随机过程及其在金融领域中的应用-课件

第二章概率空间

2.1概率空间与随机变量

1、＜T-域

定义2・1

若尸是。中一些字集组成的集类，且满足：

(1)QGF；

(2)若Awb,则4飞方：

8

(3)若&4,・一£/，则ua£/，

i=i

则称尸为。上的一个b—域或b-代数。并称二元组(Q/)为可测空

间。

注：设。是某一随机试验的基本事件空间或样本空间，。中的元素就是描述该试验的

基本事件，即试验的可能结果。样本空间。的子集称为事件。

2、定理2・1

设。是。中一些子集组成的集类，则存在唯一的。的b—代数。(C),

它包含C而且被包含C的任一b-代数所包含。。(。)称为由。生成

的。一代数，或包含C的最小代数。

3、Borel集

设。=内,431,则集类

C{d}—<4<+oo,i—1,…,Q}

是R”的子集类，式中的a=(q,%,・・・,％)，一=(4也,…也)。则^一

域加=b(C⑷)称为d维Borel域(代数)，其元素称为Borel集。

3、概率空间

对于可测空间(Q,尸)，在厂上定义一个非负集函数P(・),以度量F中

事件发生可能性大小，它满足

非负性；0工尸(人)工1,对于任何事件人£下；

规范性：P(Q)=1；

可列可加性：若A，&,,・・£?，且两两不交

4口4=中"工.///=12…，则

P(0A)=之P(A)

Z=1/=1

称P(A)为事件A的概率，称(Q,£P)为概率空间。

4、随机变量

设(Q,F)是一可测空间，若函数/:。-工=[-oo,+ooj使得对任意

X£7,有

(69GQ|/(69)<x]eF

则称函数/是关于尸(或。上)的可测函数。在概率空间(Q,£P)上

定义的可测函数称为随机变量°

5、分布函数

设X=X(⑼是定义在。上的一个随机变量，令

FX(X)=P(X<X)=P({69：X(69)<%}),W

称Fx为随机变量X的分布函数。

6、定义2・2

设X(M是概率空间(Q,EP)上的一个随机变量，对Borel集B,定

义

GG

Px(5)=P(XB)=P({q:X(助B})

把心(3)称为X的分布。

(2)指数分布

如果连续型随机变量X的分布密度为

Ae~A\x>0

fx3=

0,x<0

则称X服从参数为"4>0)的指数分布。

注：指数分布具有无记忆性，即若X服从指数分布，则对于任意SJ20,有

P(X>s+t\X>t)=P(X>s)o反过来，如果一个非负连续型随机变量

X的分布函数6“)具有无记忆性，则它一定是指数分布。

(3)正态分布

如果连续型随机变量X的分布密度为

（尤一〃）2

-

2b2

式中，"Ek,。？〉。，则称X服从参数为(/Ab?)的正态分布或高斯

分布，记为XNQ后)。

2.2随机变量的数字特征

1、离散型随机变量数字特征

设离散型随机变量X的分布率为=P（X=七）,攵=1,2,・・•，则

8

Nx=E（X）=£xkPk

k=l

称为随机变量X数学期望或均值。

令b；="（X）=£（z—〃x）2Pk

k=\

称为随机变量X的方差。

令E（Xb=£

k=\

称E（X，）为随机变量x的/阶矩。

令石（g（x））=£g（z）Pk

k=l

称E（g（X））为函数g（X）的数学期望。

2、连续型随机变量数字特征

设连续型随机变量X的分布密度为A。)，则

必=E(X)=^xfx(x)dx

称为随机变量X数学期望或均值。

2

令cr；=Var(X)=(x-jLix)fx(x)dx

称为随机变量X的方差。

令七'(X/)=[:yfx(x)dxjGN

称E(X')为随机变量X的/阶矩。

令E(g(X))=[g(x)fxkx}dx

称2g(X))为函数g(X)的数学期望。

注：数学期望反映了随机变量取值的平均水平。方差和标准方差体现了随机变最

与期望值得偏离程度。

3、Chebyshev不等式

设随机变量X的均值为〃，方差为CT?,则对于任意£>0,不等式

2

P(|X-A|>^)<—

称为切比雪夫（Chebyshev）不等式。

2.3随机向量及其联合分布

1、n维随机变量及其数学特征

设X=（X，…,X〃），如果其中每一个分量x，・・・,x〃是一维的、取值

为实数的随机变量，则称X=（X，…,X,）为n维随机向量。

定义2-2

设X=（X，・・・,X〃）为n维随机向量，则X，・・・,X〃的联合概率分布定

义为

Fx（x）=P（X[VX]，…,X,V再）

=P（｛G:X]（O）＜X],・・.,X〃3«X〃）

其中X=（知・・・,玉）eRdo弓（x）又简称为X的分布函数。

设力（x）二%（%,・・・/〃）为R”上非负可积函数，使得对任意

（%,・・・,王）£上〃，有

弓（X，…，当）=,,・二fx（%，…，州）办1…办〃

则称（X|,・・、X〃）为连续型随机变量，力（如…,”）为X的联合概率

密度。

设人为随机变量X的概率密度，那么其中任意分量组

(〃-i)个

都存在概率密度，把它们称为X的边缘密度。

随机变量x,y的协方差定义为

Cov(X.Y)=E[(X-E(X))(y-£(7))]=E(XY)-E(X)E(Y)

随机变量X,y的相关系数夕xy定义为

Cov(X.Y)

“—[VaMX)[VaMY)

随机变量的数学期望定义为

HX=E(X)=(E(X1),・・・,E(X〃))

随机变量x,y的协方差矩阵定义为

Zx=(Cou(X,，Xj),0=l,・・/z)

其中，Cou(X,,Xj)=b：

fJ八i

2、随机事件独立和相关的定义

定义2-4

随机变量x,y称为是相互独立的，如果有

P(XeB「YeB?)=P(XeBJP(XeB?),Bi，B?uG

即事件{XcBJ与{丫£与}是互相独立的。

定义2-5

如果随机变量X，・・・,X〃，对于任意v・・Y]为整数，

l<k<n，满足

P(X«w耳，…,X,eB.)=P(X.£幻…P(X小")，稣…,Bnux

则称随机变量X1,…,X”是相互独立的，即事件

{X£4},…,{X〃€gJ是相互独立的。

3、相互独立的随机变量的性质

定理2-3

如果X，…,X”相互独立且它们的数学期望存在，则对于任何实函数

g](x),・・,,g〃(%)，有

仇&(X)…超〃(X〃)〕=仇&(X)]…£Ig〃(X〃)]

定理2-4

设（X0・、X〃）为n维随机向量，设力（西,…,x〃）为其概率密度函数。

现有n元函数y=&G，・・・,x〃）（i=L・・・,〃），且存在唯一反函数

%=%（y，…，绻）（'=L…，〃）。如果&方有连续偏导数，则由分量

匕=8,«|,・・・,七）（，=1,・・・,〃）所给定的口维随机向量（几・・・,工）的概

率密度函数为

人（石,・・・,元〃）|人若弘，…，”是gi，…,g〃的值域

（%、）％）=

6否则

其中，Xj=%（y,.・・,％）（i=L…/）。而且J为坐标变换的雅可比矩阵

_以②2为

I〃为坐标变换的雅可比行列式。

2.4条件数学期望

1、离散型随机变量的条件数学期望

设x,y为离散型随机变量，对一切使p（y=y）>o成立的），，给定

丫=>时，随机变量x的条件分布函数定义为

I、DZVIV、P（X<x,Y=y）

F（x\y）=P（X<x\Y=y）=—0（丫—”,

设随机变量X可能的取值为玉,马,…，离散型条件数学期望定义为

E[X\Y=y]=^xdF(x\y)=£x/(X=%IY=)，)

°°k=\

2、连续型随机变量的条件数学期望

设X,y为连续型随机变量，对一切使/；（），）>0成立的y,给定y=y

时，随机变量X的条件概率密度定义为

版y）（x，y）

/(xIy)=

/y(y)

给定y=y时，随机变量X的条件分布函数定义为

一(%|y)=P(X<X\Y=y)=[xf(x|y)dx,xe«

连续型条件数学期望定义为

E[X\Y=y]=rxdF(x\y)=xf(x\y)dx

J-00J-00

2.5矩母函数和特征函数

1、矩母函数

定义2-6

设X是(Q,£P)上实随机变量，X的矩母函数(概率母函数)Wx(t)

定义为：对于任意飞，

,x

i//x(/)=E(e")=JedFx(x)

2、特征函数

定义2-7

设X是(Q,F,P)上实随机变量，X的特征函数ex(。定义为：对于任

意"£”,

外(7)=玖/)=11*18(©

式中，i是虚数单位，i=Q

3、特征函数性质

(I)\(px(〃)|<°x(。)=1，对任意"£▼;

(2)0在W上一致连续，即当〃―0时，有

uw

|(Px(+九)一Ox()I-f।-11dFx(x)—>0,〃£・

E

(3)(px(w)=(px(-u)=(p_x(w),对任意〃R；

lhH

(4)(paX+b(u)=(px(au)e,对任意〃，；

(5)若X,Y互相独立，则0x+y(〃)=0x(〃)0y(〃)，对任意"

4、常见分布的特征函数

两点分布

外(〃)=1一〃+〃/"

二项分布

9xQ)=(l_〃+pd")

泊松分布

外(〃)=产力

均匀分布

i,、(sinua-sinub)

外3)---------(cosua-cosub)---------------------

(〃-d)uS-

指数分布

Z2.Au

外

标准正态分布

(Px(u)=e

5、特征函数相关定理

定理2・5

X，…,X”是n个互相独立的实值随机变量，其特征函数分别为

%(〃)一・,如“3)。设0x(〃)为X+…+X〃的特征函数，则有

(p(u)=(Px\

定理2・6(Kac定理)

概率空间(Q,£P)上n个实值随机变量%,・•・,X”互相独立的充分必

要条件是：*=(%,・・・,匕)的特征函数以(％,・・・,〃〃)与冬(14%。)

的特征函数0^(%)满足

9x(〃)=E|exp(if/XJ=立£(*")=立%人(%)

k=lk=\k=l

第三章随机过程

3.1随机过程的基本概念

1、随机过程

定义3・1

设(Q£P)是给定的概率空间，T为一指标集，对于任意，£丁，都

存在定义在(Q,£P)上，取值于E的随机变量X(@，)(0£。)与它

相对应，则称依赖于f的一族随机变量｛X(⑨。7｝为随机过程，

简记｛X(M｝,｛XJ或｛X(r)｝。

注：随机过程｛X(0J):。三OjeT｝是时间参数1和样本点①的二元函数，对于给定的时间

是“£厂X(④％)是概率空间(C,F,P)上的随机变量;对于给定样本点仇eQ,X(g,f)是定

义在丁上的实函数，此时称它为随机过程对应于g的一个样本函数，也成为样本轨道或实

现.内称为随机过程的相空间.也成为状态空间.通常用“1=工”表示X,处干状态Xc

2、随机过程分类：

随机过程用按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类：连续型

随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列。

3、有穷维分布函数

定义3-2

设随机过程｛Xj,在任意〃个时刻4,…乩的取值X”,…,X0构成〃维

随机向量(X,/…,xj,其〃维联合分布函数为：

尸…(再，…，怎)2P(一五＜xn)

其n维联合密度函数记为，4.」(七,・・・,后)。

我们称｛々，[“(不，…，毛)：〃21/，…H£7'｝为随机过程｛X』的有穷

维分布函数。

3.2随机过程的数字特征

1、数学期望

对于任何一个时间七7,随机过程｛Xj的数学期望定义为

股，二E(X)二匚xdFt(x)

E(X’)是时间/的函数。

2、方差与矩

随机过程｛XJ的二阶中心矩

碎=VMX,)=E[(X,-E(X,))2],teT

称为随机过程｛X'｝的方差。

随机过程｛xj的二阶原点矩定义为

2

E(X^=rxdFt(x)

注：bj是时间，的函数，它描述了随机过程｛X』的语样本对于其数学期望〃x的偏移程

度。

3、协方差函数和自相关函数

随机过程｛X』对于任意4出£丁，其协方差函数定义为

CX«"2)=C3(X”,XQ=£[(X“-E(X4))(X「灰X”)]

当寸，协方差函数就是方差。

随机过程｛X』的自相关函数(相关函数)定义为

R(t^t2)=E(Xh%"?ET

当乙=/2=，时，自相关函数就是二阶原点矩。

4、实二阶矩过程

定义3・3

设｛X,JET｝为实随机过程，若对于任意的，£丁，其均方函数

E(X/)<+oo,则称｛X,jwT｝为实二阶矩过程。

注：由柯西-施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式：[RX“XQ]?工E(X〃)E(X„),可知,

二阶矩过程夫也由)=E(X^XQ自相关函数一定存在。

5、例3・1

判断随机过程｛凡=X80加/£7｝在下列两种情况下是否为二阶矩

过程。

(1)XN(〃,/)/为常数;

(2)X具有暇率密度f(x)=------

x(l+厂)

解：(1)因为

2222

E(X/2)=E(XCOScot)=E(XZ)COScot

=((j2+//2)cos2M<-w>

所以是二阶矩过程。

(2)因为

2?

夙x：)=L：莞*g+8

所以｛X,,Z£7｝不时二阶矩过程。

3.3离散时间和离散型随机过程

当时间参数，E7取离散值时，这种随机过程称为离散随机过

程。这时，X,是一串随机变量X,,…X,所构成的序列，即随机序列。

由于随机序列的指标表示时间，所以常称随机序列为时间序列。

1、例3・2

设一维随机游动过程%,其中％=0,工=£乂,出,乂2「・〃"(艮1独

z=i

立同分布随机序列，且P(Xj=l)=p,P(Xj=—1)=1-〃。求

E(Yn\Var(Yn)o

解：根据期望、方差的定义和性质，有

E(Y〃)=E忙Xi)=fE(Xj)

i=li=l

丫“(匕)=Var(XX)=如"(XJ

i=l/=1

而且

E(Xi)=l.p+(-lXl-p)=2p-l

石(X：)=l・pi1・(1—p)=l

22

Var(Xi)=E(X^)-(E(Xi))=l-(2p-I)

则

2

E(Yfl)=n(2p-l\Var(Yn)=n[l-(2p-l)]

2、例3-3

考虑随机点在时间区间（O川内发生的次数，若随机点在（0川内发生

的次数是偶数（视0为偶数），则令X=1；若为奇数，且令凡=-1；

且凡=0。又设在侑4+4内有火个随机点发生的概率与*）无关，且

X/（）+/-X%=X/P（»）（即参数为At的Poisson分布）

〃a）=2%=%）=噌"”

KI

其中＞1＞0,攵=1,2,….由此计算可得

P（在（0,t］内有偶数次随机点发生）=Po⑺+〃2⑺+〃«）+•・

iJ加）'（力）、1

2!4!

力*+e"

=e-----------

2

P（在（0,t］内有奇数次随机点发生）=/乙⑺十〃J”）十〃5。）十…

=e［AtH------1------1—I

3!5!

=e----------

2

于是有

P(X,=1)=/一^,P(X,=-1)=~

乙乙

故得

%=E(X)=e-2At

通过类似的计算，可以得到对于Oy＜，2

1+"2外力

f)2

P(XX=-\)=

lt22

所以相关函数为

/?(，“)=石(X/p=e225)

同理可以计算当0<，2<4时的情况。

综合上面的结论有

R(ti，，2)=e242TL4>o,t2>0

因此｛X,JNO｝的方差为

%=3(%)=叫4)-及=1-d

3.4正态随机过程

1、正态随机过程

如果随机过程｛X,｝的任意n维概率分布都是正态分布，则称它为正

态随机过程或高斯随机过程，简称正态过程或高斯过程。

正态随机过程｛X,｝的n维概率密度为

—，当)=(2丁(；巨严的卜*一处飞"｝

其中，〃是n维向量，£是力x〃阶的矩阵，E"是Z的逆矩阵，

它的第i行j列的元素为

%=Cx0tj)=E1(X「E(X”))(X「E(X,))]=&咨产

其中，Pxx为相关系数。

注：由上式可见，正态随机过程的n维概率分布仅取决于它的一、二阶矩函数，即只取

决于它的数学期望、方差和相关系数。

2、正态随机过程性质

如果对正态过程｛XJ在n个不同时刻小…，乙采样，所得到的一组随

机变量X,,…用两两互不相关，即

’1ln

J=Cx(Wj)=EKX「E(X邰X「EIX。))｝。,，工j

则这些随机变量也是相互独立的。

在与=O(iw))的条件下，n维正态概率密度等于n个一维正态概率

密度的连乘积。所以对于一个正态过程来说，不相关与独立是等价的。

3.5Poisson过程

1、独立增量过程

定义3-4

设｛X』是一随机过程，若对任意正整数n及，卜…山eT,Z,<t2<…

〃，随机变量的增量

Xr—XX—X,•••,%r—X

2Zl9Z3,2nfn-l

是相互独立的，则称｛xj是独立增量过程。

注：设｛X』是独立增量过程，若对任意的+增量x~-x,的概率分布只依

赖于T而与/无关，则称随机过程｛XJ为齐次的或时齐的。

若只要时间间隔「相同，那么增量服从的分布也相同，也称此过程具有平稳性。

具有独立增量和平稳增量的过程｛X,｝称为独立平稳增量过程。常见的独立平稳增

量过程有Poisson过程和Wiener（维纳）过程。

2、计数过程

定义3-5

如果用｛NJ表示（0,"内随机事件发生的总数，则随机过程｛NJ称为

一个计数过程。因此，计数过程满足

（1）”0；

（2）N,是非负整数值；

（3）对于任意两个时刻04%<三，有&</；

(对于任意两个时刻乙等于时间区间

4)04IZNt12Ttl=Ntf2—N,l\

中发生的事件个数。

如果计数过程｛NJ在不相交时间区间中发生的事件个数是独立的，

则称计数过程有独立增量。

3、Poisson过程的两个定义

定义3-6

设随机过程｛NJ是一个计数过程，如果满足

(1)N0=0；

(2)｛NJ是独立增量过程；

(3)对于任意0Ws<，，增量Nw=N,一此具有参数4(一s)

(4>0)的Poisson分布,即

P〈N,—N,=k｝=/岭)M=0』,2,…

则称｛NJ为具有参数4的齐次Poisson过程。

注：Poisson过程有平稳增量且有(2)=力，并称％为此过程的速率或强度，即单.位

时间内发生的事件的平均个数。

定义3-7

设随机过程｛NJ是一个计数过程，参数为〃4〉())，如果满足

(1)乂=0；

(2)过程有平稳的独立增量；

(3)P{N〃=1}=2h+

(4)P{Nh>l}=o(h),h>0

则称{Nj为具有参数力的齐次Poisson过程。其中。(〃)表示当〃-0

时，对h的高阶无穷小。

定理3-1上述定义3-6与定义3-7是等价的。

4、例题

例3-4

顾客依Poisson过程{N,">0}到达某汽车站，其速率％=4人/小时。

试求：(1)N的均值、方差、自相关函数和协方差函数；(2)在

第三分钟到第五分钟之间到达汽车站的顾客人数的概率分布。

解：

(1)根据题意，强调2=4,故N的均值、方差、自相关函数和协

方差函数分别为

E(N)=Var(Nt)=4t

RQi,L)=E(M\,)=4min{44}+16AZ2

CN（4/2）=Cou（N，纥）=4min{4,，2}

第三分钟到第五分钟之间到达的人数为N35=阳-乂，所以其分布

率为

(4x2/_4

P(N3s=k)=P(N?=k)=X2312

k\一"=

例3-5

顾客依Poisson过程到达到达某商店，速率2=4人/小时，已知商店

上午9：00开门，求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计

已达到5五位顾客的概率。

解：

P（N°.5=1，必=5）=P（N。5=1,以-N。5=4）

=P（M）.5=1）・P（N2=4）

4X（0.5）'_.（4X2）4_4

=------------eIX05•----------eX2

1!4!

«0.0155

3.6平稳随机过程

1、严格平稳随机过程

定义3-8

实随机过程｛%/£为,若对任意正整数n及任意公…"〃与任意

r,有

/（七,・・・，4；4，・・・"〃）=/（%,・・・，玉；4+T,・・・"〃+T）

或

/（.%•♦・,玉；乙，・・・/〃）=/（.%・・・,4；乙+T,・・・/〃+丁）

即随机过程｛XJ的有限分布在时间的平移下保持不变，则称｛XJ为

严格平稳随机过程C

2、严格平稳随机过程的一些特性

如果｛%"£乃是严平稳随机过程,则它的一维概率密度与时间无关,

令了=一4，则有

f（%工）=/（-；:+/=/（%；0）=/（x,）

由此可求得随机过程｛X,｝的均值、矩和方差皆与时间无关的常数。

严平稳随机过程｛X,,zw7｝的二维概率密度只与的时间间隔

芍-4有关，而与时间起点无关，令汇=一小则有

/（与,/；，］,，2）=/（5,九2"1+7,，2+力=/（与，工2；°，，2一乙）

这表明二维概率密度仅依赖于时间差，2-心而与时刻无关。由

此可得•，随机变量｛XJ的自相关函数、协方差函数只是单变量T的函

数。

3、宽平稳随机过程

定义3-9

若实随机过程｛X,,ZE7｝满足：对于任意，£丁有

(1)E(X)=从;

(2)R(，J+T)=£(X,X,+K)；

(3)E(X；)<+oo

则称｛X』为宽平稳随机过程。

注：由于宽平稳随机过程的定义只涉及与一、一维概率密度有关的数字特征，所以一

个严平稳随机过程只要二阶原点矩有界，则它必定是宽平稳的。但是反之不一定成

立，但正态随机过程。因为正态随机过程的概率密度是由均值和自相关函数完全确

定的，所以如果均值和自相关函数不随时间平移而变化，则概率密度也不随时间的

平移而变化，于是一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳的。

4、平稳随机过程自相关函数的性质

性质3-1

设“7)为平稳过程｛X』的自相关函数，则

(1)平稳过程的自相关函数在7=0上是非负值，即一(0)20；

(2)自相关函数是变量7的偶函数，"r)=N—r)；

(3)自相关函数在7=0时取到最大值，r(0)>|r(r)|；

(4)如果平稳过程｛X,｝满足条件X,=X,+「，则称它为周期平稳过程,

其中T为过程的周期；周期平稳过程的自相关函数必为周期函

数，并且它的周期与过程的周期相同；

(5)如果平稳过程｛X,｝含有一个周期分量，则厂(为也含有一个同周

期的周期分量；

(6)(非负定性)对于任意有限个.…心£丁和任意的实数%・・・,巴,

有

宜———)4勺之。

/=1j=l

(7)，《)在G上连续的充分必要条件为其自相关函数/•«)于汇=0处

连续。

5、平稳随机过程的相关系数

令

.C(r)r(r)-//2

n(rP(T)=-------=--------------

C(0)02

夕《)称为随机过程｛X』的自相关系数，简称相关系数。

相关系数表现了随机过程在两个不同时刻随机变量之间的线性相关

程度，它满足0(0)=1及|夕")|<1。

WB*Poi//onUS

4.1齐次Poisson过程到达时间间隔于等待时间的分

布

八

强度为％的齐次Poisson过程｛N,J20｝的到达时间间隔序列

｛X“,〃=1,2,…｝是独立同分布的随机变量序列，且是具有相同均值

’的指数分布。

A

iE：

事件｛X>f｝发生当且仅当Poisson过程在区间［（V］内没有事件发

生，即事件｛%>f｝等价于｛N,=0｝,所以有

pg>n=p（N］=o）=i

因此，X具有均值为'的指数分布，再求已知X的条件下，兀的

A

分布。

P（X2>t\Xi=s）=尸（在（s,s+t］内没有事件发生|%=>

（由独立增量性）P（在（s,s+t］内没有事件发生）

（由平稳增量性）P（在（0,t］内没有事件发生）

上式表明X2与X,相互独立，而且X2也是一个具有均值为二的指数

分布的随机变量，重复同样的推导可以证明定理4・1的结论。

认定

等待时间S〃服从参数为n,几的「分布，即分布密度为

/…"篙4°

证:

因为第n个事件在时刻t或之前发生当且仅当到时间t已发生的

事件数目至少是n,即事件是等价的，因此

P⑸W/)=尸(N,*)=£"力”

上式两边对t求导得S〃的分布密度为

（加）“

，⑴谆2竿十》“U-D!

3尸

=4/t>0

5—1）!’

注：定理4-2又给出了定义Poisson过程的另一种方法。从一列均值

为1”的独立同分布的指数随机变量序列｛X“,〃zi｝出发，定义第n个事

件发生的时刻为S.，则

工=乂+匕++X”

这样就定义了一个计数过程，且所得计数过程｛N/N。｝就是参数为几的

Poisson过程。

定

条件随机变量（X12=1）-u（oj）,即在区间［0/内为均匀分布。

证：

对5<£,（乂|2=1）的分布函数为

P(X\Ws,NQ)

P(X<s\N

ll~P(M=1)-

_P（在［0,s］内有一个事件发生，在（0,/］内没有事件发生）

"P（N,=1）

_P（在［0,s］内有一个事件发生）P（在（0,”内没有事件发生）

=-1）

P(N、=l)P(N.、=0)

尸(M=1)

Ase~A(t-s)

加一力

这说明（“］乂=1）在［0口上服从均匀分布。

心JR庵统计■

设匕,・・・,％是n个随机变量，如果九.）是4・・・,%中第k个最小值,

%=1,・・,〃则称几，…，几）是对应与几…，工的顺序统计量。

九4-4

已知在N,=〃的条件下，n个事件来到的时刻号,・•・,的联合密度与

n个独立的［0月上均匀分布随机变量的顺序统计量的联合密度相同,

即条件随机向量（席・-,|乂=冷具有联合分布

几।

/鲁，・・・，♦〃）=/

证:

设0=%"<,・・<"V%］=，，则把［0/］分成n+1个小部分，于是

有

Pg_AZ,.<S;<ti9l<i<n\=n)

尸(M“=l,N*3M=0,W2"j=0)

P(N,=n)

（口必仔一次）"”「鹏）6一他32-，）...1（-〃）

i=l

e"(力)〃/加

_*_________________

""力（"）〃/拉！

=加（立纨）〃〃

/=|

所以对给定2=九（§,…,S〃）的n维条件密度函数是

limP(f-Af<S.<f,1</</?|N=A2)/1-!Ar.

maxAr：->0A,

/=l

/?!

n

得证。

6,H

N«)和小⑺是相互独立的随机变量，分别服从均值为力〃和

力(1-p)的Poisson分布,其中

p=11P(s)ds

/JO

证：

考虑［0/中发生的任一事件，如果它在S时刻发生，则它是1型的概

率为P(s)。由定理4-4,时刻s服从［0」］上的均匀分布，所以

p=P(一个事件发生且是1型)=；£P(s)ds

而且与其他事件归为什么类型相互独立。因此

P(N、(r)=几,N2(t)=m|NQ)=〃+m)

正好是〃+加次Bernoulli试验中，1型事件出现n次，2型事件出现

m次的概率。故有

,"+机、

P(N］⑺=",N)⑺=m\N(t)=n+ni}=p"(1-p)m

所以有

P(N\⑴=〃,N2(r)=rri)

ZP(N]⑴=&N't)=m\w)=k)P(N⑴=k)

-P(N\(r)=/?,N2(r)=mIN⑺=/?4-m)P(N(t)=n+m)

n+m

—Alp［力.ms［加l-p）T"

c-----•e-----------

n!ml

由此证明了定理4-5的结论成立。

7、例题

例41

设乘客按参数力的Poisson过程来到火车站，若火车在小时刻启程，

计算在时间（0小）内到达的乘客的等待时间总和的期望。

解：

设按照Poisson过程到达的第一位乘客的到达时间为5,因此其等待

时间为4-SJ,而第i位乘客的等待时间为&-SJ,在时间（0,%）

内共来了N,位乘客，所以这些乘客总的等待时间为

之&)-号)

要求的就是上式的数学期望。为此先求条件期望

仇2/-s,）此=n]=E\±（t（）-S,）叫=n]

/=1i=l

=%-现力SjM=n]

/=1

令■，・・,,U”为互相独立的（o,，o）上的均匀分布随机变量，由定理4.4

有

E（tsW0=〃）=E0UQ

i=]i=l

=E（tu）=+

i=\乙

因此

i=\zz

从而

，，MoNt

闿Z（「Sj）]=以仇Z&-SJ|Mo]]=E（^）

i=\i=\乙

孕（%）f：

容易看出，旅客平均总等待时间和片成正比，比例因子的大小决定于

Poisson过程的强度％o

例4-9

（无穷个服务员Poisson排队服务系统）设顾客到达服务台的过程式

强度为几的Poisson过程，每个顾客到达后的服务时间丫是独立同分

布的随机变量，其分布函数为G"）。服务员的人数是无穷多，即表示

顾客到达服务台后立即接受服务而无需等待。为了研究这一服务系统

的运转效率，需要管理者知道时间T已经服务完的顾客数与未服务完

的顾客数的联合分布。设NQ)表示到时刻t已经服务完的顾客数，

小⑺表示到时刻t未服务完的顾客数。假设顾客与时刻s到达，s4，，

那么他到t时刻已经服务完毕就意味着他的服务时间Y<t-s,故其

相应的概率为由上面的定义有

P(s)-G(t-s\s<t

根据定理4-5,可得到N⑺和的联合分布及独立性，而且N")

(已经服务完毕的顾客数)的分布是均值为

E(M⑴)=力〃=可:G(t-s)ds=可：G(y)dy

的Poisson分布。N?Q)(在时刻t未服务完毕的顾客数)的分布是均

值为

的Poisson分布o

4.2非齐次Poisson过程和复合Poisson过程

1>非齐次Poisson过程

定义4・1

计数过程｛NtJ>01称为具有强度2(/)(/>0)的非平稳或非齐次

Poisson过程，如果

(1)N0=0(即仍从时刻o开始计数)；

(2)｛MINO｝具有独立增量；

(3)P(Nt+h-Nt)>o(h);

(4)­=1)=〃加+。(/0。

其中，。(用)表示当。时，对h的高阶无穷小。

蚤症

若｛N,0｝是强度为的)的非齐次Poisson过程，令

m(t)=[2(s)ds

JO

则

[加。+S)一加«)r⑺]

P(N小—N『k)=一L

k\

其中，k=12,…。

即M+s-Nt具有均值为m(t+s)-根«)的Poisson分布。

SBP©l//©nttS

设｛基,〃21｝是独立同分布的随机变量序列，｛乂,£20｝是强度为之的

Poisson过程，且与｛。〃，1｝相互独立。令

工=*〃

n=\

则称随机过程｛，90｝为复合Poisson过程。

心定・务7

2

设匕二2薮是一个复合Poisson过程，则对于任意^>0,

”=1

（1）｛匕｝是一个独立增量过程；

（2）匕的特征函数为

（pYt=exp｛2f（^（w）-l）｝

其中，%（〃）绊（"）/=口）是随机变量标的特征函数;

若若回）<8,则有E（Yt）=»双分%«匕）=%E&）。

入M

例4-5（保险公司保险金储备问题）

设某保险公司人寿保险者在时刻小巧，…时死亡，其中乙<，2<…是

随机变量（因为投保者何时死亡是一随机现象），在乙时刻死亡者的

家属持保险单可领取保险金短。设｛C，〃=12,・・・｝是一独立同分布

的随机变量序列，令M表示在（0,内死亡的人数，｛N,,，20｝是强

度为2的Poisson过程，则保险公司在（0/］时间内应准备支付的保险

金总金额为

n=l

显然化,，20｝为一复合Poisson过程。若短服从指数分布

…、U-av,x>o

则由前面的定理4-7知，在（0,时间内保险公司平均支付的赔偿费为

E（Y）=AtE^）=—

la

又因为E（j2）=2/a2,所以方差（或支付赔偿费的偏差）为

"工）=加夙"）二三

6T

因为指数分布随机变量的特征函数为

/、a

/®）=-----

a-iu

所以由定理4-7可得匕的特征函数为

.va

(p(M)=)=exp{»[o(〃)一1]}=exp{2r(--------1)}

Y':a-in

例4«（商店的营业额问题）

设每天进入某商店的顾客数为一Poisson过程｛N">0｝,进入该商

店的第n位客人所花的钱为短元。设｛4小=1,2,・・・｝是一独立同分

布的随机变量序列，且与｛N220｝互相犯立，则在（0刁内该商店的

营业额可表示为

y/=£^,r>o

n=\

显然化"20｝为一复合Poisson过程。

*£«morkov链

5.1Markov链的基本概念

I.MarkovttWtmSW

定义S-l

考虑只取有限个或可数个值的随机过程｛X〃,〃=0,l,2,♦.｝。把过程所

取可能值得全体称为它的状态空间，记之为E,通常假设

石=｛0,1,2,…｝。若X〃=z♦就说“过程在时刻n处于状态i”，假设每

当过程处于状态i,则在下一个时刻将处于状态j的概率是固定的外,

即对任意时刻n

P（X，M=j\X“=i）=Pij

若对任意状态i„_1（i,，及任意的n20）有

P(X向=j\Xn=*Xn_}=*，…,X1,X0=2=P(Xn+}=j\Xn=i)

这样的随机过程称为Markov链。

称矩阵

Ax)A)iP02Poj

AoAiPn…PM

■

*••■•■*■

AoAiPi2…Pij

是一步转移概率矩阵，简称为转移矩阵。

由的定义可知，这是一种带有平稳转移概率的Markov链，也称作

时间齐次Markov链或简称时齐次Markov链。

■,■■

例5・1(直线上的随机游动)

考虑在直线上整数点上运动的粒子，当它处于位置j时，向右转移到

j+1的概率为p,而向左移动到j・l的概率为q二p.l,又设时刻()时粒

子处在原点，即X0=0。于是粒子在时刻n所处的位置｛X〃｝就是一

个Markov链，且具有转移概率

P，k=j+T

Pjk=\q,k=j-\

0,其他

当〃=q=g时，称为简单对称随机游动。

例5』（排队模型）

考虑顾客到服务台排队等候服务，在每个服务周期中只要服务台前有

顾客在等待，就要对排队在队前的一位顾客提供服务，若服务台前无

顾客时就不实施服务。设在第n个服务周期中到达的顾客数为一随机

变量匕，且序列｛匕｝是独立同分布随机序列，即

P（匕=左）=",%=0,1,2,・・•，且£p«=l

k=0

设X〃为服务周期n开始时服务台前顾客数，则有

1+工，若X〃21

n+11工，若x〃=0

此时｛X〃,〃21｝为一Markov链，其转移概率矩阵为

-p°PlPl〃3P4・,「

PoP\PiPyP4

0

p=A)PxPlP3o

°oPoPlPl

・••••

・••••••••

例5-8（生灵镰）

观察某种生物群体，以X〃表示在时刻n群体的数目，设为i个数量

单位，如在时刻n+1增生到i+1个数量单位的概率为々，减灭到i-1

个数量单位的概率为q,保持不变的概率为彳=1-(4+白)，则

｛X〃,〃20｝为齐次马尔可夫链，£=｛0,1,2,.｝,其转移概率为

0，j=i+l

Pij=\ri^=J

3。=0),称此马尔可夫链为生灭链。

设随机过程｛x“｝满足：

(1)*“=/因1，0(〃21),其中了:6七-"且多取值在E

上；

(2)｛/，吐1｝为独立同分布随机变量，且X。与但,〃21｝也相互独

立，贝！J｛X〃｝是Markov链，而且其一步转移概率为，对于任意

i,j£E,

Pg=P(fgJ=j)

证：

设〃21,由上面(1)、(2)可知，品।与%,乂2，・・・/〃互相独立，所以

有

尸(X向=jix〃=i,x,ir”・♦,x°=%)

((〃)

=P/X4x=j\xn=i,Xg=z0)

=尸(/(*”+i)=/|X”=i,X,i=*，…,X。=i。)

同理

P(x卅=J\x〃=i,x,i=心，・・・，X。i)=P(X,m=j\X〃=i)

即｛X〃｝是Markov链，由时间齐次性，其一步转移概率为

Pij=P(f@&)=j)

于是定理5-1得证。

心HSt

时齐次Markov链｛X“｝完全由其初始状态的概率分布

〃j=P(Xo=i),i=l,2,…

和其转移概率矩阵P=(%)所确定。

证：

对于任意4%，…，,〃£?，计算有限维联合分布，由概率的乘法公式

及马氏性可知

p(x°=i。，x=2；,・・・,x“=i”)

=P(X°=i°,X]=4,…,X〃T=*)P(X〃MIX0=i°,Xi=*)

=P(X。=i。,XI=4,…,x“T=*)P(X〃=i“Ix,,T=H

=P(X0="』,.・・,X.T=*)PM

=Pi。Pi岛P柱…PM

定理5・2得证。

九M

例5・9（二项过程）

设在每次试验中，事件A发生的概率为爪0<〃<1）,独立地重复进

行这项试验，以X〃表示到第n次为止事件A发生的次数，则

｛X”,〃=1,2,…｝是一个独立平稳增量过程3

实际上，由二项分布知识可知，X“服从二顼分布8（〃,p）,故称此

为二项过程。若令增量

匕=X,「X5〃=1,2,♦・・

易见％是第n次试验中事件A发生的次数，其概率为

P（匕=0）=1—p,P（匕=l）=p,〃=l,2,・・・

且

X〃+m一X”~BQn,p）,〃=1,2,・・・

即｛X〃,〃21｝为一个独立平稳增量过程，当然是一齐次Markov过程。

S.tChopmaft-Kolmo9ofoy方程

1、定理5-3(Chapman-Kolmogorov(切普曼•柯尔莫哥洛夫)方程,

C-K方程)

对任何整数〃z,〃20,有

*+〃)=ZP7P黑

keE

或

p(w+w)_p(w)*p(")

证：

这里只需要证明

尸(")―尸p("T)

成立，再依次递推即可证明定理5-3。因为

琛)=P(Xn=j\XQ=i)

=YP(Xn=j^Xl=k\X.=i)

k=0

=£P(X1=k\XQ=i)P(Xn=j\X.=i,X.=k)

k=0

二.P(X]=>X°=i)P(X〃=j|X|=外(由马氏性)

k=0

=yPpikP*kjT)

k=0

根据矩阵的乘法规则，定理得证。

注：定义m步转移概率〃丁)

P“=P(X“+『j\X,=i