吉林省长春市养正高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

吉林省长春市养正高级中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷一、单选题1．已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（

）A． B． C． D．2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．4．已知一条直线截圆所得的弦长为定值，则该定值为（

）A． B． C． D．5．已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（

）A． B． C． D．6．已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．7．方程所表示的图形是（

）A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆8．设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知直线，则（

）A．的倾斜角为B．在轴上的截距为C．原点到的距离为1D．与坐标轴围成的三角形的面积为210．圆和圆的交点为，，则（

）A．直线的方程为B．线段的垂直平分线方程为C．弦的长为D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为11．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与椭圆交于两点.若，且，则下列说法正确的是（

）A．椭圆的离心率B．C．直线的方程为（为椭圆的半焦距）D．的面积为三、填空题12．已知圆的方程是，则这个圆的半径是____________.13．已知点在以为圆心，半径为6的圆上，，若点在线段上且满足点到，两点的距离相等，则点的轨迹方程为______.14．已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，且，则P到x轴的距离为______．四、解答题15．已知的三个顶点分别为，，，求：(1)边所在直线的方程；(2)边的垂直平分线的方程；16．已知圆C的方程为(1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程；(2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长.17．已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程.18．已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点．(1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程；(2)设点是上第一象限内的点，，求x的值．19．已知在平面直角坐标系内，三角形的两个顶点，，且三角形的周长为.(1)求平面内动点的轨迹方程；(2)过点的直线与动点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程.

1．B【详解】设两平行线间的距离为，则.故选：B2．D【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以.解得.故选：3．B【详解】由于为双曲线的右焦点，故，所以，故渐近线方程为，故选：B4．A【详解】由可得，令，解得或，故动圆恒过两个定点，故定弦长为.故选：A.5．B【详解】将代入椭圆方程得，整理得，由，得，代入上式，，因此，点和的坐标分别为和，弦长为，由已知，有，，离心率，其中，代入，因此：.故选：B

6．D【详解】由于是等边三角形，故,由于通径长，所以，故，进而，故，即，故，故选：D

7．D【详解】由于，故或，当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的右半圆，当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的左半圆，故选：D8．C【详解】由椭圆，可得，设，由，可得，因为椭圆的离心率为，可得，解得，又因为，可得.故选：C.9．ABC【详解】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确；选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确；选项C：原点到的距离为，故选项C正确；选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误.故选：ABC.10．ABD【详解】对于A选项：圆和圆，将两圆的方程作差得，即，所以直线的方程为，故A正确；对于B选项：圆即，圆心，半径，圆即，圆心，直线的斜率为，即线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，即，故B正确；对于C选项：到直线的距离，可得弦的长为，故C错误；对于D选项：P到直线的距离的最大值为，故D正确．故选：ABD．

11．ABC【详解】因，则，又，且，则为等腰直角三角形，且，，在中得，故，则A正确；由对称性可知，直线的斜率，则直线的方程为，故B，C正确；设，则，则在中，由勾股定理得，得，则的面积为，故D错误.故选：ABC

12．3【详解】圆的方程化为：，所以圆的半径为3.故答案为：313．【详解】由题意，可作图如下，因为点到，两点的距离相等，即，所以，则点的轨迹为以定点，为焦点的椭圆，其中，，解得，故其轨迹方程为.故答案为：14．3【详解】由双曲线C的方程：，得，所以.设点，则，化简得：，即，解得：（增根已舍去），所以.所以P到x轴的距离为.故答案为：.

15．(1)(2)【详解】（1），，由两点式方程公式得，整理得，边所在直线方程为：，即．（2），由斜率公式得，设边中点为，则，线段的中点为，设过点且垂直于直线的直线为，l的斜率为，则即为边的垂直平分线，，解得，直线的方程为，一般式为：．边的垂直平分线的方程为：．16．(1)(2)【详解】（1）由题意得圆C的标准方程为：，所以圆心坐标为，由直线的点斜式方程可得直线方程为，即；（2）圆心到直线的距离为，所以弦AB的长为.17．(1)(2)或【详解】（1）由题可知，，，又，且，解得，，则椭圆的方程为.（2）法一：①当直线斜率为0时，，不符合题意.②当直线斜率不为0时，设直线方程为，联立，得，，设，则.由题意，，即，解得.故直线的方程为：或.法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意.②设直线方程为，联立，得，，设，则，由，得，即，解得.故直线的方程为或.18．(1)顶点坐标为，；焦点坐标，；离心率为；渐近线方程(2)【详解】（1）由题意得，可得，，，故顶点坐标为，，焦点坐标，，离心率为，渐近线为；（2）设，则，点Q在第一象限，，且，，，解得，．19．(1)(2)或.【详解】（1）由题意知，，，所以动点的轨迹是以，