平面向量三大定理及四心培优归类（解析版）

考点01三角形的重心_ 1 6考点03三角形的内_ 13 26 ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.所以16=b²+c²+bc≥2bc+bc=3bc,故(,当且仅当时等号成立，A.内心B.任意一点C.垂心D.重心由于0是△ABC的外心，设D为线段AB的中点，22故OA+OB=2OD且OD⊥AB,即C所以CP⊥AB,同理BP⊥AC,AP⊥BC,故P是△ABC的垂心.4.(2024·四川南充·三模)点O为△ABC所在平面内一点，若OA·A.内心B.重心C.垂心D.外心同理由5.(25-26高三上·重庆阶段检测)已知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三个点不共线.若BA·BD=BC·BD,则直线BD一定经过三角形ABC的A.垂心B.内心C.重心D.外心344出BA-BC=CA,得到BD⊥CA,从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心.A.x₁=3x₂,y2=3yB.x₂=3x1,y1=3y₂C.x₁+y₁=3(x₂+y₂)D.x₂+y₂=3(x₁+y₁)OP=x₂CA+y₂CB=x₂(OA-=z₂OA+y₂OB+(x₂+32)(OA+OB)=(2xr₂+y₂)OA+(7.(2026-湖北省直辖县级单位·模拟预测)已知G为△ABC的重心，过G的直线与AB,AC边分别交于M,N点，若AB=xAM,AC=yAN,则z²y的最大值为()A.2所以结合x+y=3得x∈[1,2].55所以f(x)在[1,2]上单调递增，f(x)max=f(2)=2²×1=4.A.4B.3当且仅当x=0时，取得t2的最大值8,即得t的最大值2√2. 【详解】A·=4，在三角形的外部.<b.=b2+3c2，c<b，由余弦定理得cosA===-<77=bAB+cAC-(a+b+c)AO,由aOA+bOB+cOC=0,得(a+b+c)AO=bAB+cA.1D.√3,进而可,利取AB的中点为M,连接OM,则OM⊥AB,AO·AB=(xAB+yAC)·AB=xAB²+y|AC||AB|cosA,又AO·AC=(xAB+yAC)·AC=x|AC||AB|cos所以 A.-2B.2因为O为边长为2的等边三角形的外心，99A.(-∞,0)B.(-1,0)求解.C(co,yo),则BC中点为,易知yo≠0,可得3(x3-1)=%,,解得m<0,x0-y0x0+1x0-y0x0+12+0Hx0,-x0y1x0+1.A.-23B.23C.-2D.2由正弦定理，得sinAcosC+3sinAsinC=si2=-，=-，对于D：因为O为△ABC的外心，++=2，则-=-+-=+OC，所以-⋅=+⋅=+⋅-=2-2=0，于D根据已知得-PA=OB+OC，AC,PC⊥AB判断. bb则-=-+-=+，所以-⋅=+⋅=+⋅-=2-2=0，2B=求解.所以O在BC上，BB因为向量BA在向量BC上的投影向量为【答案】出重心坐标结合基本不等式求出|b-c|所以16=b²+c²+bc≥2bc+bc=3bc,故,当且仅当时等号成立，所以AC中垂线所在直线方程为考点03三角形的内心AB=a,AD=6,且DM=1,DN=2,∠MDN=60°.(2)①求|à,的值；②设0为△ADM的内心，若AO=ra+yb(r,y∈R),求的值.(2)①曲(1)知：∴==，== 4∴=λ+=+， ∴y===A()A.B.C.D.ABAB又因为O为三角形内心时，SA=ar，SB=br，SC=cr，由三角形面积S==3t+4t+5tr得r=t，又R==t.故=.A.外心B.内心C.重心D.垂心【详解】AP=λ+故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，,如图所示，设SBIC=S₁,SAAc=S₂,SAAB=S₃,过点D作DE//IC,DF//IB,可得所以,可得A.√6-7B.-2数量积的运算律可得计算结果.同理∴a+b+c=，2=，C.+=233D.若P为△ABC外接圆上任意一点，则++=43向量线性运算法则判断D.AB=4，则BF=AF=2,OF=CF=233，BO在BA方向上的投影向量为BF，所以BO在AB方向上的投影向量的模等于BO在BA方向上的投+=+=2=433，C错误；++=+++++=3+++=3=3OC=3×=0,则C=AA若mIA+nIB+pIC=0,则m:n:p=a:b:c,a,b,c分别为三角形三边BC,AC,AB的长度.因为3IA+4IB+5IC=0,所以a:b:c=3:4:5,28.(专题10三角形“四心”的向量表示与应用【讲】(高三二轮提升)高考关键题型突破)已知点O,P均在①若动点P满足OP=OA+PB+PC,则点P为△ABC的重心；②若动点P满足,则动点P的轨迹一定经过△ABC的内心；垂心.【详解】对于①,因为动点P满足OP=OA+PB+PC,所以AP=PB+PC,则点①正确.①正确.过点A作AD⊥BC,垂足为D,如下图：所以AP⊥BC,所以动点P的轨迹一定经过△ABC的垂心，④正确.故所有正确说法的序号是①②③④.考点04三角形的垂心这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是3sinB=14sinB=7330.(第5讲三角形四心向量可表示)已知O为△ABC所在平面内一点，动点H满足：=+A.外心B.内心C.重心D.垂心令sinB=sinC=k，因为OH=OA+λ2sin2B+2sin2C，所以=sB+sC，等式两边点乘得⋅=+=-+=0，=+λsB+sC，λ∈0,+∞,则P点的轨迹一定通过A.重心B.垂心C.外心D.内心cosC=OA⋅BC+cosC=OA⋅BC+λ+=⋅+λ-+=⋅, tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB等于()A.1:2:3B.1:2:4同理A.1B.2C.3直角三角形ABC中，A=90°,△ABC的内心为G₄,②若△ABC为边长为2的正三角形，则PA·(PB+PC)的最小值为-1;③若△ABC为锐角三角形且外心为P,AP=xAB+yAC且x+2y=1,则AB=BC;④变形得到2AP·BC=(AB+AC)·BC,设E是BC的中点，推理证得EP·BC=0,即得结论.所以AP·AB=AB·AP=AB·(AC+CP)=AB·AC+AB·CP=2+0=2,①正确；则PA=(-m,√3-n),PB=故当故当即BP=(2BA+AC)=y(BA+BC),A.GH=20GB.GA+GB+GC=0C.设BC边的中点为D,则有AH=3ODD.OA=OB=OC考点05奔驰定理的应用即sin2A:sin2B:sin2C=3:4:5B和3MA+4MB+5MC=0得SA,由此得解.理.则以下命题是真命题的有()可得D正确.对于B,记点P到AB,BC,CA的距离分别为h₁,h₂,h₃,即ah₂PA+bh₃PB+chPC=0,又因为aPA+化简可得m²+n²=1,由题意可得m,n,其中,即m+n∈(-√2,-1),因此D正△AOC,△AOB的面积分别为S=0,则以下命题正确的有()若0是△ABC的重心，则OA+OB+OC=0,与30A+4OB+50C=0,所以O不是△ABC的重心.所以SA:SB:Sc=sin∠BOC:sin∠AOC:sin∠CC因为30A+4OB+50C=0,即sin2A:sin2B:sin2C=3:4:5,故C错误.角函数的定义可判断D选项.取线段BC的中点D,连接DM,则MB+MC=(MD+DB)+(MD+DC)=2MD,即12AM=3(AM+MB)+4(AM+MC),即5MA+3MB+4MC=0,又SA·MA+Sg·MB+So·M设BC=3t(t>0),则AC=4t,AB=√7t,则BC²+AB²=AC²,故∠ABC为直角，A.若SA:SB:Sc=1:1:1,则M为△ABC的重心,设MD=1,MF=y,可得32²=2y²,进而可得tan∠ABC=取BC的中点D,则MB+MC=2MD,所以2MD=-MA,同理可得,即,故故tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠BCA设△ABC的外接圆半径为R,故∠BMC=2∠+Sc·MC=0.以下命题正确的有()CCA.若SA:SB:Sc=1:1:1,则M为△ABC的重心取BC的中点D,则MB+MC=2MD,所以2MD=-MA,CCAC·r,设△ABC的外接圆半径为R,故∠BMC=2∠所以SA:SB:Sc=2:√3:1,C错误；一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内SA·MA+Sg·MB+Sc·MC=0.以下命题正确的有()CCA.若SA:SB:Sc=1:1:1,则M为△ABC的重心【分析】对于A,取BC中点D,连接MD,AM,由题意可得2MD=-MA,即有.,Sc=3:4:5,再由三角形的面积公式可得,设MD=1,MF=y所以MA+2MD=0,2MD=-MA,设E,F分别是AB,AC的中点，设内切圆的半径为r,CC所以即BC·MA+AC·MB+AB·MC=0,故B正所以SA:SB:Sc=2:√3:1,故对于D,延长AM交BC于D,延长BM交AC于F,延长CM交AB于E,如图所示：同理可得则AM=3x,BM=2y,,所以3x²=2y²,⑤若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,O为△ABC内的一点且为内心.若AO=xAB+yAC,则x+y的最大值为则正确的命题有(填序号)所以CP=2PE,同理可得2+b1=.又因为a+b+c=，所以=-2-1所以=-2-1=+=3-1=+=-2+4S△PBC--+S△PAC-+S△PAB-+=0，化简得-S△PBC+S△PAC-S△PAB⋅+-S△PBC-S△PAC+S△PAB=0，因为=m+n，则2=m22+2mn⋅+n22，化简得m2+n2=1.则m+n=cosα+sinα=sin，因为<α+<，所以-1≤sin<，即-≤sin<1，∴a=b+C=b-+c-=b+c-b+c，∴a+b+c=b+c，∴x+y==.且仅当b=c时取等号),(当且仅当b=c时取等号),∴x+y的最大值为,故⑤正确.称之为三角形的内角平分线定理，现已知AC=2,BC=3,AB=4且Ai=xAB+yAC,则实数即AD-AB=2(AC-AD),则又因为BC=3,BD=2,且BI为∠ABD的角平分线，所以，又Ai=xAB+yAC,A.1可得AD=yAM+(1-y)AN=2yAB+x(1-c,则总有优美等式SAPBC·PA+SAPAc·PB+SB.若a·PA+b·PB+c·PC=0,则P是△ABC的内心AC,AB的距离分别为h₁,h₂,h₃,结合三角形面积公式可得较可判断C;由三角形外心性质结合三角形面积公式可判断D.代入SAPBo·PA+SAPAc·PB+SAPAB·PC=0就得到对于B,设点P到边BC,AC,AB的距离分别为h₁,h₂,h₃,一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内SA·MA+Sg·MB+Sc·MC=0.以下命题正确的有()CCA.若SA:SB:Sc=1:1:1,则M为△ABC的重心【分析】对于A,取BC中点D,连接MD,AM,由题意可得2MD=-MA,即得,即可判断.设E,F分别是AB,AC的中点，设内切圆的半径为r,CC即BC·MA+AC·MB+AB·MC=0,故B正确；B.若aPA+bPB+cPC=0成立，则P是△,整理得2PA+2PB+PC=0,再根据奔驰定理求解面积比值即可.选项B:若aPA+bPB+cPC=0,结合奔驰定理，由,得圆心角化简得m²+n²=1.故(m+n)²=m²+n²+2mn≤2(m²+n2)即2PA+2PB+PC=0,根据奔驰定理SAPBa:SAPAc:SPAB=2:2:1,A.若AB=BC=CA=2,则O到三边距离之和为定值√3B.若OA+2OB+30C=0,则△D.若OA·OB=OB·OC=OC·OA,则tanA·OA+tanB·OB+tanC·OC=0再用奔驰定理结合三角形的面积计算方法可判断B,C,D.即ha+ha+h₆=√3,故A正确；OB·OC=OA·OC→OC·(OB-OA)=0→O图形与“奔驰”轿车的logo非常相似，该结论如下：如图，已知O是△ABC内部一点，将△BOC、命题中正确的有()CC利用,整理可得20A+OB+20C=结合奔驰定理可判断选项tan∠ABC:tan∠ACB,从而可判断选项D正确.整理得，20A+OB+20C=0,所以Sa:Sg:Sc=2:1:2,B正确；对C,若O为△ABC的内心，且50A+12OB+130C=0,则SA:Sg:Sc=5:12:13,对D,OB·OC=|OB|IOClcos∠BOC=-|OB面上一点，且AM=λAB+μAC,则下列说法正确的是()A.若0<A<1,0<μ<1,0<A+μ<1,则M在△ABC内部D.若b=2,c=3,,M为△【详解】对于选项B,设BC中点N,G为△ABC的重AM,故B正确；(2)若2AB=EC,求CB·CD的值；(3)若P为平面ABCD内一点，求PA·(PB+PD)的最小值.(3)连接PA,PE,取AE的中点H,连接PH,将PA·(PB+PD)进行转化求最值.所以AE=8,又2AB=EC,所以EC=2AE=16,(3)连接PA,PE,取AE的中点H,连接PH,=2(|PH²-|EH)=2[|PH-4²]≥2×(0-1A.-16