2020年全国统考数学二模拟试卷（含答题卡）

2020年全国统考数学二模拟试卷（含答题卡）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论中正确的是（）A.存在唯一的c∈(a,b)，使得f'(c)=0B.存在至少一个c∈(a,b)，使得f'(c)=0C.对任意c∈(a,b)，都有f'(c)≠0D.不存在c∈(a,b)，使得f'(c)=02.极限lim_{x→0}(e^x-1-x)sin^2x/xcosx等于（）A.1/2B.1C.0D.-1/23.设函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=2，则f(2020)等于（）A.4040B.4020C.4010D.40004.曲线y=ln(x^2+1)在点(0,0)处的曲率等于（）A.1B.2C.0D.-15.不定积分∫(x^2+1)/(x^2-1)dx等于（）A.x+ln|x^2-1|+CB.x-ln|x^2-1|+CC.-x+ln|x^2-1|+CD.-x-ln|x^2-1|+C6.已知向量a=(1,2,3)，b=(3,2,1)，则向量a与b的向量积a×b等于（）A.(4,4,4)B.(-4,-4,-4)C.(2,4,6)D.(-2,-4,-6)7.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x1x3+2x2x3的矩阵形式为（）A.[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]B.[[1,1,1],[1,1,0],[1,0,1]]C.[[1,0,0],[0,1,1],[0,1,1]]D.[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,2]]8.设事件A与B互斥，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)等于（）A.0.1B.0.7C.0.8D.0.99.设随机变量X的密度函数为f(x)=1/(π(1+x^2))，则E(X)等于（）A.1B.-1C.0D.不存在10.级数∑_{n=1}^∞(-1)^(n+1)(n+1)/n收敛性为（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。）1.若lim_{x→2}[(x^2-4)/(x-2)]=A，则A=________。2.函数y=2^x在点(0,1)处的切线方程为________。3.若f(x)=√x，则f'(4)=________。4.微分方程y'-y=0的通解为________。5.设f(x)是奇函数，且f(0)=1，则∫_{-1}^1f(x)dx=________。6.向量a=(1,1,1)与向量b=(1,0,1)的夹角余弦值为________。7.行列式|A|=[312;121;213]的值为________。8.设事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.5，且P(A∩B)=0.2，则P(A|B)=________。9.设随机变量X的期望为2，方差为1，则随机变量Y=3X-4的期望为________，方差为________。10.级数∑_{n=1}^∞(1/2^n)的值为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请判断下列命题的正误，正确的填“√”，错误的填“×”。）1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上必有最大值和最小值。________2.若函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处必连续。________3.若f(x)是偶函数，则f'(x)是奇函数。________4.若曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率为0，则该点是函数的极值点。________5.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则f'(x)在该区间内恒大于0。________6.若向量a=(1,2,3)与向量b=(3,2,1)共线，则存在实数λ使得a=λb。________7.若矩阵A可逆，则矩阵A的转置矩阵A'也可逆。________8.若事件A与B互斥，则P(A)+P(B)=1。________9.若随机变量X的密度函数为f(x)，则∫_{-∞}^∞f(x)dx=1。________10.若级数∑_{n=1}^∞an收敛，则级数∑_{n=1}^∞|an|必收敛。________四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。2.求极限lim_{x→0}(sinx/x+x^2/x^3)。3.解微分方程y'+2xy=0。4.求函数f(x)=x^2lnx在x=1处的泰勒展开式。5.求向量a=(1,2,3)与向量b=(1,0,1)的向量积。6.求矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值和特征向量。7.求事件A与B的并集和交集，其中P(A)=0.6，P(B)=0.5，且P(A∩B)=0.2。8.求随机变量X的期望和方差，其中X的密度函数为f(x)=1/(π(1+x^2))。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。）1.某商品的需求函数为Q=100-2p，其中p为价格，求该商品的边际收益函数。2.某曲线的参数方程为x=t^2+1，y=t^3-1，求该曲线在t=1处的切线方程。3.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的积分。4.求向量a=(1,2,3)与向量b=(1,0,1)的夹角余弦值。5.求矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值和特征向量。6.求事件A与B的并集和交集，其中P(A)=0.6，P(B)=0.5，且P(A∩B)