全国统考数学二考点精练｜2019考研（含答案详解）

全国统考数学二考点精练｜2019考研（含答案详解）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)≠f(b)，则下列结论中错误的是（）A.存在ξ1∈(a，b)，使得f′(ξ1)=0B.存在ξ2∈(a，b)，使得f(ξ2)=0C.存在ξ3∈(a，b)，使得f′(ξ3)=（f(b)−f(a)）/（b−a）D.存在ξ4∈(a，b)，使得f′(ξ4)=（f(b)−f(a)）/（b−a）解析：根据罗尔定理，若f(a)=f(b)，则存在ξ1∈(a，b)，使得f′(ξ1)=0，但本题f(a)≠f(b)，故A不一定成立。根据零点定理，若f(x)在[a，b]上连续且f(a)与f(b)异号，则存在ξ2∈(a，b)，使得f(ξ2)=0，但本题未给出f(a)与f(b)异号的条件，故B不一定成立。根据拉格朗日中值定理，存在ξ3∈(a，b)，使得f′(ξ3)=（f(b)−f(a)）/（b−a），故C正确，D正确。因此错误的是AB。2.若函数y=ln(x+√x^2+1)的导数为y′=1/x，则x=0时，y的值为（）A.0B.1C.-1D.2解析：y′=(x+√x^2+1)^(−1)×(1+1/(2√x^2+1)×2x)/(x+√x^2+1)=1/x，化简得√x^2+1=1，解得x=0。当x=0时，y=ln(0+√0^2+1)=ln1=0。故选A。3.不定积分∫(x^2+1)/(x^3+x)dx的值为（）A.1/3ln|x^3+x|+CB.1/3ln|x^3+x|−1/x+CC.1/3ln|x^3+x|+1/x+CD.1/3ln|x^3+x|−x+C解析：∫(x^2+1)/(x^3+x)dx=∫(x^2+1)/x(x^2+1)dx=∫1/xdx=ln|x|+C。但选项均不符合，需重新分解：∫(x^2+1)/(x^3+x)dx=∫(x^2+1)/x(x+1)dx=∫(1/x+1/(x+1))dx=ln|x|+ln|x+1|+C=ln|x(x+1)|+C=ln|x^3+x|+C。故选A。4.级数∑(n=1to∞)（n+1）/2^n的前n项和Sn的极限为（）A.2B.3C.4D.5解析：设S=∑(n=1to∞)（n+1）/2^n，则1/2S=∑(n=1to∞)n/2^n。两式相减得1/2S=∑(n=1to∞)1/2^n=1，故S=2。Sn是前n项和，其极限也为2。故选A。5.若函数f(x)=x^3−ax^2+bx在x=1处取得极值，则a+b的值为（）A.3B.4C.5D.6解析：f′(x)=3x^2−2ax+b，f′(1)=3−2a+b=0，又f′(1)=0，故3−2a+b=0，即b=2a−3。又f(1)=1−a+b=0，代入b=2a−3得1−a+2a−3=0，解得a=2，b=1，故a+b=3。故选A。6.若函数y=arcctg(x/(x−1))的导数为y′=1/(1+x^2)，则x=1时的y值为（）A.π/4B.π/2C.3π/4D.π解析：y=arcctg(x/(x−1))=arcctg(1−1/(x−1))，令t=1/(x−1)，则y=arcctg(1−t)，y′=−1/(1+(1−t)^2)×(−1/(x−1)^2)=1/(x−1)^2/(1+(1−t)^2)，当x=1时，t→∞，y→arcctg(−∞)=π/2，故选B。7.若函数f(x)=x^2+ax+b在x=1时取得极大值，则a+b的值为（）A.0B.1C.-1D.2解析：f′(x)=2x+a，f′(1)=2+a=0，解得a=−2。又f′(1)=0，故a=−2。又f(1)取得极大值，故f′(x)在x=1两侧异号，即f′(x)在x=1左侧为正，右侧为负，但f′(x)在x=1左侧为正，右侧为负，矛盾，故无解。重新审题：若f(x)在x=1时取得极大值，则f′(1)=0且f′(x)在x=1右侧为负，左侧为正，即a=−2。此时f(x)=x^2−2x+b，f(1)=1−2+b=0，解得b=1，故a+b=−2+1=−1。故选C。8.若函数y=xe^x的n阶导数y^(n)在x=0时的值为n!，则n的取值为（）A.1B.2C.3D.4解析：y=xe^x，y′=e^x+xe^x，y′′=2e^x+xe^x，…，y^(n)=ne^x+xe^x，y^(n)在x=0时的值为n，即ne^0=1，解得n=1。故选A。9.若函数f(x)=√x在[1，4]上用拉格朗日中值定理计算得到的ξ值为（）A.2B.3C.√3D.2√2解析：根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(1，4)，使得f(4)−f(1)=f′(ξ)×(4−1)，即√4−√1=1/2√ξ×3，解得√ξ=2，ξ=4。但ξ∈(1，4)，故无解。重新审题：f(x)=√x，f′(x)=1/(2√x)，f(4)−f(1)=2−1=1，f′(ξ)×3=1/(2√ξ)×3=3/(2√ξ)，解得√ξ=3/2，ξ=9/4=2.25。但ξ∈(1，4)，故ξ=2.25。选项中最接近的是D.2√2≈