频率与概率（原卷版）

10.3频率与概率

＞海标要求

1.通过详细实例的剖析，了解随机大事发生的不确定性与频率的稳定性；

2.了解概率的意义以及频率与概率的区分与联系；

3.能通过详细的案例用频率估量概率，会解决简洁的实际题中的频率与概率问题.

4.了解随机模拟试验消失的意义与根本过程；

5.会用模拟的方法估量大事发生的概率，理解用模拟法估量概率的实际意义与实际属性.

解读：1.通过本节课的学习，要求能在简洁的随机试验中了解频率的稳定性，能用随机模拟的

方法估量概率.

2.通过木节课的学习，要求把握随机模拟的根木过程，能在简洁的实际问题中用模拟法估量大

事发生的概率.

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匕向和欧结卓考第1

“试点①♦数与“率—

I

修议点②发华的税文姓★★会t

»试点③税拳的正崎★★女

A双点I④”华与■.拿的美系*7

〃设点®髓机数的/生★★©:

上识点6)用飨华必升M华★★音

!济和促畿理

知识点1频数与频率★☆☆

在相同条件S卜重复n次随机试脸，称n次随机试验中随机大事A消失的次数n为随机大事A消失的

频数，称随机大事；消失的比例为随机大事A消失的频率目OWA消失的比例W1

知识点②频率的稳定性★☆☆

频率的稳定性

在任何确定次数的随机试验中，一个随机大事A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增

大，频率偏离概率的幅度:会缩小，即大事A发生的频率fn(A)会渐渐稳定于大事A发生的概率P(A),我们

称频率的这共性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估量概率P(A).

廿对鱼W稀

【例题精析1】某中学调查该校同学对新冠肺炎防控的了解状况，组织一次新冠肺炎防控学问竞赛，从

该学校1000名参赛同学中随机抽取100名同学，并统计这100名同学成果的状况（总分值100分，其

中90分及以上为优秀），得到样本频率分布直方图（如图），依据频率分布直方图估量，这1000名同

【例题精析2]蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等许多种类，在我国的云南及周边各省都有分布，春暖花开

的时候是放蜂的大好时机，养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蛆和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一

地区放界了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中同学物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂，假设每箱

中蜜蜂的数量相同，那么，该生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是养蜂人放养的比拟合理（）

A.甲B.乙

C.甲和乙D.不能确定

【例题精析3】依据统计，某篮球运发动在1000次投篮中，命中的次数为560次，那么该运发动（）

B.投篮10次至少有5次命中

D.投篮100次有56次命中

【例题精析4】一个盒子中有假设「白色围棋子，为了估量其中围棋子的数目，小明将10（）颗黑色的围

棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，依据这些信息可以估量

白色围棋子的数目约为（）

A.20（）颗B.300颗C.400颗D.500颗

【例题精析5】（多项选择）假设在同等条件下进行〃次重复试验得到某个大事A发生的频率/（〃），那

么随着〃的渐渐增加，以下说法不止确的选项是（）

A./（〃）与某个常数相等

B.4〃）与某个常数的差渐渐减小

C.f（〃）与某个常数差的肯定值渐渐减小

D./（〃）在某个常数四周摇摆并趋于稳定

廿军一反E

【对点精练11某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的熬炼天数，得到如下图的频率分布直方

图（将频率视为概率），那么以下说法正确的选项是（）

A.该小区居民在该滑冰馆的熬炼天数在区间（25,30］内的最少

C.估量该小区居民在该滑冰馆的熬燎天数的中位数为16

D.估量小区居民在该滑冰馆的熬炼天数的平均值为15

【对点精练2】某工厂生产的产品的合格率是99.99%,这说明（）

A.该厂生产的10000件产品中不合格的产品肯定有1件

B.该厂生产的10000件产品中合格的产品肯定有9999件

C.该厂生产的10000件产品中没有不合格的产品

D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%

【对点精练3】以下说法正确的选项是（）

A.概率与试验次数有关B.在试验前无法确定概率

C.频率与试验次数无关D.频率是在试验后得到的

【对点精练4】以下四个命题中真命题的个数为（）个

①有一批产品的次品率为0.05,那么从中任意取出200件产品中必有10件是次品：

②抛100次硬币,结果51次消失正面，那么消失正面的概率是0.51：

③随机大事发生的概率就是这个随机大事发生的频率；

④掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，那么消失6点的频率为0.2.

A.1B.2C.3D.4

【对点精练5】在对于•些敏感性问题调杳时，被调杳者往往不情愿给正确答豆，因此需要特殊的调音

方法.调查人员设计了一个随机扮装置，在其中装有外形、大小、质地完全相同的50个黑球和50个白

球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，假设摸到黑球那么需要照实答复以下问题一：你公历

生U是奇数吗？假设摸到白球那么照实答复以下问题二：你是否在考试中做过弊.假设100人中有52人

答复了"是"，48人答复了“否”.那么问题二“考试是否做过弊"答复”是"的百分比为（以100人的频

率估量概率）

知识点③概率的正确理解

【微点拨】(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率;

(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定；

(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.

知识点4频率与概率的关系

.频率与概率的区分与联系

名称区分联系

本身是随机的，在试验之前无法确(1)频率是概率的近似值，随着试

定，大多会随着试验次数的转变而验次数的增加，频率会越来越接近

频率

转变.做同样次数的重复试验，得概率

到的频密值也可能会不同(2)在实际问题中，大事的概率通

是一个出，1］中确实定值,不随试常状况下是未知的，常用频率估量

概率

验结果的转变而转变概率

知识点⑤随机数的产生

1.随机模拟的定义：利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以依据不同的随机试验构

建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做.我们称利用

随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛(MonteCarlo)方法.

2.随机模拟法估・概率的思想

随机模拟法是通过将一次试验全部可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每

次试验的结果.其根本思想是，用产生.整数值的随机数的频率估量大事发生的概率.

3.随机模拟法的优点

不需耍对试验进行详细操作，是一种简洁、有用的科研方法，可以广泛地应用到牛.产生活的各个领域

中去.

4.随机模拟来估置概率大事的特点：

(1)对于满足“有限性”但不满足"等可能性”的概率问题，我们可实行随机模拟方法来估量概率.

(2)对于一些根本领件的总数比拟大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于根本领件的

等可能性难于验证的概率问题，可用随机模拟方法来估量概率.

【微点拨】随机模拟解题的主要步骤：

1.构造描述概率的过程；2.按要求产生随机变量；3.建立估量量，从中行到问题的解.

知识点⑥用频率估量概率

1.频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值

2.用频率估量概率题目的解题方法：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率，然后依据频率与概率的关

系估量大事发生的概率

眇对JLW稀

【例题精析6]在一个试验中，某种豚鼠被感染力病毒的概率均为"％,现采纳随机模拟方法估量三只

豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0,9]之间整数值的随机数，指定1,2,3,4表示被感染，5,

6,7,8,9,0表示没有被感染羟随机模拟产生了如下20组随机数：

192907966925271932812458569683

257393127556488730113537989431

据此估量三只豚限中至少一只被感染的概率为1).

【例题精析7]某种心脏手术，胜利率为0.6,现采纳随机模拟方法估量”3例心脏手术全部胜利”的概率:

先利用计算器或计算机产生0〜9之间取整数值的随机数，由于胜利率是0.6,我们用0,1,2,3表示

手术不胜利，4,5,6,7,8,9表示手术胜利：再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经

随机模拟产生如下10组随机数：

812,832,569,683,271,989,730,537,925,907

由此估量“3例心脏手术全部胜利”的概率为()

【例题精析8】欲利用随机数表从00,01,02,…，59这些编号中独取一个容量为6的样本，抽取方法

是从下面的随机数表的第1行第11列开头向右读取，每次读取两;立，直到取足样本，那么第4个被抽

取的样本的编号为

63016378591695556719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

【例题精析9】天气预报说，在接下来的一个星期里，每大涨潮的概率为20%,设计一个符合要求的模

拟试验：利用计算机产生0〜9之间取整数值的随机数，用1,2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这

样表达了涨潮的概率是20%,由1时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：

70325(53256458631424865677851

7782684612256952414788971568

3215687642445863258746894331

5789614568943215478633569841

258963412586976547823227416*

那么下个星期恰有2天涨潮的概率为.

【例题精析10】利用计算机产生0〜1之间的匀称随机数x,那么大事“7x-320”发生的概率为

【对点精练6】池州九华山是闻名的旅游胜地.天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6,

现用随机模拟的方法估量四天中伶有三天下雨的概率：在0〜9十个整数值中，假定0,1,2,3,4,5

表示当天下雨，6,7,8,9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的挨次读取如下20组

四位随机数：

95339522001874720018387958693281

78902692828084253990846079802436

5987388207538935

据此估量四天中恰有三天下雨的概率为()

D-4

【对点精练7】~9之间取整数值的随机数，由于胜利率是0.9,故我们用0表示手术不胜利，1,2,3,

4,5,6,7,8,9表示手术胜利，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如

下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,由此估量“3例心脏手术全部胜利”的概率

为()

【对点精练8]某工厂生产的产品的合格率为90%现采纳随机模拟的方法估量4件产品中至少有3件为

合格品的概率；先由计算器产生。到9之间取整数值的随机数，指定。表示不是合格品，】，2,3,4,

5,6,7,8,9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品，经随机模拟产生了如下20

组随机数：

7527029370409857034743738636694714174698

0301623326168045600136619597742476104001

掘此估量，4件产品中至少有3件合格品的概率为（）

A.-B.C.D

4204'?

【对点精练9】假定某运发动每次投掷K镖正中靶心的概率为40%,现采纳随机模拟的方法估量该运发

动两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,

3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果,

经随机模拟产生了20组随机数：

93281245856968343125

73930275564887301135

据此估量，该运发动两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为.

【对点精练10】袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族"四个字，有放回地从中任取一个小球，直到

“中""华"两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估量恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0

到3之间取整数值的随机数，分别用3代表”中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表

示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

232321230023123021132220001

231130133231031320122103233

由此可以估量，恰好抽取三次就停止的概率为.

【对点精练11】某种心脏病手术，胜利率为0.6,现预备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数

模拟，用0,1,2,3代表手术不胜利，用4,5,6,7,8,9代表手术胜利，产生20组随机数：966,

907,191,924,270,832,912,468,578,582,134,370,113,573,998,397,027,488,703,

725,那么恰好胜利1例的概率为.

数个届演练

8D

I.总数为10万张的彩票，中奖率是高，那么以下说法中正确的选项是（）

A.买1张肯定不中奖B.买1000张肯定中奖

C.买2000张肯定中奖D.买2000张不肯定中奖

2.某种彩票中奖的概率为一^,这是指（）

10000

A.买1（）000张彩票肯定能中奖

B.买10000张彩票只能中奖1次

C.假设买9999张彩票未中奖，那么第10000张必中奖

D.买一张彩票中奖的可能性是一L.

10000

3.某班级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的同学参与一项活动，有人提议：掷两个骰子，把得

到的点数之和是几就选几班，这种选法（）

A.公正，每个班被选到的概率都为，

12

B.公正，每个班被选到的概率都为工

6

C.不公正，6班被选到的概率最大

D.不公正，7班被选到的概率最大

4.在天气预报中，有“降水概率预报”.例如，预报“明天降水概率为85%”,这是指（）

A.明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水

B.明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水

C.气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水

D.明天该地区降水的可能性为85%

5.以下结论正确的选项是（）

A.大事人的概率尸（A）必有0<尸（A）<1

B.大事片的概率尸（A）=0.999,那么大事“是必定大事

C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用

此药，那么估量其有明显的疗效的可能性为76%

D.某奖券中奖率为50%,那么某人购置此券10张，肯定有5张中奖

6.在掷一个骰子的试验中，大事力表示''小于5的偶数点消失"，大事B表示“小于5的点数消失”，那

么一次试验中，大事.4|J耳发生的概率为()

「

AA.—1Bn・—1C・—2Dc.—5

3236

7.以下表达随机大事的频率与概率的关系中哪个是正确的()

A.频率就是概率

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.概率是随机的，在试验前不能确定

D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

8.从一箱产品中随机地抽取一件，设大事/="抽到一等品"，大事8=“抽到二等品"，大事C="抽

到三等品"，且。(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.那么大事“抽到的不是一等品”的概率为

()

A.B.C.D.

9.以下正确的结论是()

A.大事片的概率尸(A)的值满足0<P(A)<1

B.如P(A)=0.999,那么力为必定大事

C.灯泡的合格率是99%,从一-批灯泡中任取一个，这时合格品的可能性为99%

D.如尸(A)=0.001,那么力为不行能大事

10.质地匀称的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，那么以下大

事中，发生可能性最大的是()

A.点数都是偶数B.点数的和是奇数

C.点数的和小于13D.点数的和小于2

11.甲、乙两位同学各拿出六张嬉戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲

得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得全部12张嬉戏牌，并结束嬉戏.竞赛开头后，甲积2分，

乙积1分，这时因意外大事中断嬉戏，以后他们不想再连续这场嬉戏，下面对这12张嬉戏牌的分协作理的

是()

A.甲得9张，乙得3张B.甲得6张，乙得6张

C.甲得8张，乙得4张D.甲得10张，乙得2张

12.以下表达随机大事的频率与概率的关系中，说法正确的选项是()

A.频率就是概率

B.频率是随机的，与试验次数无关

C.概率是稳定的，与试验次数无美

D.概率是随机的，与试验次数有关

13.从一箱产品中随机地抽取一件，设大事/=｛抽到一等品｝,大事8=｛抽到二等品｝,大事C=｛抽到三

等品｝,且P(A)=0.7,P(B)=0.2,P(C)=0.1.那么大事“抽到的不是一等品"的概率为()

A.B.C.D.

14.(多项选择)黄种人群中各种血型的人所占的比例见如表:

血型ABAB0

该血型的人所占

比例

同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种伽型的人输血，任何血型的人都可以给48血型的人输力L,

其他不同血型的人不能相互输血.以下结论正确的选项是()

A.任找一个人，其血可以输给型血的人的概率是

B.任找一个人，8型血的人能为其输血的概率是

C.任找一个人，其血可以输给。型血的人的概率为1

D.任找一个人，其血可以输给4H型血的人的概率为1

15.我国高铁开展快速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为，有20

个车次的正点率为，有10个车次的正点率为，那么经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估量值

为一.

友当错盘

1.甲、乙两位同学各拿出六张嬉戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时卬得

1分，否则乙得I分，先积得3分者获胜得全部12张嬉戏牌，并结束嬉戏.竞赛开头后，甲积2分，乙

积1分，这时因意外大事中断嬉戏，以后他们不想再连续这场嬉戏，下面对这12张嬉戏牌的分协作理的是

（）

A.甲得9张，乙得3张B.甲得6张，乙得6张

C.甲得8张，乙得4张D.甲得10张，乙得2张

2.以下说法正确的选项是（）

A.任何大事的概率总是在（0,1）之诃

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.随着试验次数的增加，频率一段会越来越接近概率

D.概率是随机的，在试验前不能询定

3.在一次随机试验中，三个大事4，4，4的概率分别为，，，那么以下说法正确的个数是（）

①4+4与4是互斥大事，也是对立大事；

②4+4+4是必定大事：

③0（4+4）=。£；

④产（4+4,0.5.

A.0B.1C.2D.3

4.以下表达随机大事的频率与概率的关系中哪个是正确的（）

A.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.概率是随机的，在试验前不能确定

D.频率就是概率

5.以下说法正确的选项是（）

A.甲、乙两人做嬉戏；甲、乙两人各写一个数字，假设是同奇数或同偶数那么甲胜，否则乙胜，这

个嬉戏公正

B.做〃次随机试验，大事/发生的频率就是大事/I发生的概率

C.某地发行，回报率为47%,某人花了10（）元买该，肯定会有47元的回报

D.试验：某人射击中靶或不中靶，这个试验是古典概型

6.随着互联网的普及，网上购物己渐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满足状况，某公司随机

对4500名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种状况答复），统计结果如表:

满足状况不满足比拟满足满足特别满足

人数200n21001000

依据表中数据，估量在网上购物的消费者群体中对网上购物“比拟满足”或"满足”的概率是（）

A7口2「11n13

A.—B.—C.—I）.—

1551515

7.16个同类产品中有14个正品，2个次品，从中任意抽取3个，那么以下大事中概率为1的是（）

A.三个都是正品B.三个都是次品

C.三个