苏科版数学七年级上册同步专题热点难点练习 专题23 有理数的运算（专项拔高卷）学生版+解析版

2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习

专题2.3有理数的运算（专项拔高卷）

考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.50

姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

评卷人得分

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2023春•丹阳市校级期末）用简便方法计算：-ix（616）2-4X（104）2的结果为（）

4

A.3.36B.4.26C.5.16D.5.06

2.（2分）（2023春•仪征市期中）代数式5、5s+55+5$+55化简的结果是（）

A.52B.55C.56D.5+55

3.12分）（2022秋•江都区期中）如图所示的程序计算，若开始输入的值为二，则输出的结果V是（）

2

/输入工/।-x（—4）—►—（—1）-------—»/输出y/

否

A.25B.30C.45D.40

4.（2分）（2022秋•梁溪区期中）按如图的程序计算，若输出的结果是-3,则输入的符合要求的万有（）

5.（2分）（2022秋•钟楼区校级月考）如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续

奇数的和.例如父=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,……已知才改写成的若干个连续奇数和的式

子中，有一个奇数是2023,则a的值是（）

A.45R.46C.52D.5R

6.（2分）（2021秋•海门市校级月考）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理

数运算题，你认为做对的同学是（）

甲：9-324-8=04-8=0

乙：24-（4X32）=24-4X6=0

丙：（36・12）+2=36x2・12x2=16

T：（-3）24-AX3=94-1=9

3

A.甲C.丙D.T

7.（2分）（2022秋•虎丘区校级月考）如图，小明在3X3的方格纸上写了九个式子（其中的〃是正整数）,

每行的三个式子的和自上而下分别记为4,42,4,每列的三个式子的和自左至右分别记为笈，民，随

其中值可以等于732的是（）

2"-22"-42n—6

2n-82”-102n—12

2n—142r'—162n—18

鸟坊

A.4B.BxC.AzD.笈

8.（2分）（2022秋•海陵区校级期中）定义一种对正整数〃的“尸运算：①当〃为奇数时，结果为3加5；

②当〃为偶数时，结果为牛（其中々是使与为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如I,取〃

2k2k

=26,则：

若〃=49,则第2022次“产运算”的结果是（）

26-J®.__>13—->44——>11...

第一次第二次第三次

A.31B.49C.62D.98

9.（2分）（2021秋•句容市月考）“△”表示一种运算符号，其意义是：a/\b=2a-b,如果万△（1A3）=

2,那么x等于（）

10.（2分）（2020秋•梁溪区校级期中）定义一种对正整数〃的“尸运算”:①当〃为奇数时，结果为3m5；

②当〃为偶数时，结果为牛：其中攵是使牛为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取〃=26,

2k2k

则

若〃=898,则第898'次“6运算”的结果是（）

A.488B.1C.4D.8

评卷人得分

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（2分）（2018秋•常州期中淀义一种新的运算“*”，并且规定：并仁，-20.贝ij（-3）*（-1）=.

12.（2分）（2022秋•江阴市校级月考）如图所示是计算机程序计算，若开始输入x=-l,则最后输出的结

果是

13.（2分）（2022•亭湖区校级三模）小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费

为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减

31元，满100元减45元，如果小宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐总

费用最低可为元.

菜品单价（含包装费）数量

水煮牛肉（小）30元1

醋溜_L豆丝（小）12元1

豉汁排骨（小）30元1

手撕包菜（小）12元1

米饭3元2

14.（2分）（2016秋•丹徒区校级月考）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至

13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.将下

面的四张扑克牌凑成24,结果是=24.

（注：0表小12,K表不13.）

15.（2分）（2022秋•深阳市期中）i-算1+2-3-4+5+6-……+2021+2022-2023-2024值为.

16.（2分）（2016秋•崇川区期末）一列数：1,-3,9,-27,81,-243,其中某三个相邻数的和是

-1701,则这三个数中最大的数是.

17.（2分）（2022秋•海州区期中）如图，是计算机某计算程序，若开始输入*=-与，则最后输出的结果

3

是.

输出/

18.（2分）（2022秋•锡山区校级期中）阅读材料寻找共同存在的规律:有一个运算程序a㊉可以使

$6=加。，a㊉（〃。）=n-2c,如果1㊉1=2,那么2020㊉2020=.

19.（2分）（2021•宿迁模拟）已知：表示不超过x的最大整数.例：[4.8]=4,[-0.8]=・1.现定义：

{x}=x-[^],例：{1.51=1.5-[1.5]=0.5,则{3.9}+{-1.8}-{1}=.

20.（2分）（2022秋•江阴市期中）大于1的正整数勿的三次耗可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：23

=3+5,33=7+9+11,43=13+15+7+19,…，若酒分裂”后，其中有一个奇数是2023,则加的值是.

评卷人得分

三.解答题（共8小题，满分60分）

21.（12分）（2022秋•启东市校级月考）计算:

⑵冶+（+*）+（一（）一（今）；

(1)-20-(-18)+(+5)-(-9)；

⑶母4HI）X（-6。）；⑷-814-(-4)X?.(-16)；

⑷(-3)X[-5+(1-2X£)+(-2)];（6）（-199-21）X5（请用简便方法计算）.

25

22.（6分）（2023•滨湖区一模）发现：五个连续的偶数中，存在前三个偶数的平方和等于后两个偶数的平

方和.

验证：

（1）（-4）2+（-2）2+02=22+（）2；

（2）若还存在五个连续的偶数，前三个偶数的平方和可以等于后两个偶数的平方和，设中间的偶数为〃，

求〃；

延伸：

（3）是否在三个连续的奇数中，有前两个奇数的平方和可以等于后一个奇数的平方，请说明理由.

23.（6分）（2023•姑苏区校级模拟）第十四届国际数学教育大会（/C-14）会徽的主题图案有着丰富的

数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制

数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0〜7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进

制数是3X8、7义82+4X845X8°=2021,表示ICME—1A的举办年份.

（1）八进制数3747换算成十进制数是:

（2）小华设计了一个〃进制数234,换算成十进制数是193,求〃的值.

24.（6分）（2022秋•兴化市校级期末）探究规律，完成相关题目：

小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算

然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：

（+5）X（+2）=+7；（-3）※（-5）=+8；

（-3）X（+4）=-7：（+5）X（-6）=-11；

介※（+8）=8；（-8）=8；（-6）派0=6；（+6）※0=6.

小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了

聪明的你也明白了吗？

（1）观察以上式子，类比计算：

①（^）※（4）=，（4蟀（+1）=；

ZD6

（2）计算：（-2）※国※（-1）］；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步

骤）

（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选

一个运算律，判断它在（加乘）运算中是否适用，并举例验证.（举一个例子即可）

25.（8分）（2022秋•盐都区月考）类比推理是•种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得

出它们在其他特征上也可能相似的结论.比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分

子相加减，例如:11^3_2二3-2乌，我们将上述计算过程倒过来，得到

7^=2X3-3X2662X323

这一恒等变形过程在数学中叫做裂项.类似地，对于二可以用裂项的方法变形为：

4X6

不二类比上述方法，解决以下问题.

4X6246

1

（1）猜想并写出:

nX(n+1)

1111

（2）类比裂项的方法，计算:1X2+2X3+3X4+，"'59X60

（3）探究并计算:

-1X3-3X5-5X7-7X9-2021X2023

26.（8分）（2022秋•崇川区月考）［概念学习］

现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2・2・2,（-3）+（-3）

♦（-3）+（-3）等，类比有理数的乘方，我们把2・2+2写作2巴读作“2的圈3次方”，（-3）+

（-3）+（-3）+（-3）写作（-3）④，读作“（-3）的圈4次方”，一般地，把a+a+a+…+e

n-a

（aHO）写作器,读作“a的圈〃次方”.

［初步探究］

（1）直接写出计算结果：3®=,（-A）®=；

3

（2）下列关于除方说法中，错误的有；（在横线上填写序号即可）

（任何非零数的圈2次方都等于1

8.任何非零数的圈3次方都等于它的倒数

C.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数

0.圈〃次方等于它本身的数是I或-1

「深入思考1

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方

运算如何转化为乘方运算呢？

（3）归纳：请把有理数a（aWO）的圈〃（〃23）次方写成鼎的形式为：#=

（4）比较：（-2）⑧（-4）⑥；（填或“="）

(5)计算：-严+14②;④X(-7)⑥-(-48)+(-」)④

27

27.（6分）（2023春•江阴市期中）在有理数范围内定义一种新运算，规定6（x,y）-灯（a为常数）,

若尸（1,2）=-1.

（1）求尸（1,-1）；

（2）设「尸（勿，〃）+2,N=FQn,-m）-2n,试比较M,川的大小；

（3）无论勿取何值，尸（加〃，m-n）=加£+1都成立，求此时£的值.

28.（8分）（2021秋•高港区期中〉概念学习

规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2+2+2,(-3)-T(-3)4-(-

3)4-(-3)等.类比有理数的乘方，我们把24-24-2记作2③，读作“2的圈3次方”，(-3)4-(-3)

♦(-3)+(-3)记作(-3)④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把a+a+a…+a(aW0)记作

尹，读作“a的圈〃次方”.

初步探究

(1)直接写出计算结果：2®=,(・2).=；

2

(2)关于除方，下列说法错误的是

4.任何非零数的圈2次方都等于1：

8.对于任何正整数〃，产=1;

C.3④=4③

2负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数.

深入思考：

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算

如何转化为乘方运算呢？

(1)试一试：仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成鼎的形式.(-3严=；

5@=；(」)伽=

2

(2)想一想：将一个非零有理数a的圈〃次方写成箱的形式等于：

(3)算一算：244-23+(-8)X2③.

幕的形式

2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习

专题2.3有理数的运算（专项拔高卷）

考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.50

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2023春•丹阳市校级期末）用简便方法计算：工乂（616）2-4X（104产的结果为（）

4

A.3.36B.4.26C.5.16D.5.06

解:.X（6.16）2-4X（1.04）2

=——X(6.16)'•—X16X(1.04)

44

---1X42X(1.04)

,ly(6.16):

44

,lx(6.16):2--X(4.16)2

44

=—X[（6.16）2-（4.16）2]

4

=—X[（6.16+4.16）X（6.16-4.16）]

4

=JLX（10.32X2）

4

=—X20.64

4

=5.16.

故选：C.

2.（2分）（2023春•仪征市期中）代数式55+55+55+5*55化简的结果是（）

A.52B.55C.56I）.5+55

W：原式=5'义5=5，

故选：C.

3.12分）（2022秋•江都区期中）如图所示的程序计算，若开始输入的值为」，则输出的结果了是（）

否

A.25B.30C.45D.40

^：(-A)x(-4)-(-：)=2+1=3<10,

2

再次输入运算：

3X(-4)-(-1)=-12+1=-1K10,

再次输入运算：

(-11)X(-4)-(-1)=44+i=45>10,

・•・输出的结果“5,

故选：C.

4.(2分)(2022秋•梁溪区期中)按如图的程序计算，若输出的结果是-3,则输入的符合要求的才有()

X2——>|+(-9)|~f/输出/

A.1个B.2个C.3个I).无数个

W：如果输入的数经过一次运算就能输出结果，则

2田(-9)=-3,

解得x=3,

如果输入的数经过两次运算才能输出结果，则第1次计算后的结果是3,

于是2户(-9)=3,

解得x=6,

如果输入的数经过三次运算才能输出结果，则第2次计算后的结果是6,第1次计算后的结果是手,

综上所述，X的值有无数个.

故选：D.

5.(2分)(2022秋•钟楼区校级月考)如果a是大于1的正整数，那么a的二次方可以改写成若十个连续

奇数的和.例如新=3+5,3=7+9+11,43=13+15+17+19,……已知才改写成的若干个连续奇数和的式

子中，有一个奇数是2023,则a的值是()

A.45B.46C.52D.53

解：V23=3+5,

33=7+9+11,

1=13+15+17+19,

53=21+23+25+27+29,

・••才分裂后的第一个数是a（a-1）+1,且共有a个奇数，

V45X（45-1）+1=1981,

46X（46-1）+1=2071,

・•・奇数2023是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，

，a=45,

故选：A.

6.（2分）（2021秋•海门市校级月考）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理

数运算题，你认为做对的同学是（）

甲：9-32:8—0：8—（）

乙：24-（4X32）=24-4X6=0

丙：（36・12）：2=36x2・12x2=16

233

T：（-3）24-AX3=94-1=9

3

A.甲B.乙C.丙D.T

W：甲：9-32+8-9-9+8-71，原来没有做对；

8

乙：24・（4X32）=24・4X9=-12,原来没有做对：

丙：（36-12）+3=36x2-12x2=16,做对了；

233

J-.（-3）2H-AX3=94-AX3=81,原来没有做对.

33

故选：C.

7.（2分）（2022秋•虎丘区校级月考）如图，小明在3X3的方格纸上写了九个式子（其中的〃是正整数），

每行的三个式子的和自上而下分别记为4,及，屈，每列的三个式子的和自左至右分别记为笈，氏，氏,

其中值可以等于732的是（）

2"-22"-42n—64

2n-82n-102n-12

2n-142n-162n—18/

当B2B:i

A.A\B.B\C.A>D.Bs

解:4=2"-2+2"-4+2'-6=732,

整理可得：2=248,

不为整数；

%=2"・8+2”・10+2"-12=732,

整理可得：2”一254,

・"不为整数；

8=2"-2+2--8+2”-14=732,

整理可得：2”=252,

"不为整数；

£=2"・6+2”・12+2"・18=732,

整理可得：2”=256,

"=8：

故选：I）.

8.（2分）（2022秋•海陵区校级期中）定义一种对正整数〃的"U'运算：①当〃为奇数时，结果为3加5；

②当〃为偶数时，结果为斗（其中《是使斗为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取〃

2k2k

=26,则：

若/7=49,则第2022次“产运算”的结果是（）

A.31B.49C.62D.98

解：本题提供的“/•,运算"，需要对正整数〃分情况（奇数、例数）循环计算，由丁〃=49为奇数应先进

行方①运算，

即3X49+5=152（偶数），需再进行鹿）运算，

即152・23=19（奇数），

再进行KD运算，得到3X19+5=62（偶数），

再进行砥运算，即62+2i=31（奇数），

再进行/①运算，得到3X31+5=98（偶数），

再进行@运算，即98+2=49,

再进行AD运算，得到3X49+5=152（偶数）,…,

即第1次运算结果为152,…，

第4次运算结果为31,第5次运算结果为98,…，

可以发现第6次运算结果为49,第7次运算结果为152,

则6次一循环，

2022+6=337,

则第2022次“户运算”的结果是49.

故选：B.

9.（2分）（2021秋•句容市月考）“△”表示一种运算符号，其意义是：aBb=2a-b,如果兔\（1A3）=

2,那么x等于（）

A.1B.—C.—D.2

22

•・•必（1A3）=2,

,¥△（1X2-3）=2,

g（-1）=2,

2x-（-1）=2,

2rH=2,

•・•，X_—1•

2

故选：B.

10.（2分）（2020秋•梁溪区校级期中）定义一种对正整数〃的“厂运算”：①当〃为奇数时，结果为3加5：

②当〃为偶数时，结果为牛：其中A是使牛为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取〃=26,

2k2k

则

若/7=898,则第898次“厂运算”的结果是（）

A.488B.1C.4I）.8

解：由题意可知，当〃=898时，历次运算的结果是：

-^=449.3X449+5=1352.^3~=169,3X169+5=512,-^=1.lX3+5=8,鸟=1.…

2232923

故512-1-8-1-8f…，即从第五次开始1和8出现循环，奇数次为1,偶数次为8,

故当/7=898时，第898次运算”的结果是8.

故选：D.

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（2分）（2018秋•常州期中）定义一种新的运算“*”，并且规定：冰方=才-2尻则（-3）*（7）=

W：（-3）*（-1）=（-3）2-2X（-1）

=9+2

=11,

故答案为：11.

12.（2分）（2022秋•江阴市校级月考）如图所示是计算机程序计算，若开始输入x=・l,则最后输出的结

果是一-22.

解：把x=-1代入计算程序中得：（-1）X6-（-2）=-6+2=-4>-5,

把*=-4代入计算程序中得：（-4）X6-（-2）=-24+2=-22<-5,

则最后输出的结果是-22,

故答案为：-22

13.（2分）（2022•亭湖区校级三模）小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费

为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减

31元，满100元减45元，如果小宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐总

费用最低可为53元.

菜品单价（含包装费）数量

水煮牛肉（小）30元1

醋溜土豆丝（小）12元1

豉汁排骨（小）30元1

手撕包菜（小）12元1

米饭3元2

解：小宇应采取的订单方式是60一份，30一份，

所以点餐总费用最低可为：

（30X2-31）+（12X2+3X2-12）+3X2

=（60-31）+（24+6-12）+6

=29+18+6

=53（元）.

所以他点餐总费用最低可为53元.

故答案为：53.

14.（2分）（2016秋•丹徒区校级月考）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至

13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.将下

面的四张扑克牌凑成24,结果是12X[3-]（答案不唯）=24.

（注：。表示12,4表示13.）

解：如：12X[3-（13+13）:=24（答案不唯一）.

故答案为：12X[3-（134-13）]（答案不唯一）.

15.（2分）（2022秋7栗阳市期中）计算1+2-3-4+5+6-......+2021+2022-2023-2024值为二2024

解：1+2-3-4+5+6-……+2021+2022-2023-2024

=-4-4-...-4（共计个-4）

4

=506X（-4）

=-2024.

故答案为：・2024.

16.（2分）（2016秋•崇川区期末）一列数：1,-3,9,-27,81,-243,其中某三个相邻数的和是

-1701,则这三个数中最大的数是729.

解:设最小的数为（-3）",

则（-3）”+（-3）融+（-3）-1701,

解得（-3）』-243=（-3）5,

所以这三个数分别是（-3）5,（-3）:（-3）I

则这三个数中最大的数是（-3）6=729.

17.（2分）（2022秋•海州区期中）如图，是计算机某计算程序，若开始输入*=-与，则最后输出的结果

3

是-7.

解：当输入尸■区时，

3

-葭3-（-2）

3

=-5+2

=-3>-5,

所以再次输入x=-3,

-3X3-（-2）

=-9+2

=-7<-5,

・•・输出-7,

故答案为：-7.

18.（2分）（2022秋•锡山区校级期中）阅读材料寻找共同存在的规律:有一个运算程序a㊉可以使（疗c）

㊉〃="c,a㊉（>c）=n-2c,如果1^1=2,那么2020㊉2020=・2017.

解：由（济。）㊉6="c,a㊉（加c）=〃-2。可得出,

(a+c)㊉Z?=a㊉9。=加。，(ZH-C)b-2c=n-2c,

因为1缶1=2,

所以(1+2019)®1=1©1+2019=2+2019=2021,

即2020©1=2021.

又因为2020㊉(1+2019)=2020©1-2X2019=2021-2X2019=2021-4038=-2017,

所以2020㊉2020=-2017.

故答案为：-2017.

19.(2分)(2021•宿迁模拟)已知：[x]表示不超过x的最大整数.例：[4.8]=4,[-0.8]=-1.现定义：

{x}=x-[%],例：{1.5)=1.5-[1.51=0.5,则{3.9}+{-1.8}・“}=1.1.

解：根据题意可得原式=(3.9-3)+[(-1.8)-(-2)]-(1-1)=0.9+0.2=l.1；

故答案为：1.1

20.(2分)(2022秋•江阴市期中)大于1的正整数/〃的三次骞可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：23

=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,若/产分裂”后，其中有一个奇数是2023,则的值是45.

解:V23=3+5,3'=7+9+11,43=13+15+17+19,•••,

・•・/可以分解为/〃个连续奇数的和，且第一个奇数为2[2(2・3+…+m-1)-1]+1=〃”研1,

•.53“分裂”后，其中有一个奇数是2023,当/=45时，层-㈤4=1981,当加=46时，层-研1=2071,

/.777=45,

故答案为：45.

三.解答题(共8小题，满分60分)

21.(12分)(2022秋•启东市校级月考)计算：

(1)-20-(-18)+(+5)+(-9)；

⑵-5-1-+(+2y)+(-l-j)-(-y);

⑶(I■考41)X(-60)；

o1Z10

(4)-814-(-吟)(-16)；

⑸(-3)X[-5+(l-2Xy)-5-(-2)]*

(6)(-199空)X5(请用简便方法计算).

解：(1)-20-(-18)+(+5)+(-9)

=-20+18+5+(-9)

=-6；

⑵-5-|-+(+2y)+(-1-^-)-(-y)

=-5-^+2—+(-1A)+A

4747

=[-5当(-1-1)]+(2，+&

4477

=-7+3

=-4；

⑶《o磊IN亲10)x(-60)

=—X(-60)--X(-60)-3x(-60)

31215

=・40+55+56

=71；

⑷-81+(-2^)(-16)

=-81X(-A)xAx(-A)

9916

=-1；

(5)(-3)x[-5+(l-2X-1)+(-2)]

=(-3)X[-5+(1-)X(-A)]

32

=(-3)X[-5+(--)X(-A)]

32

=(-3)X(-5+—)

6

=3X5-3X-i

6

—lb"一

2

=29.

2，

(6)(-199—)X5

25

=(-200+—)X5

25

=-200X5+—X5

25

=-1000+—

5

=-999—.

5

22.（6分）（2023•滨湖区一模）发现：五个连续的偶数中，存在前三个偶数的平方和等于后两个偶数的平

方和.

验证：

（1）（-4）2+（-2）2+02=22+（4）2；

（2）若还存在五个连续的偶数，前三个偶数的平方和可以等于后两个偶数的平方和，设中间的偶数为〃，

求〃；

延伸：

<3）是否在三个连续的奇数中，有前两个奇数的平方和可以等于后一个奇数的平方，请说明理由.

解:（1）根据题意得：（-4）2+（-2）2+02=22+42；

故答案为:4；

（2）设中间的偶数为力其余为〃-4,2,/?+2,〃+4,

根据题意得：（〃-4）2+（〃-2）2+/?2=（/计2）2+（加4）2,

整理得：W-8/7+16+3-4/?+4+^2=/?~+477+4+/72+8/7+16,

即n-24/7=0,

解得：〃=0（舍去）或〃=24,

则77=24；

（3）不存在三个连续的奇数中，有前两个奇数的平方和可以等于后一个奇数的平方，理由为：

设三个奇数中中间的一个为2〃；-1,其余为2m-3,2浒1,川为整数,

根据题意得：（2初-3）2+（2m-1）三（2加卜1）]

整理得：4万-12研9+4m--4〃计二=4衣4冰1,

即4m2-20研9=0,

解得：卬=4.5或卬=0.5,

与R为整数矛盾，故三个连续的奇数中，不存在有前两个奇数的平方和可以等于后一个奇数的平方.

23.（6分）（2023•姑苏区校级模拟）第十四届国际数学教育大会（[6所14）会徽的主题图案有着丰富的

数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制

数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0〜7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进

制数是3X8：＜+7X82+4X8'+5X80=2021,表示的举办年份.

（1）八进制数3747换算成十进制数是2023；

（2）小华设计了一个〃进制数234,换算成十进制数是193,求〃的值.

解:（1）3747=3X83+7X82+4X81+7X8°

=1536+448+32+7

=2023.

故答案为：2023；

（2）依题意有:2/+344=193,

解得〃i=9,口9二一红（负值舍去）•

故〃的值是9.

24.（6分）（2022秋•兴化市校级期末）探究规律，完成相关题目：

小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算

然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：

（+5）X（+2）=+7；（-3）※（-5）=+8；

（-3）X（+4）=-7：（+5）X（-6）=-11；

0^（+8）=8；（咫（-8）=8；（-6）派0=6；（+6）^0=6.

小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了

聪明的你也明白了吗？

（1）观察以上式子，类比计算：

①（工※（」）=_L,/）※（+i）=12；

2510—13-3-

（2）计算：（・2）※川※（・1）］；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步

骤）

（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选

一个运算律，判断它在（加乘）运算中是否适用，并举例验证.（举一个例子即可）

—)X(-2)

解：（1）①（-=7

2510,

（-2）※（+1）=-1—2,

33

故答案为：—~1-^-：

103

(2)(-2)※埼※(-1)]

=(-2)X(+1)

=-3；

（3）交换律成立,

例如：0派(-8)=8；(-8)※0=8,

•二。※(・8)=(・8)※。:

结合律不成立,

例如：(-2)X(。※口=(-2)X(+1)=-3

[(-2)※⑺※(+1)=(+2)X(+1)=3；

・•・(-2)※脂※(+1)]#-[(-2)※①※(+1)；

25.（8分）（2022秋•盐都区月考）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得

出它们在其他特征上也可能相似的结论.比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分

11323-21,我们将上述计算过程倒过来，得到二三日,

子相加减，例如:7r7

232X33X26662X323

这一恒等变形过程在数学中叫做裂项.类似地，对于可以用裂项的方法变形为：

4X6

(

4i644161）.类比上述方法，解决以下问题.

(1)猜想并写出:111

nX(n+1)-nn+1-

类比裂项的方法，计算：-411+•••1

1X22X33X459X60'

探究并计算：一1_1」+」_1

(3)_J_H+…+---------------

-1X3-3X5-5X7-7X9-2021X2023

解：(1)——1___L.

nX(n+1)nn+1

故答案为：工」7；

nn+1

”、1111

1X22X33X4•*-59X60

223345960

=1

60

60,

-1X3-3X5-5X7-7X9•--2021X2023

-----1-A7--2-0--2--2--

22023

=1011

2023,

26.（8分）（2022秋•崇川区月考）［概念学习］

现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2・2・2,（-3）彳（-3）

+（-3）+（-3）等，类比有理数的乘方，我们把2・2+2写作2③，读作“2的圈3次方”，（-3）4-

（-3）・（-3）彳（-3）写作（-3）④，读作“（-3）的圈4次方”，一般地，把