武理工高等机构学课件第2章 平面连杆机构常用的分析方法

第二章平面连杆机构常用的分析方法2.1二级机构运动分析加速度分析位置分析用型转法数值迭代求解位置方程的建立与求解三转动副二级组内副为移动副的二级组外副之一为移动副二级组速度分析2.2复杂平面连杆机构位置分析学习目标本章任务

已知结构、几何尺寸、原动件运动规律，求从动件位置、速度、加速度。本章难点

位置方程，通常是非线性方程；且只有二级机构能列出待求变量与输入变量之间的显函数表达式；其他情况，方程要用数值解法。

速度方程、加速度方程都为线性方程。2.1.1三转动副（RRR）二级组位置分析：

在如图所示的杆件中，外副P1(P1x,P1y)和P2(P2x,P2y)为运动已知点，其中：p1为输入构件的端点，p2则为固定点

图2.1RRR二级组

2.1二级机构的运动分析介绍两种建立位置方程的方法:（1）由几何关系直接写出表达式

角θ1、θ2和ω为相对x轴正方向的夹角，逆时针方向为正，则有：式中：

图2.1RRR二级组

故可确定P3的位置为：{构件2的角位置为：

一般由计算机求得的的结果仅是1、4象限的值；要想获得4个象限中任意一个象限的值（如上式中的真实值），则需要进行判断，检查x分量（分母）的正负，若x分量为负，就要在计算结果中加上180°。（2）矢量环方程解法（一般解法）

如图2-1所示，可写出三个矢量的封闭环方程：将矢量投影到坐标轴得到标量方程：{(*)将上式(*)方程平方相加可得：将上式记为：求出后，可根据式求出的值。代入得到一个关于的一元二次方程，求解得到：

由半角公式：{

速度分析：

最简单、规范的方法，可将位置

方程对时间求导（机械原理），

也可以根据相对速度关系，写出速

度矢量方程（同一构件两点之间的

运动关系）点的速度矢量方程为：{向x，y轴投影，得2个标量方程，2个未知量

和

表达式如下：{

图2.1RRR二级组

加速度分析：原理与速度分析一样（同一构件两点之间运动关系）绝对加速度=牵连加速度+相对加速度

（基点）（切向、法向）P3点的加速度方程为：{将上式展开求解得：{（1）（2）式中：{再将（2）带入（1）中就可求出。2.1.2三转动副（RPR）二级组位置分析：

为运动已知的点，也可以用两种方法求解位置。

图2.2RPR二级组（1）由几何关系直接写出表达式根据几何关系写出以下各位置计算式：式中：故有：{（2）矢量环方程向两坐标轴投影得：{式中或将含有项移到方程另一侧，平方后相加，整理得：式中：{方程解法同2.1.1相同。速度分析：

滑块上点的速度矢量方程为：式中代表的单位矢量，由上式可解得：

图2.2RPR二级组由式：{求导得点的速度为：{加速度分析：

点的加速度矢量方程为：其中：向心加速度：科氏加速度：投影可得两标量方程，解出未知量和，即：{式中：{则

的加速度为：{2.1.3外副之一为移动副（RRP）二级组

图2.3RRP二级组已知：P1、P4为运动已知点。P2为待求运动点。滑块在其上滑动的构件(导杆)

上的P3的运动已知点。位置分析：

根据几何关系写出位置计算式：将以上方程分别写为x，y轴的投影形式得：即：式中：（3）（4）由（4）中两方程解出和，代入（3）中可求出

图2.3RRP二级组速度分析：

P2点速度程解方程为：联立上面两式，先解出和，最后求得加速度分析：

P2点加速度矢量程解方程为：联立上面两式，先解出和，最后求得。

图2.3RRP二级组例：多杆机构的运动分析（二级机构）图2.4飞剪机构

以飞剪机构为例，简要说明运动分析过程机构中原动件为1、6，当原动件的运动给定后：构件3、5组成的是三转动副二级组，故可调用第一套公式求解。构件2、4组成的是一外副为移动副的二级组，故可调用第三套公式求解。2.2复杂平面连杆机构的位置分析

含有三级以上杆组的机构称为高级或复杂机构，其位置求解要比二级机构困难；而速度和加速度分析则与二级机构相同。2.2.1位置方程的建立与求解

已知n杆杆组，在建立位置方程时会引入n个运动变量(转动副转角、移动副中的位移)。而N个构件组成的杆组，可得到n/2个独立的封闭环方程（矢量方程，如图虚线），投影后得到n个独立的方程，刚好可解n个运动变量,一般情况可得到确定解。图2.5几种杆组对于n个构件组成的杆组，可以得到n/2个如下形式的封闭环方程：矢量可以是转动副之间的联线，移动副之间的位移，转动副到移动副之间的位移等等。可投影为：

其中：为与x

轴夹角。

位置环方程的求解方法

（1）位置方程式的直接数值求解（牛顿—拉普森算法）（2）位置方程式降维后数值求解下面介绍两种位置环方程的求解方法：

（1）位置方程式的直接数值求解（牛顿—拉普森算法）将投影得到的标量方程写成如下形式：设在机构的某一位置已有一近似解：在此初始点邻域内取另一点K+1，令：式中，Δx(k)为各位置变量在初始位置k的增量。应用Taylor公式并只保留各增量的线性性，上式可近似表示成如下：式中A(k)为Jacob矩阵A在点x(k)的值,即：令式等于零矢量，则有：此式为Δx(k)的线性方程组，解出Δx(k)并带入式中可以得到改进后的解矢量x(k+1)，以上计算可以迭代r次，直到：其中原动件,转角为。上式共有四个未知量。把式(Ⅰ)中的和两项移到等式的右边，两边乘上他们各自的共轭复数，就可以消去解出：

。同理对于等式(Ⅱ)，可以得到隐函数：把带入上式，就可以得到一个关于的一维非线性方程，可用数值迭代法求解。

（2）位置方程式降维后数值求解

有些机构在给出环方程后，可以通过消元法使未知数的个数减少，最后变成一维迭代数值求解问题。下面给出一个六杆机构的例子，说明求解过程。(Ⅰ)(Ⅱ)图2.6六杆机构2.2.2用型转化法数值迭代求解

以上介绍的方法对不同的机构都必须进行公式推导，因此不具有通用性。

型转化法：把一个复杂的杆组通过转化变成多个简单的构件或二杆组。然后直接调用求解二杆组的标准程序求解，非常适用于计算机求解各种平面低副连杆机构，求解过程具有通用性。下面通过具体例子说明该方法的应用。如图所示为一六杆组，A、B、C、D为与原动件或与机架相联的铰链为外铰（外副），用实心圆表示。外铰上的约束称为外约束。图2.7六杆组

在上图a所示的杆组中，把外副D上的一个约束(xD或yD)解除，如图b所示，而在内部运动链中选一个内约束(XE或yE)，虚拟为已知。于是杆组分解成如图c所示的2个单构件和2个二杆组，可直接求解。

即：用假设的XE，通过RRR二级杆组可求出F、G值，再通过RRR二级杆组求出H、I值，再计算出XD值，将该值与原始的XD值比较修正，直到满足要求为止，整个过程是一个