解析几何（解析版）

题型01直线与圆及圆与圆的位置关系 1 27 48 题型01直线与圆及圆与圆的位置关系A.2.5πB.2.25πC.3πA.1A.7B.5C.=5+2=7.A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【详解】若点M(2,1)在圆O外，则(2-1)²+1²>r²,所以0<r²<2.若点N(0,2)在圆O外，则(0-1)²+2²>DD22A.0B.1C.A.√3B.2C.2√3即(z-1)²+y²=4,圆心为C(1,0),半径γ=2,设B,所以AC⊥AP,BC⊥BP,AP=BP,IAC|=|BC|=34410.(2026-河北·二模)若圆M:(x+1)²+(y+3)²=r²(r>0)上存在两点A,B,且直线l:3x+4y-5=0上存在点P,使得∠APB=60°,则r的取值范围是()A.[0,4]B.(4,+∞)C.[0,2]D.(3x+4y-5=0的距离d≤2r,由点直线的距离公式代入列不等式求解即可.【详解】圆M:(x+1)²+(y+3)²=r²(r>0)的圆心坐标M(-1,-3),半径为r,此时圆心M(-1,-3)到直线l:3u+4y-5=0的距离为,若在圆M上存在两点A,B,在直线l上存在一点x+y+1=0上的动点，则PM·PN的最小值为()A.2√2-√5B.2√2+√5C.5-4√2【分析】取MIN的中点E,利用平面向量的基本定理和数量积得到PM·径n1,利用点到直线的距离公式来求出PEn,从而得到(PNi-PN)minPM·PN=(PE+EM)·(PB+EN)=(PE-ME)·(PB+EN)=(PB点E的轨迹是以C(1,2)为(2√2-1)²-4=5-4√2,故选项C正确.A.点P到直线MN的距离的最大值为C.过点N作圆O的两条切线，切点分别为A,oB,则直线AB的方程为y=-1两圆位置关系来判断B,根据切线的性质求得两圆相交弦所在直线方程来判断C,设存在定点Q(0,t【详解】对于A,原点O到直线MN:4x+3y+12=0的距离为,所以圆O:x²+y²=4上动对于C,过点N(0,-4)作圆O的两条切线，切点分别为A,该圆的方程为x²+(y+2)²=4,则直线AB的方程为两圆的相交弦，=2√z²+(y-t)²,化简可得zx²+(y+4²=4z²+4(y-t)²,因为x²+y²=4,所以t=-1,即点Q(0,-1),所以2|PM|+|PN|=2(PM|+|PQI)≥2|MQ|=2√(-3-0²+(0+1)²=2√10,当且仅当M5A.直线x-my+4=0必过点(-4,0)B.点M在圆(x+2)²+(y-1)²=5上C.点M到直线y=x-3距离最小值为3√2D.点M的轨迹与圆x²+(y+3)²=5有三条公切线【详解】对A:将(-4,0)代入x-my+4=0,可得-4-m×0+4=0,故直线x-my+4=0必过点(-4,0),+(y+3)²=5的圆心为D(0,-3),半径r₂=√5,则CDA.圆心C的轨迹方程为2x-y-2=0D.当m=2时，四边形PACB的面积的最小值为5√3对于B选项，圆C的方程可化为x2+y2+x+2y-1m-2x+1=0，令当m=2时，x2+y+22=5，圆心C0,-2，半径r=，圆心C0,-2到直线2x+y-8=0的距离d=对于D选项，S四边形PACB=PA⋅AC=PA≥×=5，所以D选项正确.2+y+12=2a+2的半径为2，则()A.a=2C.圆x2+y2+4x-6y-36=0与圆C有且仅有1条公切线D.直线y=x与圆C交于A,B两点，△ABC的面积为2及圆的弦长公式即可求解D.【详解】C:x-a2+y+12=2a+2的圆心和半径分别为Ca,-1,r=2a+2,故r=2a+2=2，则a=1，A错误，由于0-a2+0+12=a2+1=2<4，故原点在圆内，B正确，x2+y2+4x-6y-36=0的圆心和半径分别为D-2,3,R=7,由于CD=a+22+-1-32=5=R-C1,-1到直线y=x的距离为d=1+1=2，则AB=2r2-d2=22，2+12B.若圆M上的点关于直线l的对称点仍在圆M上，则k=-1D.直线l被圆M截得的弦长的最小值为-k-1=0⇒k=-1，B正确.对于选项C，直线与圆相切时圆心到直线距离d=r，d=|k⋅1-2-2k+1|=k2+1|-k-1|k2+1|-k-1|k2+1-2k=0.由点到直线距离公式得d=∣-2ky2-2k=0.由点到直线距离公式得d=∣-2ky2k2+k2+C【答案】-,+∞2+故圆心(2,3)到直线l的距离d≤2，距离公式：d=2k-3+2=2k-1≤2.k2+1k2+12≤4(k2+1)2-4k+1≤4k2+4.整理得：k≥-.20.(2026·黑龙江哈尔滨·二模)已知A，B是圆O:x2+y2=4上两点，若直线x+y-4=0上存在点x+y-4=0上的点到圆心O的距离≤4，从而求出x0的取值范围. 【详解】点O(0,0)到直线x+y-4=则M·MC的最小值为_的取值范围为[0,4].与圆C:(x-1)²+(y-2)²=6相交于M,N两点，后利用数形结合思想即可求解.【详解】由直线方程mx-y-2m+1=0可化为m(x-2)-(y-1)=0,知直线恒过定点P(2,1);圆C:(x-1)²+(y-2)²=设弦MN的中点为H,则CH⊥MN,从而MH⊥HC,题型02椭圆性质及直线与椭圆位置关系的离心率为,F,F₂,分别为其左、右焦点，点P为椭圆E短轴的一个端点，且△PF₁F的面积为2,则椭圆E的方程为()B,得,即a=√5c,又因为a²=b²+c²,所以b=2c,又点P为椭圆短轴顶点，则SAPRB=bc=2,解得b=2,所以a=√b²+c²=√5,即椭圆E的方程为23.(2026-河北衡水·二模)已知直线l与圆x²+y²=12交于两点A,B,直线l与椭圆切于点P,若以A,B两点为切点的圆的两条切线交于点Q,0为坐标原点，则OP·oQ=A.4B.8再利用数量积的坐标公式计算即可得.原点，过F₂的直线与C交于A,B两点，若A|B|=a,SAABR=3SAo,则C的离心率为()cos∠AF₂F₁结合余弦定理化简即可求解.FF即-2+2c22=2+2c22c25即-2+2c22=2+2c22c25,FFA.B.C.D.,FF,PF2成等比数列得PF12+PF22=4a2-,FF,PF2成等比数列，故FF=PF1PF22=PF1PF22所以PF12+PF22=x+c2+y2+x-c2+y2=2x2+y2+2c2=+2c2②,联立①②得：4a2-26.(2026·安徽芜湖·二模)有公共焦点F的抛物2-125-12A.B.C.22-125-12A.B.令F(c,O)(c>0),此时有xM=⑧x=c,又抛物线²=2px(p>0)的焦点为所以(c²-a²)(a²-c²)+4c²a²=0,即a⁴-6a令t=e²,t∈(0,1),则t²-6t+1=0,即e²=3-2√2=(√2)²-2√2+1²=(√2-1)²,27.(2026·广东茂名·二模)已知椭圆C:(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P(不同于B),若△POB(O为原点)为正三角形，则C的离28.(多选)(2026·云南昆明·二模)若曲线T由半圆x²+y²=1(x≤0)B.|AC|+|AD|的最大值为3√2C.存在t∈R,使得四边形ABCD是平行四边形D.△ABC面积的最大值为=√2-1=1,所以C(1,0),D(-1,0)是椭圆的焦点，t29.(多选)(2026·西藏拉萨·二模)已知椭圆的离心率为,长半轴长为2,F为C的右焦点，线段AB是椭圆与y轴垂直的一条弦(其中点A在第一象限).P,Q分别A.椭圆C的方程为C.|AE|的取值范围是D.△OPF的内切圆的半径的取值范围为设△OPF的内切圆半径为r,则A.直线BG的斜率等于直线BE的斜率的4倍D.四边形AEBG的面积最大值是BP四边形AEBG=S矩形AGOE+S△BOG+S△BOE，从而可得S四边形AEBG=2x0y0，即可得SAEBG=4xy=-2x-12+2，借助二次函数性质计算即可得解.可得8k2+1x2+8ky0x+2y-2=0，Δ>0恒成立，则xQ-x0=，故xQ=+x0==，则yQ=2k⋅+y0=+y0，故=-x0,+y0-y0=,，又=-2x0,-2y0，则⋅=-2x0⋅-2y0⋅==>0可得k2+2x2-2k2x0x+k2x-4=0，Δ>0恒成立，则xP-x0=，故xP=+x0=，则yP=-x0=，则=+x0-x0,-y0=,-y0，又=-2x0,-2y0，则⋅=-2x0⋅-2y0⋅+2y=-AB.|PA|的最小值为C.|PQl+|PF|=2D.存在点A,使得∠QPF=90°32.(2026四川泸州二模)已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F₂,上顶点为A,直线AF与C的另一个交点为B,若|AB|=|BF|,则的值为.果.33.(2026·重庆九龙坡·二模)已知椭圆的左、右焦点分别为F₁,F₂,点P在椭圆上且在x轴上方.若△PFE₂的面积为12,则直线PF₂的斜率为_所以|FE|=2c=6,右焦点F₂(3,0),设P(x,y),P在x轴上方故y>0,34.(2026山西吕梁二模)已知椭圆C:的左、右焦点分别为F₁,F₂,过点F₂的直线交C于A,B两点，若|AF₂|=2|FB|,|AB|=|BF|,则椭圆C的方程为【答案】所以3×1=a²,即a²=3,a²-1=2。因此椭圆C的方程为 若椭圆C上存在不同的两点A,B,使得FA=AEB,则λ的取值范围是 坐标x2满足-a≤x₂≤a,得到不等式即可求得结果.由题意得RA=ABB,即(x₁+c整理得-22(λ+1)cx₂=a²(1-λ²)-c²(λ+1)²,当λ=0时，得0=a²-c²,显然不符合条件；当λ=-1时，得0=0,符合条件；≤≤36.(2026-江苏二模)已知椭圆(的右焦点为F(2,0),经过坐标原点O且MN为直径的圆经过点O,则C的离心率的取值范围≥5,根据a²-b²=4代入解不等式可得,进而可得离心率的取值范围.4-b²>0,所以a²>4,b²<4,又因为a²-b²=4,所以4<a²<8,为椭圆上一37(2026重庆渝中二模)已知椭圆C的左、右焦点分别为F(-1,0),E(1,0),为椭圆上一时l的方程.【分析】(1)本问利用椭圆的定义求出a 从而求出直线方程. ,根据椭圆的定义可得|QFl+IQE₂|=2a=4,所以a=2,(2)(2)设直线AB为x=my+√3,A(xi,y1),B(T₂,y2),则△=108m²+12(3m²+4)=14m²+48, 38.(2026-浙江宁波·二模)已知椭圆C:(a>b>0)的焦距为2,且离心率为(2)已知P(-2,0),直线l过点Q(1,0)(直线l不与x轴重合),交椭圆于A,B两点.直线PA交椭圆于另一点C,直线PB交椭圆于另一点D,连接CD交x轴于T.(ii)求点T到直线l距离的取值范围.2=b2+c2因此椭圆C:+y2=1；+2y2+2my-1=0，所以y1+y2=-，y1⋅y2=-，记n=，则直线PA:y=nx+2，由，可得2n2+1x2+8n2x+24n2-1=0，C====，故xC=-，代入直线y=x+2，可得yC=，同理：xD=-，yD=因此kCD==进而+t⋅=+t⋅,化简可得：-7x2-x1=5x1-x2tx1≠x2，因此t=-，即T-,0，则TQ=1+=，不妨取A-1,，此时AB:y=-x-1，即x+4y-=0，此时T-,0到AB的距离为+=1a>b>0的离心率是椭圆C2:+33:y=kx+mm≠0与C2交于E，F两点，与C1相切于点P.2x24x232x24x23=1+EFMNEFMN+-2=1-，332x242x24=1.x23+y=kx+m,+y2=1,得3k2+1x2+6kmx+3m2-3=y=kx+m,所以Δ1=36k2m2-123k2+1m2-1=0，化简得m2=3k2+1.,所以yP=kxP+m=m2m-3k2==-3km1m,所以yP=kxP+m=m2m-3k2==-3km1m即P-,.设Ex1,y1，Fx2,y2.联立2,,得2k2+1x2+4kmx+2m2-4=0，所以Δ2=16k2m2-82k2+1m2-2>0，化简得m2<4k2+2，x1+x2=-2km2+1y2=k⋅x1x2+m=x1+x2=-2km2+1y2=k⋅x1x2+m=y1m2k2+1，=-2km-3k2k2+1,m2k2+1,=-2km-3k2k2+1,m2k2+1,:y=1或y=-1MN为C2所以EF<MN；(2)设A为椭圆C的右顶点，不过点A的直线l与椭圆C相交于不同的两点P、Q,直线AP、AQ分别交y轴于M、N,若OM·ON=-1,△OPQ的面积为(2)x-y+2=0或x+y+2=0.化简即可求解.=5.从而a²=b²+4=9.故椭圆C的标准方程为：设直线l的方程为x=ty+m(斜率必不为0)所以直线l必定恒过左焦点F₁(-2,0)此时直线方程为x=ty-2判别式△=400t²-4(5t²+9)(-25)=900(t²+1)>0恒成立由于直线l的x轴截距为m=-2,△OPQ以原点到x轴交点的线段长度|m|=2解得t=±1.41.(2026·北京东城·二模)已知椭圆W:的右焦点为(V3,0),且经过点共线.所以椭圆W的方程为+y2=1.直线MT满足=，即直线MT的方程为y=x+t；直线NT满足=，即直线NT的方程为y=-x+t；直线AT满足=，即直线AT方程为y=-x-2，-2，化简得1+t2x2-4t2x+4t2-4=0.1+t2R1+t2，由韦达定理得xA+xR=4t21+t2R1+t2，代入y=-x-2得yR=，所以R,.直线PR的斜率kPR==t≠01+t2-t-1当t=0时，直线MT：y=x，P-2,-1；直线NT：y=-x，Q-2,限内T上的动点，直线PF₂交Ⅱ于点Q2已知存在点P,使得P|B=2|EQ2l,△Q₂FF2的面积为2.(2)设直线PF交T于点Q₁,记ri、r₂分别为△PFQ₂、△PFQ₁的内切圆半径，求r②由于|PE|=2F₂Q2|,那么2a-n=直线PF₂方程为,则直线PF方程为x=ty+√5,题型03双曲线性质及直线与双曲线位置关系A.√3B.2则△PFE₂的面积为,周长为,则C的离心率为44.(2026-河北张家口·二模)已知抛物线C:y²=2px(p>0)与双曲线的渐近线的交点分别为O,A,B,其中O为坐标原点，若△AOB的面积为16,P为C与E在第一象限内的一A.15+6√5B.17+8√5C.17+6√5不妨设A(2p,2p),B(2p,-2p),又△AOB的面积为16,则,解得p=2,联立整理得x²—4x-1=0,解得x45.(2026·山西朔州·二模)已知双曲线C:x²+my²=1的实轴和虚轴的长度相等，C的左、右顶点分别为A,B,P为C上位于第一象限内的一点，设∠PAB=a,∠PBA=β,则△PAB的面积为B是双曲线上的两点，,,则双曲线的离心率为()焦点F的直线l与它的右支交于P、Q两点，PF₁与y轴相交于点A,△PAF的内切圆与边AFA.24B.25C.48=2|AB|=2a,解得a=5,设两内切圆半径分别为r1,r2,PF₁、PF₂、F₁F与圆O₁分别相切于点R,S,T,由切线长定理得|PF|-|PF₂=|PR|+|RE|-(|PS|+|SE横坐标为a,同理可求得O₂的横坐标为a,则|TF₂|=c-a=7-5=2,设直线PQ的倾斜角为θ,则支上有一点A,满足AF的垂直平分线与右支交于点B,且直线AB过右焦点F₂,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,√3)B.(√3,+∞)C.(1,√5)AF的垂直平分线与右支交于点B且直线AB过点F₂,等价于直线AF₂与双曲线右支交于另一点B,49.(2026·新疆·二模)圆锥曲线具有丰富的光学性质，如双曲线的一个光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可知，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知F₁,F₂是双曲线C:-y²=1的左、右焦点，过双曲线C右支上一点M(m,n)(m>√3)作直线l交x轴于点,过点F作F₁H⊥MT,垂足A.1合双曲线定义求解.由消去y并整理得x²-2mx+m²=0,则△=4m²-4m²=0,50.(多选)(2026-河南开封·二模)已知双曲线C:(a>0,b>0)的渐近线与圆A:m²+于M,N两点，则()A.C的离心率为2B.C的渐近线方程为y=±√3x对于,故A正确.对于B:b=√c²-a²=√3a,所以渐近线方程为,故B正确.对于C:F(-c,0),F₂(c,0),因为BF₂⊥FE₂,所以点B的横坐标为c,,故C错误.直线BR方程为,即3m-4y+12=0.圆心A到直线BF的距离|4Ql42=,故D正确.=3-12=，由垂径定理可得，MN=2r2-AQ2=21-42=,故D正确.CA.OP>ABB.PA⋅PB=C.5S△PAB=4S△PMND.MN≥10≥2:x+2y=0，则PA=x0-y0,PB=x0+y0，则PA⋅PB=x0-y0⋅x0+y0=x4y=，故B正直线PA:y=-2x-x0+y0，直线PB:y=2x-x0+y0，联立+y0，得B4x02y0,-2x+y0，16x+y2x0+y0-2x0+y0-54x052=2+16x+y2x0+y0-2x0+y0-54x052=2+又OP2=x+y，所以OP>AB，故A正确；直线PM:y=-x-x0+y0，直线PN:y=x-x0+y0，联立=--x0+y0，得Mx02y0,x02y0，5x0+2y025x0-2y02-x0+2y04则OM=x02y025x0+2y025x0-2y02-x0+2y04设∠MON=2θ,因为tanθ=设∠MON=2θ,因为tanθ=1-tan2θ1-3，4491+=91+=5x0-2y024OM⋅ONsin5x0-2y024OM⋅ONsin∠2θ=所以S△PMN=S△OMN==x-4y=4=1=x-4y=4=15sinπ-2θ=sin2θ=PA⋅PBsin∠APB=△PAB=582x0+2y0-x0+2y0-424+4=4y+x2x0+2y0-x0+2y0-424+4=4y+x52.(多选)(2026·江西·二模)在平面直角坐标系xOy中，点F₁,F₂分别为双曲线C:>0,b>0)的左、右焦点，点A(-1,0),C经过点(一√2,√3),其一条渐近线经过点(1,√3),第一象限内的点P在C上，则()A.C的方程为B.点P到C的两渐近线的距离之积为特殊值验证可得；当x≠2时由正切二倍角公式可得∠PFA=2∠PAE₂可判断C;利用向量关系表心的性质结合双曲线的定义可得D.所又∠PBA.PAS=(07),所以∠PA=FP|=√(x₀-2)²+3B=√z—4x+4+3xB-3=2r₀-1,FA=(-3,0),FQ由①②,得x²+y²=a²相切于点A,与C的一个交点为P,则()A.l与C一定有两个交点B.点A在C的一条渐近线上双曲线定义可得|PF|=2a,|PF|=4a,结合勾股定理运算求解；对于D:根据题意可得|FP|=3=4b,即可得面积.对于选项C:设双曲线的另一个焦点为F,C.点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3项.对于A:点M(2,3)代入双曲线方程得左边,故B正确.,点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为,点P到双曲线C的两条渐近线的距则⑥,得到,所以②,由①-②得到P的两个点均可满足点P与两点连线斜率之积为的斜率之积为定值,故D正确.的右顶点为A,点B(3a,0).若在C的渐近线上存在点M,使得M4MB=0,则C的离心率的取值范围是.由题意知该关于m,即CD:(x-2a)²+y²=a²上.,即C的离心率的取值范围为56.(2026·福建莆田·二模)已知双曲线的左顶点为A,右焦点为F,过F的直线l交C于M,N两点.若MN|=18的外接圆的半径为【答案】9【详解】由题意可知，,易知直线1的斜率不为0,设直线1=(my₁+2)(my₂+2)+(my₁+2)+(my₂+【答案】-2或2),所以直线的斜率为-2,结合双曲线对称性可知，直线MF₂58.(2026·河北邢台·二模)已知0为坐标原点，双曲线的左焦点为F,离心率为过F且斜率为的直线交C的左支于两点，P为线段MF的足经过点,其渐近线方程为(2)过点P(1-1)的直线l与双曲线C相交于两点，P能否是线段AB的中点?请说明理由.,即此时直线AB的斜率为k=-2,于是直线Ay=-2x+1.联立,消元得2x²-4x+3=0,△=(-4)²-4×2×3=-8<0,所60.(2026-河南开封·二模)等轴双曲线经过点(2)已知圆心在轴的圆经过原点，且与双曲线I相交于四点线AC与圆x²+y²=1相切.因为双曲线方程为x²-y²=2,所以x²=y²+2,x²=y²+2x2y²+x²v2²-2x₁x₂Y₁y₂=(y²+2)v²+(y²+2)v²-2x₁x₂=2(y²+y2有唯一公共点M,过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于(1)如果m=2,求实数k的取值集合；①求出点P(s,t)的轨迹方程；的最大值并求出对应的s的值.故实数k的取值集合为故实数k的取值集合为由唯一公共点且k≠±2,得△=0,化简得为为将s²-4t²=25(s≠0,t≠0)P(s,t)的轨迹方程.当v≤0时原式小于0,故最大值仅在V>0时取得，的一条渐近线的倾斜角为T(2,-3)在双曲线C上.点M为双曲线C右支上除右顶点外的任意点.(3)已知C的左顶点A和右焦点F,直线AM与直线相交于点.试问是否存在常数(3)存在λ=2(2)设出点M的坐标为(x₀,y%),3x-y%=3,利用点到直线距离公式得到点(2)设点M(2)设点M的坐标为别为√3x-y=0,√3x+y=0,则点M到两条渐近线的距离分别为别为则值.(3)存在λ=2.①当x。=2MF|=|AF|=3.因为直线MF的斜率与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6.整理得,可得3t²-1≠0以及,所以解得或0,所以直线BC的方程为3x-√7y-6=0或3x+√7y-6=0或x=2故可设直线l方程为则有3-k²≠0且△=-9k²-24k+84>0,以及4x₁x₂-(2x₀+1)(x₁+x₂题型04抛物线性质及直线与抛物线位置关系A,使得|CF|=|AF|,且△ACF的面积为2,则P=().若W上存在点A.1B.2设A.B.如何反射光线.这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用.其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛物线上一点(不同于抛物线的顶点)反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.若抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,从F发出的光线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点B.√367.(2026·甘肃酒泉·二模)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，点在抛物线C上，且P(4,m)PF|=6.过焦点F在抛物线C上，且A.8B.12可求解.【详解】故抛物线方程为y²=8x,焦点为B(x₂,因此|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+68.(2026-湖南怀化·二模)已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点(点A在第一象限),若直线AB的斜率为69.(2026·浙江温州·二模)已知O为坐标原点，直线l与x轴交B即可.则代入韦达定理得²+y2²=(v₁+v₂)²-2yV₂=16m²+16=16(m²+1)两点，由70.(2026·辽宁盘锦·二模)已知直线1过抛物线y²=4x的焦点F,且交抛物线于P,ΩP,Q分别向准线引垂线PR,QS,垂足分别为R,S.设两点，由 71.(多选)(2026·黑龙江哈尔滨·二模)已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点，分别过A,B作准线l的垂线，垂足分别为A,B,则下列说法正确的是A.当直线AB垂直于x轴，且AB|=4时，则抛物线方程为y²=4xC.存在直线AB,使得以线段AB为直径的圆过原点,得P=2,故抛物线方程为A正确；设故Y₁y₂=2pmx₁+x₂=m(y+y₂)+则72.(多选)(2026·安徽淮北·二模)已知抛物线x²=2py的焦点为F(0,1),过点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点(A在第一象限),设A,B在抛物线准线上的射影分别为A.P=2C.DFAA为正三角形D.□FA₁B₁为直角三角形73.(多选)(2026·广东佛山·二模)在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l交抛物线于A(x,y),B(x₂,y₂)两点，交x轴于点(m.0)(m>0),则()A.|AB|>4√2C.Y₁,Y2的等差中项是2D.m是×,X2的等比中项比中项的概念由韦达定理可判断CD.则△>0,x+x₂=2m+4,xx₂=m²,对于B,OA·OB=(x₁,y₁)C:x²=2py(p>0),0为坐标原点，过点M(1,1)作斜率 C.当0,A,D,B四点共圆时，k=-1D.点P落在定直线x-2y-2=0上【分析】根据条件求出点D的坐标，代入抛物线方程，即可求解判定A,联立直线与抛物线方程，由韦达定理得x₁+x₂=4k,x₁·x₂=4k-4,根据已知条件判定B,C,根据条件求出P的横坐标,再结合韦达定理计算判定D.所以D(4,4),代入抛物线得到16=8p,解得P=2,A选项正确；所以抛物线C的方程为x²=4V,设直线1方程为=k(x-1)联立所以k=1或k<0,即得k=-3,所以直线1的方程为3x+y-4=0,B选项错误；整理得到k²=1,又k<0,所以k=-1,故直线1的方程为,得到直线,得到直线,C选项正确；直线,联立方程B.△APD的内心在定直线上进而判断A,联立方程组结合韦达定理得到kAP+kpp=0,最后结合内心的性质积判断D即可.,由诱导公式得sin∠AFP=sin(π-∠AFP)=sin∠AFG,由x-my+1=0的距离为d,由点到直线的距离公式得则,故D正确.76.(2026-河南开封·二模)抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,A为C的准线与x轴的交点，【详解】的焦点,准线方程为,因此准线与x轴交点||,解得正根(抛物线横坐标非负)77.(2026-新疆·二模)已知F为抛物线C:y²=4x的焦点，直线x=t与C交于A,B两点，直线AF与C的另一个交点为D,直线BF与C的另一个交点为E,若△ABF与□DEF的面积之比为9:1,则t=.得,整理得tb²-(²+1)x+1=0,设D(x₂,y₂),可得2两点(P在第一象限),若△PME的面积为【详解】由题意，,设P(xp,y),Q(x2,yo则直线1的方程为y=-2x+2,代入y²=2x.整理得2x²-5x+2=0,解得所以x₀=2,所以79.(2026-江苏·二模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线P(1,1)在C上，以P为圆心的圆与1相切且截轴所得的弦长为【详解】t²=2p×1=2p,以P为圆心的圆与1相切，设圆的半径为r,则,又∵圆与l相均在x轴上方，F为抛物线的焦点，若|FB|=3|FA|,且∠AFB是锐角，则直线1的斜率的取值范围是【答案】作AM⊥BB₁于点M,借助抛物线定义结合锐角性质可得,再利用斜率与倾斜角的关系计算即可得.,所以直线的斜率的取值范围为上任意不上任意不(2)若直线MN过点F且DOMN的面积为4,求MN的方程.(2)三角形的面积可以用弦长公式和点到直线的距离公式表示底和高.【详解】(1)设点M(x₁,y),N(x₂,y₂),因为抛物线C:y²=2px,(p>0),当直线MN过点,所以P=2,所以方程为y²=4x(2)由(1)可知F(1,0),设直线MN方程为x=my+1,联立又点0到直线MN距离1,C的交点分别为P,Q,且|FP|=|FQ的值.x=ty+4y²-4ty-1x=ty+4y²-4ty-1,再列方程结合弦长公式求值.设准线为l与x轴交于点,且P的纵坐标为PN|=2,所以P=2;所以AD|·|BD|=(1+t²)×|-16|=24,由韦达定理得V₃+y₄(2)解法一：由y²-8my-16=0,△=64m²+64>0,Y₁+y₂=8m,Y₁原点0到直线x-my-2=0的距离为B(x₂,y₂)y²-8my-16=0,△=64m84.(2026·江西赣州·二模)已知点A与A'(3,0)关于直线y=x-1对称，点A在抛物线C:y²=2px(p>0)上，点F是抛物线C的焦点.(2)直线AF与抛物线的另一个交点为B,直线与直线AB交于点P(异于A、B),与抛物线交于点D,连接DF并延长，交抛物线于点E,直线PE与x轴相交于点G,直线l与直线BE相交于点Q,线段BD的中点为M,线段QF的中点为N.【答案】(1)²=4x,联立,得则yDYE=-4,则,因为线段QF的中点为N,所以,即 而则N,则点N的轨迹为()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分令面内一点，记点P到1,2的距离分别为d,d2,则下列条件中能使点P的轨迹为椭圆的是A.PA|+|PB|=2aB.PA²+|PBP=4a²C.a²+d2=4a²可知点P的轨迹为垂直于x可知点P的轨迹为垂直于x轴的线段；y=-2a√a²+1,此时结合约束条件-2√a²+1≤x<2√a²+1可知点P的轨迹为垂 ③当ax-y<0且ax+y<0 x=-2√a²+1,此时结合约束条件-2a√a²+1<y<2a√a²+1可知点P④当ax-y<0且ax+y≥0,即y=2a√a²+1,此时结合约束条件-2√a²+1≤x<2√a²+1可知点P的轨迹为垂直于轴的线段；87.(多选)(2026安徽滁州二模)已知两条直线mx+y-2=0和x-my+4=0(m∈R)交于点M,则C.点M到直线V=x-3距离最小值为3√2D.点M的轨迹与圆x²+(y+3)²=5有三条公切线的距离相等，则()A.曲线C的轨迹方程为y²=4xB.已知点T(3,2)的最小值为4N(-1,0)C.过点恰有2条直线与曲线C有且只有一个公共点N(-1,0)E四点围成的四边形的面积为8确；对于D,直线x=-1交圆x²+y²=5于的距离为,当且仅当N(-1,0)N(-1,0)曲线仅有一个公共点的直线方程为,消去×得共点的直线有3条，故C错误.A.9关于x轴、轴、原点0都对称B.2上的点到原点0的距离的最大值为1y。的范围.双曲线E方程有,整理得Q的轨迹Ω的方程为且,对于A,无论是把×替换为一x,还是把替换为，或者Ω的方程及限制条件都不变，所以Ω关于x轴、轴、原点0都对称，A正确；对于B,由前述分析所以到点和点的距离之差不可能大于2,C错误；对于D,所以到点和点的距离之差不可能大于2,C错误；对于D,设,则由Ω的方程可得90.(多选)(2026安徽合肥二模)已知口c(x+5²+y²=64,p为口C上的任意一点，点4(5,0),A.点的轨迹方程为D.过点C作直线1的垂线，垂足为M(x₀,y。)xo+2yo的最大值为即可得；对C:借助三角形内角和及诱导公式可得,再借助B中所计算即可得解.故A正确；对B:设4在4左侧，由点Ω的轨迹方程为,设故∠则即ko₄=tan(π-∠QA₂A₁)=-tan91.(2026-陕西咸阳·二模)已知抛物线C:y²=2px(p>0)的准线方程为x=-1,A,B是C上不直线x+√3y+c=0的距离为1的点有且仅有3个，则实数C的取值集合为.0),最后利用圆心到直线的距离列式求解即可.的方程与y²-4ty-4b=0,设A(x,x;),B(xz₂,y₂2)△=16t²+16b>0,由OA⊥OB的轨迹是以0M的轨迹是以0M为直径的圆(不含点0),方程为,因为上到直线的距离为1的点有且仅有3个，所以(2,0)到直线x+√3y+c=0不过点0可知，c=-2符合题意.故C的取值集合为线I,点Ω在抛物线C:x²=8y上运动，过点Q作曲线I的切线，切点分别为M,N,则的最小值为.【答案】设MT|=|NT|=2,l²M|=|2N,连接QT,可得四边形MQNT的面积为直角面积的2倍，且,可得当t=0,即Ω与坐标原点重合时，取得最小值3,故93.(2026·辽宁辽阳·二模)已知动点P满足到F(1,0)的距离比到直线l:x+2=0的距离少1,动点P形成的轨迹称为曲线C. 【各案】(1)³²=4xF(1,0)的距离比到直线l:x+2=0的距离少1,可知点P到点联立曲线方程并消去x可得显然△=16m²+16t>0,y₁+y₂=4m,y₁y₂=-41,所以所以AB:x±√21y+1=0:综上，直线4B的方程为x=5或x±√21y+1=094.(2026-福建漳州·二模)△ABC的顶点4(-1,0),B(1,0)的周长为6,记点C的轨迹(1)求I的方程；(3)若△ABC的内角A,B,C满足A-B=2C,求的值.(2)证明见解析【分析】(1)利用椭圆的定义可得答案；(2)设过B(1,0)的直线l,与椭圆联立，利用韦达定理求得x₁x₂,y₁y₂,计算,解方程可得答案.(2)当直线1的斜率不存在时，直线1方程为x=1,当直线1斜率存在时，设其斜率为k,则直线1方程为：y=k(x-1),代入椭圆,得Y₁V₂=k²(x₁-1)(x₂-1)=k²[x₁x₂-(x+x₂)+1].综上：OM·ON<0,对任意动直线1恒成立，故∠MON恒为钝角；由第(1)问，令,则1-2²=2t=2²+21-1=0.解得,因为与直线1:y=kx+m有唯一公共点M,过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于S(s,0)、T(0,t)两点.(1)如果m=2,求实数k的取值集合；②求的最大值并求出对应的s的值.且与垂直的直线方程可由垂直直线斜率关系得出，将坐标代入该直线方程，得到M坐值.与直线1:y=kx+2,代入整理得(4-k²)x²-4x-8=0,由题知直线与双曲线有唯一公共点，由唯一公共点且k≠±2,得△=0,化简得故过M且与¹垂直的直线方程为,分别令=0,x=0,得整理得s²-4t²=25(s≠0,t≠0),即为令u=i²(u>0),v=12u-25,原式当v≤0时原式小于0,故最大值仅在V>0时取得，,由基本不等式96.(2026·山西运城·二模)在平面直角坐标系xOy中，设抛物线C:x²=2py的焦点为F,点 (1)求C的方程.(2)已知动直线lP,Q两个不同的点.(i)若且斜率小于0,证明：以P为直径的圆被轴截得的弦长大于4.(ii)若1不经过点平分∠POQ,求△OPQ的外接圆圆心的轨迹方程.【分析】(1)利用向量的坐标表示，结合向量共线的条件即x₁y₂-x₂y=0,求出P,进而得到抛物线的方(2)(i)设直线方程与抛物线方程联立，用韦达定理表示出P,Q的横坐标和与积，即示出半径,得出以为直径圆的弦长公式,结合k<0的条件进行判断；(ii)利用角平分线的性质，结合三角形外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点的性质，分别求出的直线方程，联立垂直平分线方程，得到圆心坐标的参数式，消除参数即可得到圆心的轨迹方程，需注意排除原点. 坐标为(x₀,yo),则圆心到轴的距离d=|2k|,所以圆N被轴截得的弦长为 ,所以-k>0,则2√4(1+k²)(k²-k+1)-将则直线1的斜率存在.设l的方程为y=x+m,代入x²=4y,M(x,y),线段OP的中点坐标为的垂直平分线的方程为Q的轨迹为C.(2)已知点,且在轴上截得的弦长为8,设动圆圆心C的方程.(2)首先考虑直线1垂直x轴的情况，显然存在为等边三角形.对于直线不与xDN⊥AB,求出N点，进而求出DN.根据抛物线定义及韦达定理求出焦点弦弦长.最后根据建立方程，解出直线1参数.∴动圆圆心的方程为y²=8x满足条件，满足条件，98.(25-26高二下·湖北·月考)已知点D(1,0),圆C:(x+1)²+y²=16,P为圆上的一个动点，线段PD的中垂线与PC交于点Q,当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为曲线I.(2)若过定点T(,1)且斜率存在的直线l与曲线I交于A,B两点，试探究：①在y轴上是否存在定点M,使得直线MA,MB的斜率②若N为平面内一动点，直线NA,NT,NB斜率的倒数成等差数列，则点N是否在某定直线上?若存2a=4,2c=2,所以b²=a²-c²=3,则曲线I的方程为(2)①设直线l的方程为y=kx+1,点A(x,yx),B(x₂,y₂),M(0,m)又Y₁=kx₁+1,y₂=kx₂+1上的动(2)周长最小值为14,面积最大值为程，令该圆方程中y=0,可解出该圆与x轴交点=b=3的周长最小值为而直线CG、CH的方程分别为故故以NM为直径的圆恒经过x轴上的两个定点100.(2026·安徽阜阳·二模)在平面直角坐标系中，已知点,点P满足|PF|+|PF₂|=4√2.记点P的轨迹为曲线C.(ii)根据椭圆的几何意义转化为求的范围求解即可.即(8-m²)k²+2mnk+4-n²=0,则两条切线的斜率即该关于k的方程的根.(ii)若m²+2m²=12,交椭圆C于点M,101.(2026·山西朔州·二模)已知圆A:x²+y²+2x-15=0,过点B(1,0)且不与x轴重合的直线l交(1)求点E的轨迹Ω的方程.(2)设1与Ω交于P,Ω两点，0为坐标原点(i)若△OPQ的面积为,求1的方程；与x轴重合时对应的情形.故点E在以A,B为焦点的椭圆上，且a=2,b设设消去x可得则令因为2¹²-4×27×16<0,所以上单调递增.102.(2026·新疆乌鲁木齐·二模)已知圆心在x轴上移动的圆经过点P(-2,0),且与x轴，轴分别交于两个动点，设动点Q(x,y)的轨迹为E.(i)若AB中点D的坐标为,求点直角三角形射影定理求解即可.将其与y²=2x联立整理得4x²-52x+121=0,所以则4x²-68x+225=0,解得(ii)已知A点纵坐标为1,所以.设直线直线AH方程为：题型06圆锥曲线中的定点、定值问题103.(2026·四川南充·二模)已知一动圆恒过定点()104.(2026·浙江台州·二模)已知点,点P是抛物线C:y²=x上的动点(异于A,B两点),记直线AP的斜率为k₁,直线BP的斜率为k₂,则下列结论正确的是()为定值C.为定值