向量知识点测试题及参考答案

向量知识点测试题及参考答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,k)，b=(3,1)，若a⊥b，则实数k的值为（）A.-3B.1/3C.3D.-1/32.向量u=2i-3j，v=-i+2j，则向量u+v的坐标是（）A.(1,-1)B.(-1,1)C.(3,-5)D.(-3,5)3.设a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)是两个非零向量，则下列条件中，能保证a//b的是（）A.a₁b₂-a₂b₁=0B.a₁=b₁且a₂=b₂C.存在实数λ≠0，使得a=λbD.a+b与a-b共线4.已知点A(1,2)，B(3,0)，C(-1,-2)，则向量AB•AC的值是（）A.-8B.8C.-2D.25.向量a=(1,2)，b=(x,1)，若a⊥b，则|b|的值是（）A.√2/5B.√10/5C.√5D.2√5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。6.已知向量a=(3,-1)，b=(0,1)，则向量a×b（可视为数量积）的值是_______。7.若向量u=(1,k)与向量v=(2,-1)的夹角为钝角，则实数k的取值范围是_______。8.已知a=(1,2)，b=(2,λ)，若|a+b|=√29，则实数λ的值是_______。9.在平行四边形ABCD中，点A(0,0)，B(3,1)，C(4,3)，则向量AD的坐标是_______。三、解答题：本大题共4小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10.（本小题满分15分）已知向量a=(2,1)，b=(x,-3)。（1）若|a+b|=√26，求实数x的值；（2）若a//b，求向量b的坐标。11.（本小题满分15分）已知点P(1,2)，A(2,3)，B(3,5)。（1）求向量PA和向量PB的坐标；（2）求向量PA与向量PB的夹角θ的余弦值（可用反三角函数表示）；（3）若点C在直线AB上，且PC⊥AB，求点C的坐标。12.（本小题满分15分）设u=a-2b，v=3a+b，其中a=(1,2)，b=(x,1)。（1）若u⊥v，求实数x的值；（2）求向量u+v的模长。13.（本小题满分15分）已知四边形ABCD是菱形，点A(0,0)，B(2,1)，C(3,3)，求点D的坐标。试卷答案一、选择题：1.C2.A3.C4.B5.C二、填空题：6.07.k<-2或k>1/28.-39.(1,2)三、解答题：10.（1）解：由题意，a+b=(2+x,1-3)=(2+x,-2)。则|a+b|=√((2+x)²+(-2)²)=√(x²+4x+8)。根据题意，√(x²+4x+8)=√26。两边平方，得x²+4x+8=26。解得x²+4x-18=0。因式分解，得(x+7)(x-3)=0。解得x=-7或x=3。（2）解：由题意，a//b，则存在实数λ，使得a=λb。即(2,1)=λ(x,-3)。得方程组：{2=λx,1=-3λ}。解得λ=-1/3，代入2=λx，得2=(-1/3)x，解得x=-6。所以向量b的坐标是(-6,-3)。11.（1）解：向量PA=A-P=(2-1,3-2)=(1,1)。向量PB=B-P=(3-1,5-2)=(2,3)。（2）解：cosθ=(PA•PB)/(|PA||PB|)。PA•PB=(1,1)•(2,3)=1×2+1×3=5。|PA|=√(1²+1²)=√2。|PB|=√(2²+3²)=√(4+9)=√13。所以cosθ=5/(√2×√13)=5√26/26。向量PA与向量PB的夹角θ的余弦值是5√26/26。（3）解：设点C(x,y)在直线AB上。则向量AC=C-A=(x-2,y-3)。向量AB=B-A=(3-2,5-3)=(1,2)。由PC⊥AB，得PC•AB=0。PC=C-P=(x-1,y-2)。PC•AB=(x-1,y-2)•(1,2)=(x-1)×1+(y-2)×2=0。即x-1+2y-4=0，整理得x+2y-5=0。又点C在直线AB上，直线AB的斜率k_AB=(5-3)/(3-2)=2。直线AB的方程为y-3=2(x-2)，即y=2x-1。联立方程组：{x+2y-5=0{y=2x-1将第二个方程代入第一个方程，得x+2(2x-1)-5=0，即x+4x-2-5=0，得5x-7=0，解得x=7/5。代入y=2x-1，得y=2(7/5)-1=14/5-5/5=9/5。所以点C的坐标是(7/5,9/5)。12.（1）解：由题意，u=a-2b=(1,2)-2(x,1)=(1-2x,2-2)=(1-2x,0)。v=3a+b=3(1,2)+(x,1)=(3+x,6+1)=(3+x,7)。由u⊥v，得u•v=0。u•v=(1-2x,0)•(3+x,7)=(1-2x)(3+x)+0×7=(1-2x)(3+x)。展开得3+x-6x-2x²=0，即-2x²-5x+3=0。整理得2x²+5x-3=0。因式分解，得(2x-1)(x+3)=0。解得x=1/2或x=-3。（2）解：u+v=(1-2x,0)+(3+x,7)=(1-2x+3+x,0+7)=(4-x,7)。|u+v|=√((4-x)²+7²)=√((4-x)²+49)。当x=1/2时，|u+v|=√((4-1/2)²+49)=√(7.5²+49)=√(56.25+49)=√105.25。当x=-3时，|u+v|=√((4-(-3))²+49)=√(7²+49)=√(49+49)=√98=7√2。所以向量u+v的模长是√105.25或7√2。(通常保留根式形式，√105.25≈10.254)13.解：设点D(x,y)。由菱形的性质，AB=BC，向量AB=(2,1)，向量BC=C-B=(3-2,3-1)=(1,2)。又向量AD=D-A=(x,y)，向量CD=D-C=(x-3,y-3)。由菱形的对角线互相垂直，得AB⊥CD。AB•CD=0。AB•CD=(2,1)•(x-3,y-3)=2(x-3)+1(y-3)=2x-6+y-3=0。整理得2x+y-9=0。(方程①)由菱形的对角线互相平分，得AO=CO，其中O是对角线交点。O是A和C的中点，也是B和D的中点。向量AO=O-A=((3+0)/2,(3+0)/2)=(3/