基于优化思想的小学数学《烙饼问题》深度教学设计（四年级上册）

基于优化思想的小学数学《烙饼问题》深度教学设计（四年级上册）

一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》出发，“烙饼问题”隶属于“综合与实践”领域中的“数学广角”，其核心目标是渗透运筹思想和优化策略。在知识图谱中，它巧妙衔接了三年级对时间的认知与简单计算，并为五年级学习更为复杂的《找次品》等优化问题奠定思维方法基础。本课不仅是数学知识的应用，更是“模型思想”这一核心素养的启蒙与演练。学生将从具体的生活情境（烙饼）出发，经历“理解题意—动手操作—建立表象—发现规律—构建模型”的完整探究过程，这本身就是一次微型的“数学建模”。其育人价值在于，引导学生面对实际问题时，能主动寻求最优解决方案，形成统筹规划的意识和科学决策的理性精神，这正是数学应用意识与创新意识的生动体现。

本节课的教学对象是四年级学生，他们已具备初步的逻辑思维能力，能进行简单的有序思考，并对生活中的优化问题有模糊的感性认识。然而，从具体的操作感知到抽象的规律概括，仍存在显著的认知跨度。学生可能遇到的障碍包括：难以清晰理解“锅每次最多只能烙两张饼”这一核心限制条件；在探究三张饼的最优方案时，容易陷入“两张两张烙”的思维定式，想不到“交替烙”这一关键优化策略；从具体数量（如3张、4张）的枚举归纳出一般性规律（如n张饼的最短时间）时，逻辑表述可能不严谨。因此，教学将采用“具象操作先行、动态演示辅助、关键问题引领”的策略，通过设计分层探究任务，让不同思维水平的学生都能在操作、观察、对比中找到思维的生长点。教师将在巡视中重点关注学生操作的有序性和记录的规范性，通过追问引导发现本质，并预设弹性任务让学有余力的学生向更一般的规律发起挑战。

二、教学目标

知识目标：学生能深刻理解烙饼问题中的核心规则（锅的容量、每面所需时间），并在此基础上，通过探究活动，准确总结出“当锅最多可烙两张饼时，总时间=饼的张数×每面时间（张数≥2）”这一最优方案的计算模型，并能清晰解释其背后的优化原理（保证锅始终不空）。

能力目标：学生能运用圆片、学习单等工具，通过动手操作、画图记录、有序枚举等策略，独立探究并验证不同张数饼（特别是3张）的最优烙法，发展动手操作能力和有序思考能力；并能在小组合作中，清晰地表达自己的操作过程和思维路径，倾听并辨析同伴的观点，共同构建优化模型。

情感态度与价值观目标：在解决“如何最省时”的真实问题驱动下，激发学生对数学优化的兴趣和好奇心；在小组协作与方案对比中，体验合作交流的价值和思维碰撞的乐趣，初步养成科学规划、讲求效率的理性生活态度。

科学思维目标：本节课重点发展学生的模型思想与优化思想。引导学生经历从具体情境中抽象出数学要素（饼、锅、时间），通过枚举与对比发现最优策略，并最终归纳出一般化数学规律的完整建模过程，培养其从特殊到一般的归纳推理能力和解决问题的策略意识。

评价与元认知目标：在探究活动中，引导学生根据“操作有序、记录清晰、方案省时”的标准，对自身或同伴的方案进行初步评价。在课堂小结时，鼓励学生回顾“我们是怎么发现这个规律的？”反思从操作到抽象、从特殊到一般的学习路径，提升对学习过程本身的监控与调节能力。

三、教学重点与难点

教学重点：探究并掌握“烙3张饼”的最优方案，理解其“交替烙”以充分利用锅资源的优化思想。此为重点，是因为它承上启下：它是在两张饼方案（直接应用）基础上的第一个思维飞跃点，是打破思维定式的关键，也是后续归纳“双数张”与“单数张”通用规律（拓展应用）的认知基石。从课标要求看，它指向“运用数形结合、符号化等思想方法解决问题”的能力培养，是发展学生模型思想的核心环节。

教学难点：从具体操作中抽象出一般性规律，并理解“总时间=饼的张数×每面时间（张数≥2）”这一模型的适用条件和原理。难点成因在于，学生需要跨越从“个例枚举”到“模式识别”的思维台阶，并能用准确、简练的数学语言解释为何此方案最优（即锅的空间和时间资源被最大化利用）。这需要教师搭建有效的“脚手架”，如通过时间轴图示、对比表格等可视化工具，帮助学生建立清晰的表象，再通过关键设问引导学生进行深度思考。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（含动态烙饼过程演示、对比表格）、实物磁性圆片（代表饼）、大号记录板。

1.2学习材料：设计分层探究学习单（含操作记录区、规律总结区）、课堂巩固练习卡（A/B/C三层）。

2.学生准备

2.1学具：每小组一套圆形学具片（至少6个）、水彩笔。

2.2预习：简单回忆在家观察过的烙饼或煎蛋情景。

3.环境布置

3.1座位安排：4-6人异质分组围坐，便于合作探究。

3.2板书记划：左侧预留核心问题与规则区，中部为操作过程与方案展示区，右侧为规律归纳与模型建构区。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设与问题驱动：

1.1（课件出示厨房烙饼情境图）同学们，早上时间宝贵，妈妈要给我们烙饼吃。一张饼有两面，每烙熟一面需要3分钟。如果这个平底锅每次最多只能放下两张饼。（停顿，目光扫视全班）请问，烙熟1张饼最少需要几分钟？怎么烙？“这个问题很简单，看来大家都想到了，1张饼，两面，每面3分钟，一共6分钟。”

1.2（紧接着抛出核心驱动问题）“那如果妈妈要烙2张饼，怎样才能最快让大家吃上饼呢？最少需要几分钟？请大家先用学具摆一摆，和同桌说一说。”

2.建立联系与明确路径：

“从刚才的交流中，老师听到了‘同时烙’这个词，用得好！这就能节省时间了。今天这节课，我们就化身‘厨房小管家’，一起来研究这个《烙饼问题》。”（板书课题）“我们的探索将从简单的1张、2张饼开始，然后挑战最关键的3张饼，最后看看能不能从这些具体的方案中，发现隐藏的数学规律，成为解决这类问题的‘优化大师’。”

第二、新授环节

本环节采用支架式探究，设计五个螺旋上升的任务，引导学生主动建构优化模型。

###任务一：夯实基础——探究2张饼的最优烙法

1.教师活动：首先明确规则：“请大家牢记我们的核心规则：锅每次最多烙两张，每面需要3分钟。”然后组织学生独立操作并同桌交流。巡视中，关注学生是否理解“两面都要烙”，并寻找典型方案（如两张饼不同时烙的错误方案）。请一组学生上台用磁性圆片演示，并引导全班用语言描述过程：“他们先烙这两张饼的正面，用时3分钟；再同时烙它们的反面，又用3分钟，总共6分钟。”教师同步在黑板上画简易时间轴或记录：“①正正（3分）→②反反（3分），总时间：6分”。提问引导思考：“为什么这样烙最省时？对，因为锅的两个位置始终是满的，没有浪费‘锅的空间’。”

2.学生活动：学生利用圆形学具片，模拟烙饼过程，尝试摆出烙2张饼的方案。与同桌交流自己的摆法，并计算所需总时间。观察上台同学的演示，聆听老师的讲解，理解“同时烙”的优势在于“锅的资源利用率最高”。

3.即时评价标准：1.操作是否规范有序，能否清晰展示“先…再…”的步骤。2.能否准确计算出总时间（3+3=6分钟）。3.能否用自己的话解释“同时烙”省时的原因（如“锅没空着”、“一次烙两张”）。

4.形成知识、思维、方法清单：

★核心规则：锅最多同时烙2张饼，每面需3分钟。这是所有思考的前提，务必理解透彻。

★优化起点：烙2张饼的最优方案是“同时烙”，总时间为：2（张）×3（分钟/面）=6分钟。关键思想是“保证每次锅都满额工作”。

▲方法提示：用圆片模拟和画图记录（时间轴）是理解过程的好方法。

###任务二：核心突破——挑战3张饼的最优方案

1.教师活动：提出挑战性问题：“现在难度升级，要烙3张饼。怎样安排才能最省时间呢？我猜，有的同学可能会想‘先烙两张，再烙一张’，这样需要多久？我们来算算。（9分钟）有没有可能比9分钟更省呢？请大家以小组为单位，动手摆一摆，把你们想到的所有不同方案都记录下来，看哪个方案用时最短。”巡视指导，重点关注：1.小组是否有序尝试不同方案。2.是否出现“交替烙”（即三张饼编号为A、B、C，第一次烙A正、B正；第二次烙A反、C正；第三次烙B反、C反）的雏形。对于陷入困境的小组，可提示：“想想，为了让锅不空，在烙第三张饼的某一面时，可以让另一张已经烙过一面的饼来‘搭配’吗？”待各组探究后，组织汇报。先展示“9分钟方案”（两张两张烙），再重点展示“交替烙”方案。引导学生对比：“这两种方案，最大的区别在哪里？”利用课件动态演示“交替烙”过程，并同步板书记录：“①A正B正（3分）→②A反C正（3分）→③B反C反（3分），总时间：9分？”此时设疑：“哎，也是9分钟？好像没省啊？”让学生计算，得出实际为9分钟。再追问：“虽然都是9分钟，但‘交替烙’方案里，锅的空间利用得怎么样？是不是比‘先2张再1张’的方案中，锅单独烙一张饼时要更满？”以此强化优化思想。

2.学生活动：小组合作，利用3个圆片进行大量尝试。在记录单上画图或文字记录不同方案及对应时间。激烈讨论方案的优劣。汇报时，演示并讲解本组找到的最优方案。在老师引导下，对比不同方案，深刻理解“交替烙”虽然总时间在此例中未变，但其策略本质是更高级的优化——它避免了“锅空一位”的低效时段。

3.即时评价标准：1.小组探索是否系统、有序，是否记录了多种可能性。2.汇报时能否清晰、有条理地描述“交替烙”的步骤。3.能否理解“交替烙”方案在资源利用上的优越性，即使时间相同。

4.形成知识、思维、方法清单：

★核心突破：烙3张饼的最优策略是“交替烙”（或“轮换烙”）。其关键在于“让锅在每一次烙的过程中，都尽可能保持两张饼在工作”，从而避免单独烙一张时的“空间浪费”。

★思维飞跃：当饼的张数不是锅容量的整数倍时，最优方案需要打破“分组”的定式思维，通过巧妙的顺序安排，实现资源的动态最佳配置。

▲易错提醒：学生最初可能认为“交替烙”没有省时（都是9分钟），需引导他们关注优化思想的本质是“资源利用率”，而不仅仅是时间数字的比较。

###任务三：建立表象——可视化理解“交替烙”

1.教师活动：为了让学生对“交替烙”的理解从操作抽象为图示，教师说：“刚才的交替过程有点绕，我们请时间轴来帮帮忙。”在黑板上或课件上，画出三条平行线代表三张饼，用色块在时间轴上标出每一次烙的过程（第一次：饼1正、饼2正；第二次：饼1反、饼3正；第三次：饼2反、饼3反）。“大家看，这个时间轴像什么？是不是像火车轨道？每一节‘车厢’（3分钟）里，我们的‘锅’都装得满满的。”引导学生观察：“饼1和饼2是同时开始烙的，但饼3是什么时候加入的？对，在第二次。这样就保证了没有空档。”让学生对照时间轴，再次复述烙3张饼的过程。

2.学生活动：观察教师绘制的时间轴图示，尝试用自己的语言描述图示表示的烙饼过程。在任务单上模仿画出简单的时间轴，加深对“交替烙”流程的空间化、时序化理解。

3.即时评价标准：1.能否看懂时间轴图示，并建立操作步骤与图示的对应关系。2.能否根据时间轴，独立、正确地复述“交替烙”过程。

4.形成知识、思维、方法清单：

★方法工具：时间轴图示法是分析时序优化问题的有力工具，它能将动态过程可视化，便于观察和分析资源利用情况。

★表象建立：通过时间轴，将“交替烙”的操作过程固化为清晰的表象，为后续归纳规律提供稳定的心理图像支持。

###任务四：归纳建模——探索4张、5张饼的规律

1.教师活动：“我们已经攻下了2张和3张这两座堡垒，接下来，咱们乘胜追击！请各组选择挑战：研究烙4张饼或者5张饼的最优方案和最短时间。看哪个组能最快发现规律！”分配任务，鼓励学生运用前面学到的方法（操作、画图）。巡视中，引导学生快速应用“两张两张烙”解决4张饼（12分钟），并重点观察探究5张饼的小组。5张饼最优方案应是“先2张（同时烙），再3张（交替烙）”，总时间=2×3+3×3=15分钟。待学生探究完毕，组织汇报。引导学生将结果填入预设的表格中：

饼的张数

最佳烙法

最短时间（分钟）

1

单独烙

6

2

同时烙

6

3

交替烙

9

4

2张+2张（同时烙）

12

5

2张+3张（同时烙+交替烙）

15

提问：“仔细观察这张表格，最短时间和饼的张数之间，好像藏着什么秘密？大家发现了什么？”引导学生初步感知：从2张开始，时间好像都是“3分钟的倍数”。

2.学生活动：小组选择任务进行探究。运用学具操作或画图推理，确定4张或5张饼的最优方案及时间。参与全班汇报，将本组结论填入汇总表格。观察表格数据，积极思考老师提出的问题，尝试说出自己的发现（如“时间都是3的倍数”、“时间=张数×3？”）。

3.即时评价标准：1.能否正确迁移前面所学方法（同时烙、交替烙）解决新问题。2.探究过程是否高效，结论是否正确。3.在观察表格时，能否提出有根据的猜想。

4.形成知识、思维、方法清单：

★规律初探：烙饼的最短时间与饼的张数存在规律性联系。从2张饼开始，最短时间似乎等于“饼的张数×每面时间”。

★模型雏形：最优方案的结构：双数张饼（2,4,6…）可全部采用“同时烙”；单数张饼（3,5,7…）可分解为“先2张同时烙，剩余部分按3张的交替烙处理”。

▲探究延伸：表格是归纳数学规律的常用工具，通过观察、比较数据，可以提出合理的猜想。

###任务五：抽象概括——构建通用数学模型

1.教师活动：基于学生的猜想，进行精加工提问：“有同学猜‘时间=张数×3’，我们验证一下：2张，2×3=6，对；3张，3×3=9，对；4张，4×3=12，对！那1张呢？1×3=3？不对，是6分钟。看来这个规律对1张饼不适用。为什么呢？”引导学生聚焦核心：“因为烙1张饼时，锅的另一半位置始终空着，资源严重浪费。从2张饼开始，我们才能保证锅每次至少不空（或基本不空），效率最大化。”从而修正并正式归纳模型：“所以，当锅每次最多烙2张饼，每面需3分钟时，烙饼张数≥2，最短时间=饼的张数×3分钟。”板书模型，并强调前提条件。可进一步拓展思维：“如果每面时间不是3分钟，是a分钟呢？这个规律怎么变？对，最短时间=饼的张数×a分钟（张数≥2）。这就是我们今天发现的‘烙饼优化模型’！”

2.学生活动：在教师引导下，用模型计算验证表格中的数据。思考并解释为什么1张饼不符合此规律。理解模型的适用条件（张数≥2，锅容量=2）。尝试用字母表示一般规律。

3.即时评价标准：1.能否准确应用模型进行计算。2.能否理解模型成立的条件和背后原理。3.能否接受并理解用字母表示数的一般化表达。

4.形成知识、思维、方法清单：

★核心模型：（锅容量=2，每面时间=a）烙饼总张数n≥2时，最省时方案所需最短时间T=n×a。这是本节课知识建构的顶点。

★素养升华：经历从具体到抽象、从特殊到一般的完整数学建模过程，体会模型思想的威力——一个简单的公式可以解决一类问题。

▲条件反思：数学模型都有其适用条件。应用时必须审视问题情境是否匹配模型前提（如锅的容量、每面时间是否均匀等）。

第三、当堂巩固训练

1.基础层（全体必做）：“接下来，检验一下大家‘优化大师’的功力。第一关：一个平底锅，每次最多烙2张饼，烙一面需要2分钟。烙熟5张饼最少需要多少分钟？请大家独立计算，并说说你的思路。”（反馈：教师抽样批改，请学生讲解，巩固“5张=2张+3张”，时间=5×2=10分钟）。

2.综合层（大多数学生挑战）：“第二关，情境变一变：复印社复印资料，每次最多放2张纸，正面复印完才能复印反面，每面复印需要10秒钟。请问复印5张双面资料，最少需要多少秒？这和烙饼问题有什么相同和不同？”（反馈：组织小组讨论，明确本质相同，都是“锅容量为2的优化问题”。时间=5×10=50秒。教师点评关键：识别问题本质模型的能力。）

3.挑战层（学有余力选做）：“终极挑战：如果这个锅升级了，每次最多可以烙3张饼，烙一面仍需3分钟。烙熟4张饼，怎样才能最省时？最少需要几分钟？大胆设想一下。”（反馈：不要求全体掌握，请有想法的学生分享思路，如可能尝试“3张+1张”或探索新的交替方法，旨在拓展思维，激发课后探究兴趣。教师可提供初步引导，但不给标准答案，作为悬念。）

第四、课堂小结

1.知识整合与反思：“同学们，这节课我们围绕‘怎样最省时’进行了一场精彩的数学探索。现在，请大家闭上眼睛回忆一下，我们是怎样一步步找到烙饼的优化规律的？”（留白片刻）“谁愿意来当小老师，用一句话或者一个公式，总结一下我们的最大发现？”引导学生自主总结出核心模型。教师完善板书，形成完整的知识结构图。

2.方法提炼：“回顾整个过程，我们用了哪些好方法来研究这个问题？（操作学具、画图记录、列表整理、观察归纳）当我们遇到新的复杂问题时，也可以尝试这样的路径：从简单情况入手，动手试试，找找规律。”

3.作业布置与延伸：

必做题：1.完成练习册上关于烙饼问题的相关基础习题。2.回家后，向家人讲述你是如何用9分钟烙好3张饼的，并记录下他们的反应或疑问。

选做题：1.（对应挑战层）深入研究“锅每次最多烙3张饼”时，烙不同张数饼的最优方案，把你的发现写成一篇数学小日记。2.找一找生活中还有哪些事情可以用今天的优化思想来改进，和同学分享。

六、作业设计

基础性作业：

1.填空题：一个平底锅每次最多烙2张饼，饼的两面都需要烙，每面需要4分钟。烙熟2张饼至少需要()分钟，烙熟7张饼至少需要()分钟。

2.解答题：用一个小锅煎鸡蛋，每次最多煎2个，煎一个鸡蛋需要4分钟（正反面各2分钟）。煎5个鸡蛋最少需要多少分钟？请写出你的思考过程。

拓展性作业：

3.情境应用题：学校医务室要给一个班的同学检测视力，每次检测仪可以同时检测2位同学，检测一位同学需要5分钟（包括准备和数据录入）。现在有11位同学需要检测，怎样才能最快完成全部检测？最少需要多长时间？请设计一个时间安排方案。

4.方案设计题：家里来了客人，需要沏茶招待。烧开水需要8分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要2分钟，拿茶叶需要1分钟，沏茶需要1分钟。怎样才能让客人尽快喝上茶？请你设计一个最优流程，并计算出最短时间。

探究性/创造性作业：

5.开放探究题：如果锅的容量发生变化（如每次最多烙3张或4张饼），烙饼张数与最短时间之间的规律会变成怎样？请选择一种新的锅容量，尝试研究烙1-6张饼的最优方案，看看能否发现新的规律。将你的探究过程和结论制作成一张简易的数学海报。

6.数学写作：以“我身边的‘烙饼问题’”为题，撰写一篇短文。描述一个你在生活中观察到的、可以用今天所学优化思想来解释或改进的真实事例，并分析其与数学模型的异同。

七、本节知识清单、考点及拓展

★核心概念

1.优化思想：在解决实际问题时，从所有可能的方案中寻找最佳（如时间最短、费用最低等）方案的思想。烙饼问题是优化思想的经典启蒙案例。教学中需强调其目的性：不是为了数学而数学，是为了更高效地生活。

2.资源限制条件：烙饼问题中的两个关键约束是“锅每次最多可烙的张数”（空间资源）和“烙每面所需时间”（时间资源）。所有方案必须在此框架内设计，这是建模的前提。

3.最优方案的特征：核心在于“最大限度地利用资源，减少空闲等待”。对于锅容量为2的情况，理想状态是保证每一次烙饼时，锅里都有两张饼在工作（或对于收尾阶段，尽可能接近此状态）。

★关键技能与模型

4.操作与枚举策略：对于张数较少的情况（如3张），通过动手操作（圆片模拟）或画图（时间轴），有序地列出所有可能的烙法，并通过计算时间进行比较，是找到最优解的基础方法。

5.“同时烙”策略：适用于锅容量（设为k）的整数倍张数饼。当饼的张数是2、4、6...时，可以直接分组，每组内两张饼同时烙正、反面。这是最直观的优化。

6.“交替烙”（轮换烙）策略：当饼的张数不是锅容量的整数倍时（如锅容量为2时的3、5、7...张），需要通过调整入锅顺序，使得在烙某些饼的第二面时，能有其他已烙过一面的饼同时入锅，填补空位。这是思维的难点和关键突破点。

7.通用数学模型（考点核心）：当锅每次最多烙2张饼，且每面所需时间为a分钟时，烙n张饼（n≥2）的最短总时间T=n×a。此公式是高频考点，要求学生能理解、推导并熟练应用。务必注意n≥2的条件。

8.模型推导逻辑：最短时间=烙的总面数÷每次可烙的面数×每面时间。n张饼有2n个面，锅每次最多烙2个面，因此最少需要烙(2n÷2)=n次，每次a分钟，故T=n×a。此推导过程体现了更一般的思路。

▲易错点辨析

9.忽视“锅容量”前提：直接套用公式T=n×a，而未检查题目中锅的容量是否为2。若锅容量变化（如为3），公式不成立。

10.起始张数陷阱：当n=1时，公式失效。因为此时无法实现“每次烙满锅”，总时间为2a，而非a。这是选择题或判断题的常见陷阱。

11.时间单位混淆：题目中每面时间可能是分钟，也可能是秒。计算总时间时需保持一致，并明确写出单位。

12.方案描述不完整：在解答题中，仅写出最终时间和公式可能不够，有时需要简要说明最优方案的步骤（特别是3张饼的情况），以体现思维过程。

▲思维拓展与应用

13.锅容量变化：若锅每次最多烙3张饼（k=3），则模型将变得复杂。最优方案不再是简单的线性关系。探究此问题可深化对优化思想的理解。

14.时间不相等情况：若烙不同饼或不同面所需时间不同，问题将升级为更复杂的排序优化问题（如“等候时间问题”）。

15.联系生活实际：复印文件、安排客船过河、工厂机器调度、计算机CPU进程调度等，其底层逻辑都与烙饼问题相通，都属于“资源约束下的调度优化”范畴。引导学生做此类联想，能极大增强数学应用意识。

16.从数学文化角度：烙饼问题隶属于运筹学。运筹学在二战中用于军事物资调度，战后广泛应用于工业生产、物流运输、项目管理等领域。了解这一背景，能让学生体会数学的强大力量。

八、教学反思

（一）教学目标达成度分析

本节课预设的知识与技能目标达成度较高。通过课堂观察和巩固练习反馈，绝大多数学生能正确应用“最短时间=饼的张数×每面时间（n≥2）”的模型解决基础变式问题，并能清晰阐述烙3张饼的“交替烙”方案。这表明核心探究任务的设计是有效的。能力目标方面，学生在小组合作中展现出了良好的操作、记录和讨论能力，但在用严谨数学语言归纳规律时，仍主要依赖教师引导，自主抽象概括能力有待持续培养。情感与思维目标在课堂氛围中得以体现，学生探究热情高涨，对“优化”有了切身体会。

（二）核心环节有效性评估

导入环节从生活情境切入，迅速聚焦“省时”核心，激发了学生的探究欲。“任务二（3张饼）”作为突破点的设计是成功的，充足的学具操作时间和关键性提问（“如何避免锅空着？”）促使学生实现了思维跳跃。然而，在“任务五（构建模型）”的推进中，部分学生对于“为什么1张饼不符合规律”的理解仍显模糊，反映出从具体数字到抽象条件的过渡“脚手架”还可以搭建得更平缓些。或许在归纳规律前，增加一个“对比1张和2张饼方案中锅的空间利用率”的专门讨论环节，能使理解更深刻。

（三）差异化学生表现剖析

在小组探究中，差异明显：思维敏捷的学生能很快发现“交替烙”策略并试图总结规律；多数学生能在操作和同伴启发下理解并接受最优方案；少数基础薄弱学生则在从操作到记录的转换上