定积分典型试题与详细答案解析

定积分典型试题与详细答案解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：（每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设函数f(x)在区间[a,b]上有界，下列说法正确的是（）A.若f(x)在[a,b]上连续，则∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>f(x)dx存在且为定值。B.若f(x)在[a,b]上有定义，则∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>f(x)dx存在。C.若∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>f(x)dx存在，则f(x)在[a,b]上连续。D.若f(x)在[a,b]上有间断点，则∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>f(x)dx必定不存在。2.下列等式中，正确的是（）A.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>f(x)dx=∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>f(t)dt（a,b,c为常数）B.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>[f(x)+g(x)]dx=∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>f(x)dx+∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>g(x)dxC.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>cf(x)dx=c∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>f(x)dx（c为常数）D.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>f(x)dx≥0（若f(x)在[a,b]上非负）3.设F(x)是函数f(x)=xsinx的一个原函数，则F(x)在x=π/2处的导数F'(π/2)等于（）A.πB.-πC.1/2D.-1/24.计算定积分∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>sin2xdx的值等于（）A.-cos2x|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=cos2π-cos0=0B.-1/2cos2x|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=-1/2(cos2π-cos0)=0C.1/2(1-cos2x)|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>D.1/2(cos0-cos2π)5.下列反常积分中，收敛的是（）A.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>1/xdxB.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>e<0xE2><0x82><0x99>dxC.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>1/x<0xE2><0x82><0x82>dxD.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>1/(1+x<0xE2><0x82><0x82>)dx二、填空题：（每小题5分，共15分。）6.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)≥0，则定积分∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>f(x)dx的几何意义是区间[a,b]上以f(x)为曲边的曲边梯形的__________。7.函数F(x)=∫<0xE2><0x82><0x98>^<0xE1><0xB5><0xA4>tsin(t<0xE2><0x82><0x82>)dt的导数F'(x)等于__________。8.计算定积分∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>(x^2+1)dx=__________。三、计算题：（每小题8分，共32分。）9.计算定积分∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>x(1-x)dx。10.计算定积分∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>sinxcosxdx。11.计算定积分∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>xe<0xE2><0x82><0x99>dx。12.计算定积分∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>(1/x)dx。四、应用题：（每小题10分，共20分。）13.计算由曲线y=x^2和y=x围成的平面图形的面积。14.计算由曲线y=√x和直线y=x/2以及y轴围成的平面图形绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积。五、选择题：（每小题4分，共12分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得4分，部分选对得2分，有错选或不选得0分。）15.下列说法中，正确的有__________。（填序号）A.若∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>f(x)dx=0，则必有f(x)=0在[a,b]上成立。B.若f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上可积且不变号，则∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>f(x)g(x)dx存在。C.若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上必有界。D.若f(x)在[a,b]上连续，且f(x)≥0，∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>f(x)dx=0，则必有f(x)=0在[a,b]上几乎处处成立（即除了有限个点外，处处成立）。16.下列反常积分中，收敛的有__________。（填序号）A.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>1/(xlnx)dx（x>1）B.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>cosxdx（x→+∞）C.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>e<0xE2><0x82><0x82>xdx（x→-∞）D.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>1/√(x(x+1))dx（x→0+）17.下列定积分计算正确的是__________。（填序号）A.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>xdx=x^2/2|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=a^2/2-b^2/2B.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>sinxdx=-cosx|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=-cosπ-(-cos0)=1+1=2C.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>e^xdx=e^x|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=e^b-e^aD.∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>1dx=x|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=b-a六、计算题：（每小题10分，共20分。）18.计算定积分∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>xcosxdx。19.计算反常积分∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>1/(xlnx)dx（x>1）。试卷答案一、选择题：1.A2.B,C,D3.A4.B5.D二、填空题：6.面积7.sinx8.x^3/3+x|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=(b^3/3+b)-(a^3/3+a)三、计算题：9.解析思路：先展开integrand，再分别对x和1进行积分。原式=∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>(x-x^2)dx=∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>xdx-∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>x^2dx=x^2/2|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>-x^3/3|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=(b^2/2-a^2/2)-(b^3/3-a^3/3)=b^2/2-a^2/2-b^3/3+a^3/310.解析思路：利用三角函数恒等变形，化为基本积分形式。原式=∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>1/2sin2xdx=1/2∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>sin2xd(2x)令u=2x,du=2dx,dx=1/2du=1/2∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>sinudu=-1/2cosu|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=-1/2[cosb-cosa]11.解析思路：利用分部积分法，选择合适的u和dv。原式=∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>xd(e^x)=xe^x|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>-∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>e^xdx=(be^b-ae^a)-e^x|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=be^b-ae^a-(e^b-e^a)=(b-1)e^b-(a-1)e^a12.解析思路：对于无穷区间反常积分，先求定积分，再取极限。∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>1/xdx=lim<0xE2><0x82><0x99>→<0xE1><0xB5><0xA3>∫<0xE2><0x82><0x99>^<0xE1><0xB5><0xA4>1/xdx=lim<0xE2><0x82><0x99>→<0xE1><0xB5><0xA3>[ln|x|]_<0xE2><0x82><0x99>^<0xE1><0xB5><0xA4>=lim<0xE2><0x82><0x99>→<0xE1><0xB5><0xA3>(ln|b|-ln|a|)=lnb-lna（假设a>0）（若a<0,同理可得ln|b|-ln|a|）四、应用题：13.解析思路：确定积分区间[a,b]，找到被积函数f(x)=|x^2-x|。在[0,1]上，x^2≤x，所以f(x)=x-x^2。计算面积S=∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>(x-x^2)dx。S=∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>(x-x^2)dx=x^2/2-x^3/3|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=(1^2/2-1^3/3)-(0^2/2-0^3/3)=1/2-1/3=1/614.解析思路：确定积分区间[0,1]，找到被积函数f(y)=2y-y^2（由y=√x和y=x/2交点(1,1/2)及y轴决定）。计算体积V=π∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>[f(y)]^2dy。V=π∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>[(2y-y^2)^2]dy=π∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>(4y^2-4y^3+y^4)dy=π[4y^3/3-y^4/4+y^5/5]|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=π[(4(1)^3/3-(1)^4/4+(1)^5/5)-(4(0)^3/3-(0)^4/4+(0)^5/5)]=π(4/3-1/4+1/5)=π(80-15+12)/60=π*77/60=77π/60五、选择题：（多选题）15.解析思路：A.错误。例如f(x)=x在[-π,π]上积分为0，但f(x)≠0。B.正确。根据可积函数与连续函数的关系以及乘积性质。C.正确。有界函数必有界点，可积函数在其定义区间上必有界。D.正确。由定积分性质，若f(x)≥0且积分值为0，则f(x)几乎处处为0。答案：B,C,D16.解析思路：A.错误。∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>1/(xlnx)dx=∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>d(lnx*lnx)=(lnx)^2|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>→+∞，发散。B.错误。∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>cosxdx=sinx|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=sin(+∞)不存在。C.正确。∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>e<0xE2><0x82><0x82>xdx=-e<0xE2><0x82><0x82>x|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=-0-(-e<0xE1><0xB5><0xA3>)=e<0xE1><0xB5><0xA3>，收敛。D.正确。∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>1/√(x(x+1))dx=∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>[1/√x-1/√(x+1)]dx=2√x-2√(x+1)|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=2(√b-√(b+1))，收敛。答案：C,D17.解析思路：A.错误。原式=a^2/2-b^2/2=(a-b)(a+b)/2。等号右边是(a^2/3-b^2/3)。B.正确。∫<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>sinxdx=-cosx|<0xE1><0xB5><0xA3>^<0xE1><0xB5><0xA4>=-cosπ-(-cos0)=-(-1)-(-1)=2-(-2)=2。C.错误。原式=e^x|<