z₁=2+i，z₂=3-2i，则z₁/z₂=(2+i)/(3-2i)=(2+i)(3+2i)/(3²+(-2)²)=6+4i+3i+2i²/13=4/13+7i/13，故选D。二、填空题1.2(cos(π/4)+isin(π/4))2.2√53.44.25.i6.-47.38.29.1/2+i√3/210.4/13+7i/13三、判断题1.正确2.错误3.错误4.正确5.正确6.错误7.正确8.错误9.正确10.错误四、简答题1.解：z=5(cos(π/3)+isin(π/3))=5(√2/2+i√2/2)=5√2/2+i5√2/2。2.解：z₁+z₂=(3+4i)+(1-2i)=4+2i，z₁-z₂=(3+4i)-(1-2i)=2+6i。3.解：z²=4⇒(a+bi)²=4⇒a²-b²+2abi=4⇒a²-b²=4且2ab=0⇒a=0或b=0，若a=0，则b²=4⇒b=±2⇒a²+b²=4；若b=0，则a²=4⇒a=±2⇒a²+b²=4，故|z|=√4=2。4.解：z₁•z₂=(1+i)•(1-i)=1-i²=1+1=2，|z₁•z₂|=2。5.解：z=cos(π/3)+isin(π/3)，故z的三角形式为cos(π/3)+isin(π/3)。6.解：z₁/z₂=(2+i)/(3-2i)=(2+i)(3+2i)/(3²+(-2)²)=6+4i+3i+2i²/13=4/13+7i/13。7.解：设z₂=x+yi，由z₁和z₂关于原点对称可得z₂=-z₁=-（3+4i）=-3-4i，故z₂=-3-4i。8.解：z²=9⇒(a+bi)²=9⇒a²-b²