等比数列前N项和的性质

第2课时等比数列前n项和的性质1．数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍构成

，且有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)．若q＝－1，则n为偶数时，上述性质不成立．2．若数列{an}的前n项和公式为Sn＝an－1(a≠0，a≠1)，则{an}为 ．等比数列等比数列3．在等比数列中，若项数为2n(n∈N＋)，S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和，则S偶÷S奇＝q.4．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m

Sn＋qn·Sm.＝答案：B2．等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4为(

)A．28 B．32C．35 D．49解析：∵S2，S4－S2，S6－S4成等比数列∴(S4－S2)2＝S2(S6－S4)∴(S4－7)2＝7(91－S4)∴S4＝28.选A.答案：A3．在等比数列中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(

)A.B.C.D.答案：A4．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.答案：325．已知实数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn<128(n＝1,2,3，…)．[例1]

在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.[分析]

用求和公式直接求解或用性质求解．[点评]

通过两种解法比较可看出，利用等比数列的性质解题，思路清晰，过程较为简捷．迁移变式1已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.[例2]

等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.[点评]

本题应用等比数列前n项和的性质使问题迎刃而解．迁移变式2一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．[例3]

银行按规定每经过一定时间(贷款利率中的时间间隔)结算贷款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年年初贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元．两种方案的实施期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两个方案，哪个获利更多？(参考数据：1.110≈2.594,1.310≈13.786)[分析]

本题考查用等比数列求和公式解决实际问题．明确复利的含义．利用等比数列求和公式分别求出两种方案所获得的利润，再比较它们的大小．[点评]

在实际问题中，若量与量之间的比值为常数，则可构造等比数列模型，具体构造时，可从特例入手，归纳猜想出其通项公式；也可从一般入手，寻求递推关系，再求通项公式．迁移变式3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行贷款的年利息为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)．若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？解：方法1：设每年还款x元，需10年还清，那么各年还款利息情况如下：第10年付款x元，这次还款后欠款全部还清；第9年付款x元，过一年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)元；第8年付款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2元；…第1年付款x元，过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)9元．依题意得：x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9＝20000(1＋10%)10解得x＝ ≈3255(元)．方法2：第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行20000(1＋10%)－x＝20000×1.1－x，第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行[20000(1＋10%)－x](1＋10%)－x＝20000×1.12－1.1x－x，…第10次还款x元后，还欠银行20000×1.110－1.19x－1.18x－…－x，依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得20000×1.110－(1.19＋1.18＋…＋1)x＝0，解得x＝ ≈3255(元)．[分析]