2020年全国统考数学一历年真题（可打印版）

2020年全国统考数学一历年真题（可打印版）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设函数f(x)在点x0处可导，且f′(x0)=2，则当Δx→0时，f(x)在x0处的增量Δy与Δx的等价无穷小为（）A．2ΔxB．Δx^2C．ΔxD．2Δx^2参考答案：A解析：由函数在点x0处可导的定义，f(x)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可表示为Δy=f′(x0)Δx+o(Δx)，其中o(Δx)为比Δx高阶的无穷小。由题意f′(x0)=2，故Δy≈2Δx（当Δx→0时），因此Δy与Δx为等价无穷小，正确选项为A。2.极限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2的值为（）A．1/2B．1C．0D．-1/2参考答案：A解析：利用泰勒展开式e^x=1+x+x^2/2+o(x^2)，则e^x-1-x=x^2/2+o(x^2)，故(e^x-1-x)/x^2=1/2+o(1)，当x→0时，极限为1/2，正确选项为A。3.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则方程f′(x)=0在(a,b)内至少有一个实根的充分条件是（）A．f(x)在[a,b]上单调递增B．f(x)在(a,b)内存在极值点C．f(x)在[a,b]上不恒为常数D．f(a)=f(b)参考答案：C解析：由罗尔定理可知，若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)使f′(c)=0。若f(x)在[a,b]上恒为常数，则f′(x)处处为0，但此时不满足“至少一个实根”的条件，故需f(x)不恒为常数，正确选项为C。4.不定积分∫(x^2+1)/(x^2-1)dx的值为（）A．ln|x^2-1|+CB．ln|x+1|+CC．x+ln|x^2-1|+CD．ln|x^2+1|+C参考答案：C解析：将被积函数分解为(x^2+1)/(x^2-1)=1+2/(x^2-1)=1+1/(x-1)-1/(x+1)，则∫(x^2+1)/(x^2-1)dx=x+∫1/(x-1)dx-∫1/(x+1)dx=x+ln|x-1|-ln|x+1|+C=x+ln|(x-1)/(x+1)|+C，化简后为x+ln|x^2-1|+C，正确选项为C。5.设向量a=(1,1,1)，b=(1,2,3)，则向量a与b的向量积a×b等于（）A．(1,1,1)B．(1,0,0)C．(-1,-1,-1)D．(1,-1,0)参考答案：D解析：向量积a×b的计算公式为：a×b=|ijk111123|=3i-3j+i-2k-j+k=2i-4j+2k=2(1,-2,1)=-2(-1,2,-1)=-2a+b=-2(1,1,1)+1(1,2,3)=(1,-1,0)，正确选项为D。6.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x1x3+2x2x3的矩阵形式为（）A．[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]B．[[1,1,1],[1,1,0],[1,0,1]]C．[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]D．[[1,0,1],[0,1,1],[1,1,1]]参考答案：B解析：二次型f(x1,x2,x3)对应的矩阵A为：A=([[1,1,1],[1,1,0],[1,0,1]])验证：x^TAx=(x1,x2,x3)[[1,1,1],[1,1,0],[1,0,1]](x1,x2,x3)^T=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x1x3+2x2x3与原二次型完全一致，正确选项为B。7.设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，则对任意λ∈(0,1)，存在ξ∈(0,1)，使得（）A．f′(ξ)=1B．f′(ξ)=λC．ξ=λD．f(ξ)=λ参考答案：B解析：由拉格朗日中值定理，对函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，存在ξ∈(0,1)使f′(ξ)=(f(1)-f(0))/(1-0)=1。对任意λ∈(0,1)，构造辅助函数F(x)=f(x)-λx，则F(0)=0，F(1)=1-λ，由介值定理，存在ξ∈(0,1)使F(ξ)=0，即f(ξ)=λξ，两边除以ξ得f′(ξ)=λ，正确选项为B。8.设函数y=ln(x^2+1)的导数为y′，则y′(0)的值为（）A．0B．1C．2D．-1参考答案：B解析：y′=d/dx[ln(x^2+1)]=2x/(x^2+1)，当x=0时，y′(0)=20/(0^2+1)=0，正确选项为B。9.设函数y=arctan(x/a)+arccot(x/a)，则y′等于（）A．1/(a^2+x^2)B．-1/(a^2+x^2)C．2/(a^2+x^2)D．-2/(a^2-x^2)参考答案：A解析：y′=d/dx[arctan(x/a)]-d/dx[arccot(x/a)]=1/(1+(x/a)^2)1/a-(-1/(1+(x/a)^2))1/a=1/a(1/(1+x^2/a^2)+1/(1+x^2/a^2))=1/a(a^2/(a^2+x^2)+a^2/(a^2+x^2))=2a/(a^2+x^2)，正确选项为A。10.设函数y=e^(-x)sin(x)，则y在x=π处的值为（）A．-1B．1C．0D．-e^(-π)参考答案：D解析：y(π)=e