北京市丰台区2025-2026学年高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市丰台区高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。1.集合M={x|3x-1＞5}，N={0，1，2}，则M∩N=（）A.{1，2，3} B.{2，3} C.∅ D.{3}2.设复数z满足z（1+i）=2，则|z|=（）A. B.1 C. D.23.下列散点图中所对应的成对样本数据呈现正相关关系的是（）A. B.

C. D.4.下列关于命题“若实数x＞1，则2x+1＞5”的否定，正确的是（）A.若x＞1，则2x+1≤5 B.任意实数x,满足x＞1，则2x+1≤5

C.存在一个实数x,满足x＞1，则2x+1≤5 D.存在一个实数x,满足x≤1，则2x+1≤55.下列求导运算正确的是（）A. B.

C.（cosx）'=sinx D.（e-x+1）′=-e-x+16.在的展开式中，若x2的系数为-14，则a的值为（）A.2 B.1 C.-1 D.-27.已知随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），若P（|X-μ|＜1）=0.6，则P（X≥μ+1）=（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.48.已知xy＞0，则“y≠2x”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.某中学举办主题为“十八而志承大任，芳华待灼赴海赢”的高三成人礼活动，现有语言类节目2个、歌唱类节目2个、舞蹈类节目1个，共5个节目登台演出.若要求同一类型的节目不能连续表演，则不同的节目表演顺序的种数为（）A.24 B.32 C.44 D.4810.已知集合A={x∈N*|1≤x≤20}，且集合B1，B2，B3，B4满足如下两个条件：

①每个集合均恰有5个元素；

②B1∪B2∪B3∪B4=A.

称集合Bi中元素的最大值与最小值之和为Bi的特征数Xi（i=1，2，3，4），则X1+X2+X3+X4的值可能为（）A.64 B.65 C.102 D.103二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），则z的共轭复数=

.12.从集合{1，2，3，4}中依次不放回地随机抽取两个不同的数，分别记为a和b.已知a是偶数，则a+b＞5的概率为

.13.已知（1-3x）4=a-3a1x+9a2x2-27a3x3+81a4x4，则展开式中各二项式系数的和为

；a1+a2+a3+a4=

.14.已知集合A={x∈Z|ax2-（a2+a）x+a2＜0，a∈R}，若集合A中恰有两个元素，则a的一个取值为

.15.曲线y=f（x）在不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线斜率分别是kA，kB，规定（|AB|为A与B之间的距离）叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”.给出下列四个结论：

①设函数f（x）=kx+b,则其图象上任意两点之间的“弯曲度”都为0；

②设函数，则其图象上存在两点之间的“弯曲度”为0；

③已知A（x,f（x））与B（x+π，f（x+π））是函数f（x）=sinx图象上两点，则当x∈时，φ（A，B）不存在最大值；

④已知A（x,f（x））与B（x+1，f（x+1））是函数f（x）=ex图象上两点，则φ（A，B）随着x的增大而增大，且对于∀m＞0，∃x∈R，使得|φ（A，B）-1|＜m.

其中所有正确结论的序号为

.三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

2026年“五一”假期，北京文旅市场持续火热，相关数据显示，颐和园、天坛公园、故宫博物院、景山公园、奥林匹克公园成为北京热度前五的景区.现有4名游客，计划在五月五日当天，每人从这5个景区中选择1个景区参观.

（Ⅰ）若这4名游客选择参观的景区互不相同，那么共有多少种不同的选择方法？

（Ⅱ）若这4名游客中，恰有2名游客选择了同一个景区，那么共有多少种不同的选择方法？17.(本小题13分)

某班级数学兴趣小组共有6名同学，其中2名男生，4名女生.

（Ⅰ）该小组甲、乙两名同学参加一项闯关游戏.已知甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响.求甲、乙两人中恰有一人闯关成功的概率；

（Ⅱ）若从这6名同学中随机选出3名同学组成一个竞赛小组，设选出的3名同学中女生的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.18.(本小题15分)

已知函数f（x）=x3-ax2+a（a∈R）.

（Ⅰ）若a=1，求f（x）的极值；

（Ⅱ）若f（x）在区间[0，+∞）上的最小值小于零，求a的取值范围；

（Ⅲ）若a＞0，设F（x）=|f（x）|，记F（x）在区间[-1，1]上的最大值为g（a）.当g（a）最小时，直接写出一个满足条件的a的值.19.(本小题15分)

某科技公司为优化旗下的人工智能助手“小智”的性能，针对“语音交互”和“图像识别”两项核心功能设计了相应的优化方案：方案A与方案B.为了解“小智”的全体用户（18岁及以上）对新方案的支持情况，对“小智”的青年用户（18-35岁）和中老年用户（36岁及以上）进行简单随机抽样，获得数据如表：青年用户中老年用户支持不支持支持不支持方案A400人200人200人200人方案B350人250人150人250人假设所有用户对方案是否支持相互独立.用频率估计概率.

（Ⅰ）分别估计“小智”的青年用户和中老年用户支持方案A的概率；

（Ⅱ）从“小智”的全体青年用户中随机抽取2人，全体中老年用户中随机抽取1人.估计这3人中恰有2人支持方案A的概率；

（Ⅲ）用ξk=1（k=1，2，3）分别表示“小智”的青年用户、中老年用户以及全体用户支持方案B，用ξk=0（k=1，2，3）分别表示“小智”的青年用户、中老年用户以及全体用户不支持方案B.写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3的大小关系.（结论不要求证明）20.(本小题15分)

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），其导函数，且f（1）=a+lna.曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线为直线l.

（Ⅰ）若直线l与x轴平行，求a的值；

（Ⅱ）求证：除切点A外，曲线y=f（x）在直线l的上方；

（Ⅲ）若a＞1，直线l与x轴，y轴分别交于B，C两点，O为坐标原点.是否存在实数a,使得△BOC的面积为2？若存在，求出满足条件的a的个数；若不存在，说明理由.21.(本小题15分)

设n∈N*，考虑正整数数列a1，a2，…，an，将其以n为周期构造成无穷数列，即对所有正整数i,均有an+i=ai.当该无穷数列满足如下两个条件时，我们称其为“C数列”：

①a1≤a2≤…≤an≤a1+n；

②对每个i=1，2，…，n,均有.

（Ⅰ）当n=4时，判断下列两个数列Q1，Q2是否为“C数列”？

Q1：2，2，3，4，2，2，3，4，2，2，3，4，…；

Q2：2，4，4，6，2，4，4，6，2，4，4，6，…；

（Ⅱ）若正整数数列a1，a2，…，an，a1，a2，…，an，…为“C数列”，则

（i）求证：对每个i=1，2，…，n,均有ai≤n+i-1；

（ⅱ）求证：a1+a+…+an≤n2.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】2-i

12.【答案】

13.【答案】1615

14.【答案】4（答案不唯一，满足3＜a≤4即可）

15.【答案】①②④

16.【答案】解：（Ⅰ）若这4名游客选择参观的景区互不相同，共有5×4×3×2=120种不同的选择方法；

（Ⅱ）若这4名游客中，恰有2名游客选择了同一个景区，则共有=360种不同的选择方法．

17.【答案】解：（Ⅰ）设事件A表示“甲、乙两人中恰有一人闯关成功”，

则P（A）==；

（Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为1，2，3，

则P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，

所以随机变量X的分布列为：X

1

2

3

P

所以E（X）=1×=2．

18.【答案】解：（I）当a=1时，f（x）=x3-x2+1，求导得f'（x）=3x2-2x.

令f'（x）=0，解得．

当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

所以f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f；

（Ⅱ）f'（x）=3x2-2ax=x（3x-2a）．

1．当a≤0时，在区间[0，+∞）上f'（x）≥0，f（x）单调递增，最小值为f（0）=a,

由题意a＜0，故a＜0；

2．当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，最小值为．

由题意，解得．

综上所述，a的取值范围为（-∞，0）∪；

（III）当a＞0时，F（x）=|f（x）|，f（x）=x3-ax2+a,分析x∈[-1，1]的单调性：

f′（x）=x（3x-2a），因a＞0，3x-2a＜0对x∈[-1，1]恒成立，

故x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（0，1]时，f（x）单调递减，

因此，f（x）在x=0处取得极大值f（0）=a,在端点x=-1处f（-1）=-1-a+a=-1，在x=1处f（1）=1-a+a=1．

F（x）=|f（x）|的最大值g（a）为max{|f（-1）}，|f（0）}，|f（1）|}=max{1，a}．

当0＜a≤1时，g（a）=1（最小值）；当a＞1时，g（a）=a＞1．

故g（a）最小时（g（a）=1），a可取[0，1]内的任意值，例如a=1（或等）．

19.【答案】解：（Ⅰ）青年总抽样人数为400+200=600，支持频率：，

中老年总抽样人数为200+200=400，支持频率：，

所以“小智”的青年用户支持方案A的概率估计为；中老年用户支持方案A的概率估计为．

（Ⅱ）由题意，这3人中恰有2人支持方案A的概率P=+=．

（Ⅲ）由题意，ξ1，ξ2，ξ3均为0-1分布，0-1分布方差公式：Dξ=p（1-p），p为支持概率，

青年用户支持方案B：

总青年样本：350+250=600，，

；

中老年用户支持方案B：

总中老年样本：150+250=400，，

；

全体用户支持方案B：

总样本：600+400=1000，支持总人数350+150=500，，

，

所以Dξ3＞Dξ1＞Dξ2．

20.【答案】（I）解：已知，因为直线l与x轴平行，所以切线斜率为0，即f'（1）=0．

将x=1代入f'（x）可得：=a-1，由a-1=0，解得a=1；

（II）证明：由（I）知f'（1）=a-1，又f（1）=a+lna,

所以直线l的方程为y-（a+lna）=（a-1）（x-1），即y=（a-1）x+1+lna.

令g（x）=f（x）-[（a-1）x+1+lna]，则g（1）=f（1）-（a-1）×1-1-lna=a+lna-a+1-1-lna=0．

对g（x）求导得g'（x）=f'（x）-（a-1）=aex-1．

令，则，

所以h（x）在（0，+∞）上单调递增．

又=0，

所以当0＜x＜1时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，h（x）＞0，即g'（x）＞0g（x）单调递增．

因为g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且g（1）=0，

所以当x≠1时，g（x）＞g（1）=0，即f（x）＞（a-1）x+1+lna,

所以除切点A外，曲线y=f（x）在直线l的上方；

（III）解：在直线l的方程y=（a-1）x+1+lna中，令y=0，可得0=（a-1）x+1+lna,

解得x=，所以．

令x=0，可得y=1+lna,所以1+lna.

已知O为坐标原点，则△BOC的面积为×．

因为a＞1，所以．

令，即（1+lna）2=4（a-1）．

令t=lna（t＞0），则1+t）2=4（et-1），即4et-t2-2t-5=0．

令φ（t）=4et-t2-2t-5（t＞0），则φ'（t）=4et-2t-2．

令m（t）=4et-2t-2，则m'（t）=4et-2．

因为t＞0，所以m'（t）=4et-2＞0，所以m（t）在（0，+∞）上单调递增，

则m（t）＞m（0）=4e0-2×0-2=2＞0，即φ'（t）＞0，所以φ（t）在（0，+∞）上单调递增．

又φ（1）=4e-1-2-5=4e-8＞0，=，

所以由零点存在定理可知，φ（t）在上有且仅有一个零点，

即方程4et-t2-2t-5=0在（0，+∞）上有且仅有一个解，所以存在唯一的t＞0，使得φ（t）=0，

即存在唯一的a＞1，使得△BOC的面积为2．

21.【答案】（Ⅰ）对于数列Q1，对任意的n∈N*，an+4=an，

即数列Q1是以4为周期的周期数列，且满足a1≤a2≤a3≤a4≤a1+4，

所以，=a2=2＜4+2-1=5，

，，

所以数列Q1满足①②，故数列Q1为“C数列”；

对于数列Q2对任意的n∈N*，an+4=an，

即数列Q2是以4为周期的周期数列，且满足a1≤a2≤a3≤a4≤a1+4，

所以，=a4=6＞4+2-1=5，

故数列Q2满足①，但不满足②，

故数列Q2不是“C数列”．

（Ⅱ）（i）证明：假设存在i∈N*，使得ai＞n+i-1，

考虑使这个不等式成立的最小的i,

则an≥an-1≥…≥a1≥n+i,

因为数列的周期性和，

所以ai=1+kn、2+kn、…、i-1+kn（k∈N*），

又ai≥n+i,可得ai≥2n+1，

因为a1+n≥an≥ai≥2n+1，