运筹学在企业投资中的应用

洛西忏范学吃

LUOYANGNORMALUNIVERSITY

本科毕业论文

运筹学在公司投资中日勺应用

院（系）名称数学科学学院

专业名称数学与应用数学

学生姓名

号

学

指引教师

完成时间.5

运筹学在公司投资中的应用

郭雅坤

数学科学学院数学与应用数学学号：11041

指引老师：张玉兰

摘要：投资决策是公司发展战略的重要构成部分.如何将有限的资本配备到市场

需求日勺无限投资中去，满足项目投资配备的规定并获得最大的经济效益，是每个

公司投资决策者必须要解决的问题.运筹学以数学为工具，寻找多种恒题的最优

方案，它日勺许多知识，例如线性规划模型、目日勺规划模型、动态规划模型等，在

公司日勺投资运营中有着越来越广泛的应用.

核心词：投资决策；线性规划；动态规划；目的规划

1现代公司投资问题分析

公司投资是指公司的决策者们为了获取更多的资产或权益，以自有n勺资产投

入.并自愿承当相应的风险,所进行的一种很IF常叫经济活动.

i.i公司投资的特点可

(1)投资时机的选择性

投资不是随便进行的，只有在客观上存在投资的।有利条件时，公司才会根据

自身的具体状况，制定合适日勺投资方案.

(2)投资目的的多样性

从主线上讲，公司投资H勺目H勺都是为了获得投资收益，从而实现自己的财务

目日勺.但是公司在投资时总是各个相对独立口勺项目进行日勺，具体投资业务的直接

目的也是有区别的.总的来说，可以分为如下几种类型：

①扩充公司的规模；②控制有关子公司；③维持既有规模效益；④提高产品质

量，减少生产成本；⑤承当社会义务；⑥应对经营风险.

(3)投资收益的不拟定性

投资的目日勺收益需要将来才干实现，最后可以收益多少，在进行投资之初是

很难精确把握日勺.正由于如此，每项投资都存在一定的风险.

(4)投资回收的时限性

任何投资都需要有回报，但由于资金时间价值的客观存在，投资必须要及时

的收回并有收益.

1.2公司投资需要考虑的因素⑶

(1)投资风险

投资风险体现为将来收益和增值的不拟定性.

(2)投资弹性

投资弹性波及两个方面：规模弹性和构造弹性.

(3)投资管理和经营控制能力

对外投资管理与对内投资管理比较，波及因素多、关系复杂、管理难度大.

(4)筹资能力和投资环境

(5)投资收益

投资中考虑投资收益，规定在投资方案H勺选择上必须以投资收益的大小来取

舍，要以投资收益具有的拟定性的方案为选择对象，要分析影响投资收益口勺因素,

并针对这些因素及其投资方案作用的方向、限度，谋求提高投资收益的有效途径.

2运筹学应用模型简介及案例研究

2.1线性规划模型及案例研究⑶

线性规划模型是目前应用最广泛的一种优化措施，被广泛的应用于生产计划、

物资调用、公司投资优化、资源优化配备等问题.所谓日勺线性规划问题即在一组

线性不等式或不等式的约束之下，求一种线性函数的最大值或最小值的问题，它

的一般形式为⑷：

minz=qx+...4-czix/r

4内+ai2X2+…+ainXn

s.t.<anx}+ai2x2+.,.+ajnxn>bi9i=p+

Xj>0,J=1,..，4(巧.为自由未知量，j=g+l,・・.〃)

其中七,/=1….〃为待定日勺决策变量，我们把这个已知的系数为构成的矩阵

%...4〃

A=；・•・；称为约束矩阵.AIH列向量记为A，/=l….,〃;A的行向量记为

aa

<m\…mn)

7\r,z=1,2,称GM+C2X2+…+%%为日的函数.

公司投资决策必然要受到资源有限H勺约束.由于资金分派问题的影响，许多

老式的选择原则将不再有效.有时公司需要考虑独立型资金分派.独立型资金分

派问题运用线性规划模型进行分析，力求使投资有较好啊成果.独立投资方案的

特点是各方案的投资和收益具有可加性.在多种投资方案可供选择时，公司或公

司在自有资金额的限定下，必须科学的拟定各方案的投入比例，实现最佳的投放

组合.公司在选择独立型资金分派时需要考虑如下三个方面⑸：

(1)决策变量

假设投资公司对各独立投资方案各期投入资金日勺比例相似，现设投资公司对〃

个独立投资方案的投资比例分别为冷々,…

(2)目的I函数

在抱负的资我市场，净现值NPV最大等价于财富最大，净现值能比较全面的

反映投资项目H勺经济效益状况.因此，选择n个独立投资方案总的净现值最大作为

目H勺函数：

nuxNPV=，XjNPVi.

r=l

(3)约束条件

为达到投资各期投入资金日勺比例相似，须对各方案各期所需资金及公司可用

于投资日勺资金合计解决，对于每期投资后拥有资金日勺余额，留作下期投资使用，

资金约束的一般形式为：

kkkk

X2P“+%zP，2+…•…+x，Ep/Eh，k=1,2,...,m

r=lf=Ir=lz=l

综合以上几点，得到独立型投资方案的I线性规划模型⑹为:

maxNPV=xlNPV]+x2NPV2+…+X“NPV”

s.t.

不〃“+%202+…+工〃0”44，

2222

再+/Z化2+…十X〃Z〃m4工2

X\ZAl+%2Z02+…+4ZPmWZ2

mm/〃

-^IZAI+X2^P/2+...+A;,^/?„,<Z白

/=l/=1/=1/=!

%>0,(，=l,2,...,n)

案例分析一：

某房地产公司运用自有资金对三个可行投资方案进行组合投资，由于受到工

程工期的和资金额的限制，只能按一定的比例对各方案进行投资，投资分四期进

行，各方案所需资金和公司各期可用于口勺投资资金、各方案估计净现值等资料.

如下表所示：

公司投资原始数据表(百万元)

投资期方案一方案二方案三公司各期各期所需资

的序号所需资金所需资金所需资金拥有资金金合计值

167533

255436

347628

4643210

各方案净现值9108

方案规定各期H勺投资比例相似，方案运营后的净现值按所投资金比例.设对

三个方案的投资比例分别为大,2刍，从而得到该问题日勺线性规划模型为:

maxNPV=9x]+\Ox2+8x3

s.t.

6Xj+7X2+5X3<3

1lx1+12X2+9X3<6

,15X[+19X2+15X3<8

21X,4-23X2+18X3<10

^>0（/=1,2,3）

运用单纯形法求解，得到该投资方案的最优解为：%,=-«13.33%,

15

9=0,均=*=40%,此时maxNPV=4.4,即投资公司每期把资金日勺13.33%投入方

案一，40%投入方案三，方案二不投资金，这是可获得最大的净现值440万元.

2.2动态规划模型及案例研究

动态规划是一种研究多阶段决策问题的理论和措施.我们所说的多阶段决策

问题是指，一种系统，可以提成若干个阶段，任意一种阶段"系统的状态可以用

々表达（4可以是数量、向量、集合等）.在每一阶段k日勺每一状态/均有一种

决策集合Q（s）,在QA（S）中选定一种决策纵式乙），状态々就转移到新的状

态SM=7；（S，/,），并且得到效益%（8,外）.我们的目的就是在每一种阶段都在

他日勺决策集合中选择一种决策，使所有阶段的总效益Z（（s，%）达到最优，即就

k

是要在所有也许的方略中选用一种最优日勺方略，使得在预定日勺原则下得到最佳的

效果.

一般的多阶段决策问题具有这样的递推关系是：设工tz（王）表达第&个阶段

的状态为王通过〃-攵+1个阶段H勺最优目的函数值，则有：

人（k|）=max｛4（丁/）+f“_k7（8）｝

廿。,

工（%）=吟｛凡（%《）｝

根据该递推关系，从背面开始分别求出力（%）,人（当_）…",（%），其中工（5）

就是该多阶段决策问题H勺最优目H勺函数值.我们把这种递推关系式称为动态规划

的基本方程⑺.

我们从多阶段决策问题口勺数学模型可以得到，动态规划最优化原理：

对于多阶段决策问题的最优方略，如果用它口勺前i步方略产生的状况（加上原有

时约束条件）来形成一种前i步问题，那么所给最优方略的前，•阶段的方略构成这前

i步问题日勺一种最优方略.

资源分派问题是属于线性规划、非线性规划这一类日勺静态问题，其重要作用

是将数量一定的资源（如原材料、资金、机器设备、劳动力等）恰当H勺分派给若

干个使用者，使总H勺目日勺函数值最优.此类问题一般与时间无关.但是，我们人

为口勺引入时间因素，把它看做按阶段进行的一种多阶段决策问题，这就使得动态

规划模型成为求解此类静态问题的有效措施图.

这里我们给出某总公司对子公司进行投资分派的问题.

案例分析二：

某总公司要投入60（）万的资金给下属日勺4个子公司，各个子公司所得到的利润

与投资额大小日勺关系如下表：

表1

X（百万元）g/X）（万元）g?（X）（万元）g3（X）（万元）g/X）（万元）

00000

140405()5()

21008012080

3130100170100

4160110200120

5170120220130

6170130230140

分析：此表表白，把600万元投入到第一、第二、第三、第四个子公司所得日勺

利润分别为170万元、130万元、230万元、140万元；投入500万元所得内利润分别

为170万元、120万元、220万元、130万元.为简化计算，本例中投资额以百万元

为分派单位，并引入下面符号：

总公司投入的资金总量.

〃：选定的可进行投资的子公司总数.

石：分派给第i个子公司的资金数量.

小(XJ：第i个子公司接受数量为X津勺资金后所提供日勺利润.

A(x)：以数量为x的资金跟配给K个子公司所得的最大日勺总利润.

如果g(Xj中有非线性函数，我们可以运用动态规划措施进行求解，这时我

们把整个问题提成n个阶段，构造动态模型，建立基本的方程，第一阶段讨论把资

金分派给第一种子公司是的状况；第二个阶段讨论把资金分派给第一、第二个子

公司时的最优分派方案，及所提供的最大利润；第K个阶段是把资金分派给前K

个子公司时的最优方案以及提供的最大利润.根据动态规划的最优化原理，我们

得到：

£(X)=gG)

f，x)=max鼠(z)+九(X-z)}(k=2,3,…⑴

这里假设：各子公司之间进行分派时可以拟定投资金额H勺最小分派单位，这

个最小单位可以根据实际状况来拟定.例如以百万元为分派单位，而X就是按这个

单位计量.这时z仅取非负整数，即0J2...J.

fk(X)=max®(z)+九(X—z)}(k=2,3/、〃)(2)

z=0,1,2,….X

解下面我们把整个问题进行分阶段求解

第一阶段，这时第一种子公司是唯一的投资对象，显然

<(X)=g(X)(X=0,l,2,3,4,5,6)

其成果可列成下表：

表2

X0123456

工(X)040100130160170170

最优方略0123455

第二阶段，这时要研究如何在第一种子公司、第二个子公司之间进行投资的

最优方案，使得利润为最大，根据公式(2),当投资总额为600万元时，得:

^(6)=max{^2(Z)+/；(6-Z)}

U,I,・•.o

即

*2(。)+./；(6)0+170

g2(l)+/(5)40+170

tg2(2)+./；(4)80+160

.R(6)=max<82(3)+/(3)=max<100+130=240

王(4)+/(2)11()4-100

心（5）+力⑴120+40

招2(6)+/(0)1304-0

最优方略为（4,2）即对第一种子公司投资400万元，第二个子公司投资200万元.这

时两个子公司提供的利润总额最高为240万元.

当对这两个子公司H勺投资额为500万元时，所能得到日勺最大利润为：

♦⑸=.泠危（2）+工（5-Z）｝

即

g2(°)+/(5)0+170

gz⑴+工(4)40+160

g?⑵+/(3)80+130

力(5)=max<=max<=210

刈⑶+〃2)100+100

g2«)+工⑴110+40

8⑸+/(°)120+0

最优方略为（3,2）,即第一种子公司投资300万元，第二个子公司投资200万元.

当对这两个子公司的投资额为400万元时，所得的最大利润为:

^（4）=max｛g2（z）+/（4-z）｝

Z=V,l»...*♦

即

g2(0)+£(4)0+160

g2⑴+/⑶40+13()

&(4)=max，&(2)+/(2)=max]80+100=18()

g2⑶+/«)100+40

&⑷+-(0)110+0

最优方略为（2,2）,即第一种子公司投资200万元，第二个子公司投资200万元.

当对这两个子公司日勺投资额为30()万元时，所能发明的)最大利润为:

/；(3)=maxU2(Z)+/；(3-Z)}

7=U,I…

即

g2(0)+工⑶0+130

处⑴+工⑵40+100

以⑶=max>=max〈=140

g2c2)+力⑴80+40

62(3)+/(())100+0

最优方略为(2,1),第一种子公司投资200万元，第二个子公司投资100万元.

当对这两个子公司日勺投资额为200万元时，所能发明的)最大利润为：

6(2)=嚅{g2(z)+<(2-z)}

即

%(0)+/(2)|0+100

f2(2)=max^g2(1)+(1)=max*40+40=100

g2⑵+工(0)180+0

最优方略为(2,0)即第一种子公司H勺投资额为200万元，第二个子公司H勺投资额为0.

当对这两个子公司的投资总额为100万元时，所能发明的最大利润为:

的(。)+/⑴「0+40

/；(1)=max-=max、=40

g2⑴+工(°)40+0

最优方略为(10)或(0J),即只对其中日勺任意一家投入100万元，另一家投入0万元.

很明显的我们可以得到，人(0)=().

上述计算成果可以汇总成下表：

表3

(x)0123456

以X)04010014018()210240

最优方略(0,0)(1,0)(2,0)(2,1)(2,2)(3,2)(4,2)

第三阶段，这时要在第二阶段的基础上研究在第一、第二、第三个子公司之

间进行投资日勺最优方案，根据公式(2)

£(x)=]?ax{%(z)+力(X—z)}

Z-V,I«««*9A

当x=6时，所能发明的最大利润为：

/.(6)=max{^(z)+^(6-z)}

，=V.I,・・r。

即

豆⑼十人⑹0+240

g3⑴+力(5)50+210

段(2)+加4)120+180

4(6)=max<g3(3)+6(3)=max«170+140=310

&(4)+启2)200+100

g3⑸+A。)220+40

g3(6)+力(0)230+0

最优方略为(2,1,3),即对第一种子公司投资200万兀，第二个子公司投资100万兀，

第三个子公司投资300万元.

根据第二阶段口勺措施，当对这三家子公司的投资额分别为500万元，400万元,

300万元,200万元,100万元,。万元时,所能发明的最大利润分别为:270万元，

220万元，170万元，12()万元，5()万元，()万元.

综合本阶段的计算，最后的成果如下表：

表4

X0123456

力(x)050120170220270310

最优方略(0,0,0)(0,0,1)(0,0,2)(0,0,3)(2,0,2)(2,0,3)(2,1,3)

第四阶段，这时应当在第三阶段所得到口勺成果的基础上研究在这四个了公司

之间进行投资的最优分派问题.已知可以对这四个子公司进行投资的总金额为600

万元，因此，

£(6)=瞰{gKz)+/(6-z)}

即

&（0）+6⑹0+310

g4（D+力（5）50+210

/2)+/；(4)80+220

7,(6)=max<&(3)+力(3)=max<100+170=320

g4(4)+启2)120+120

g#)+力(1)130+50

马（6）十八（0）140+0

此时可以明显的看出，最优方略为（2,0,3』）.这样我们就得到整个问题的最

优解，即向第一种公司投资200万元，第三个公司投资300万元，第四个公司投资

10（）万元，第二个公司不进行投资,投资600万元后该公司所能得到的最大总利润

为320万元.

当投资日勺目的诸多或者投资分派日勺单位较小时，计算日勺工作量就很大，这时

必须借助Lingo,Matlab等计算机软件来协助完毕.

2.3目的规划模型及案例研究

目的规划是一种解决多准则问题的措施，是线性规划的特殊应用可以解决单个

主目的与多种目的并存，以及多种主目的与多种次目的并存的问题.它对众多的

目的分别拟定一种但愿实现日勺目欧I值，然后按目的日勺重要限度依次进行考虑与计

算，以求得最接近各目日勺预定数值日勺方案.

在投资决策时，我们常常面临着几种方案，这些方案在技术上都是可行的，经

济上也是合理的，以往的技术经济分析措施是通过对某一种经济技术指标H勺拟定

和比较来决定方案口勺取舍，例如一般取净现值最大日勺方案或者内部收益率最高的

方案为最优方案，即将决策问题归结为目H勺问题.然而在投资选择过程中逐渐开

始规定几种目的同步达到优化，既规定投资回收期短，还规定内部收益率高，又

规定净现值大于零等等众多的经济指标优化.这些问题都要借助于目日勺规划.

一般日勺目日勺规划日勺模型如下叫

minz=£Pk(Z叫「4一+w：d；)

«=iz=i

s.t.

声.《々,”=12…")

J=I

n

.ZcGj+dJ-dJ=g,,(/=l,2,...M

7-1

X/20,(/=1,2,...,〃)

d；,d；>0,(/=l,2,...,L)

其中：

p为第k级优先因子(k=1,2,..,A：),且P[2〃22〃32….

k9

，表达超过目日勺的差值，正偏差量；

“一表达未达到目的日勺差值，负偏差量.

式中：

(1)当实际值为超过目的值时："一=0,"+>0；

(2)当实际值未达到目的值时：小>0,小=0；

(3)当实际值等于目日勺值时："・=0,，=0；

(4)吸，唠为赋予第/个目的约束时正负偏差变量权系数；

(5)&为第/八目聊勺预期值，/=1,2,…乙

案例分析三：

深圳某电子科技公司计划开发三种新H勺产品A,B,C.公司计划在这三种产品退

出市场前的I总利润为45()万元，根据调查这三种产品日勺单位长期利润分别是7元，5

元，15元且分别在2年，2.5年，1年后退出市场.此外，单位产品分别需要消耗0.06

人，0.04人，0.1人，且公司可以维持的目日勺人数为100人.由于资金紧缺，公司至

多可以投入66万元来开发生产这三种产品，其中，固定成本为20万元，三种新产

品的变动成本为1元，0.5元，3.6元.为了使多种目的达到最优，试提出解决方案.

解根据目啊的重要性，我们将总目的利润分派权数设为5,资金限制的权数

为4,员工数限制分派权数可以分为两个部分，避免裁人和避免增长员工的权数分

别为3和2.

在公司日勺实际运营目日勺中，最优先考虑的应当是总利润，另一方面是投资成

本，最后考虑员工日勺增减和员工的士气.因此综合题目及以上分析，我们可得下

表：

表5

因素ABC目的权数与优先层次

长期利润（元）7515N450万元5（一）

员工水平（人）0.060.040.1=1002（+,三），3（-,三）

资本投资（元）10.53.6066万元4(Z2)

第一层次日勺目日勺是最小化偏差K，其优先级为8；第二层的目的是最小化偏

差内，其优先级为第三层次的目的是最小化偏差量K，%，其优先级为〃3.

设决策变量占，电，玉分别代表公司产品，A,B,C日勺平均每天的生产水平.由此我

们可得数学模型为

minz=Pi（5y「）+〃2（4%+）+〃3（3）；+2）；）

s.t.

7x2x365%+5x2.5x365x?+15x365巧+y]~-yj=4500000

20+1x2x365%+0.5x2.5x365x+3.6x365%+y~-y"=660000

<322

（）.（）6X[+0.04JC2+（）.1^3+y3~-必+=10（）

x7>0,/=1,2,3

运用Lingo软件直接对模型进行求解,可得成果为：x,=0,x2=1008.219177,

曰=0,凹=100000%=5967123,>「=）广=%+=：<=°,因此，我们可以建议产品

B每天平均生产1008件，推迟产品A,C的|生产，需要进一步调研，视状况再定与否

要对产品A,C进行生产.％=59.6712阐明公司如果采用以上决策，则会多余员工59

人.一种状况是进行裁人减小公司规模，另一种是保存既有员工，以待公司有后

来更好日勺发展，也可以考虑把他们安排到其他的老的产品生产线.y=100（）00,阐

明在公司实现45（）万元目的I之后还能再多赚钱10万元.y\=）；=）；=%=0,阐明

在此方案下，目的资金限制和员工目的问题都得到理解决.

结束语

运筹学在是通过实际的分析运算考解决实际问题的科学，它与实际结合日勺非

常紧密，在问题的解决中起到了非常重要的作用，深刻在实际的投资优化中，我

们可以把投资行为中的多种问题模型化、数据化，协助投资者进行分析，但运筹

学自身不做决策，只提供多种有效可行地