2027山东专升本高数二 二元无条件极值求解专题训练（含完整解析）

山东专升本高数二二元无条件极值求解专题训练备考说明：本专题严格适配山东专升本高数二考试大纲，聚焦二元函数无条件极值核心必考题型，覆盖多项式函数、分式函数、指数函数、复合函数等全类型考点，完全匹配真题解题步骤与评分标准，难度梯度分层，适合专项突破拔高。专升本必考核心定理与解题步骤1.极值必要条件（驻点判定）若函数z=f(x,y)在(x0f满足上式的点(x02.极值充分条件（专升本核心判据）设(x0A=构造判别式Δ=AC-①Δ>0且A>0，函数在该点取极小值②Δ>0且A<0，函数在该点取极大值③Δ<0，该点非极值点④Δ=03.标准解题四步骤（专升本答题模板）第一步：求一阶偏导，联立方程求全部驻点；第二步：求三个二阶偏导，写出A,B,C通用表达式；第三步：逐一代入驻点计算Δ=AC-一、基础巩固题（每题12分，基础多项式函数）第1题求二元函数f(x,y)=x2答案解析：步骤1：求一阶偏导，求解驻点f令fx'解得唯一驻点：x=2,y=-1，即驻点(2,-1)。步骤2：求二阶偏导数A=步骤3：计算判别式判定极值Δ=AC-B2因此函数在(2,-1)处取得极小值，无极大值。步骤4：计算极小值f(2,-1)=结论：函数极小值为-3，无极大值。解题关键：基础二次多项式极值求解，二阶偏导均为常数，无需代入驻点计算，直接判定即可。第2题求二元函数f(x,y)=4(x-y)-x2答案解析：步骤1：求一阶偏导、找驻点f令4-2x=0-4-2y=0，解得驻点(2,-2)步骤2：求二阶偏导A=步骤3：判别极值类型Δ=AC-B2故函数在(2,-2)处取得极大值。步骤4：计算极大值f(2,-2)=4×(2+2)-4-4=16-8=8结论：函数极大值为8，无极小值。二、能力提升题（每题15分，含鞍点判定、多驻点题型）第3题求函数f(x,y)=x3答案解析：步骤1：求解驻点f令偏导为0，化简得方程组：x将y=x2代入y2解得x=0或x=1，对应驻点：(0,0)、步骤2：求二阶偏导表达式A=步骤3：逐点判定极值①驻点(0,0)：A=0,B=-3,C=0，ΔΔ<0，该点为鞍点，非极值点②驻点(1,1)：A=6,B=-3,C=6，Δ=6×6-9=27>0，且该点取极小值，极小值f(1,1)=1+1-3=-1。结论：函数极小值为-1，无极大值，(0,0)非极值点。解题关键：高次函数存在多个驻点，必须逐一代入判别，重点掌握鞍点判定规则。第4题求函数f(x,y)=x2答案解析：步骤1：求驻点f联立方程2x-y+9=0-x+2y-6=0，解得x=-4,y=1，驻点(-4,1)步骤2：二阶偏导判定A=2,B=-1,C=2，Δ故(-4,1)为极小值点。步骤3：计算极值f(-4,1)=16+4+1-36-6+20=-1结论：函数极小值为-1，无极大值。三、综合真题题型（每题20分，专升本压轴计算题）第5题求函数f(x,y)=e2x答案解析：步骤1：求一阶偏导数，求解驻点由乘积求导法则：f由于e2x>0恒成立，令偏导为2x+2解得y=-1，代入第一式得2x+2-4+1=0⇒x=12，驻点步骤2：求二阶偏导数f步骤3：代入驻点计算A、B、C将12,-1A=2e1(1+2-4+2)=2e，Δ=AC-B步骤4：计算极值f结论：函数极小值为-e解题关键：指数型复合函数极值求解，利用e2x>0第6题求函数f(x,y)=xy答案解析：步骤1：求一阶偏导，找驻点f令偏导为0，得y=1x2,x=代入得x-1x2=0⇒x3=1步骤2：求二阶偏导f步骤3：判定极值代入(1,1)：A=2,B=1,C=2Δ=4-1=3>0步骤4：计算极值f(1,1)=1+1+1=3结论：函数在定义域内极小值为3，无极大值。四、专题核心总结（专升本必背）1.解题流程固定化：求一阶偏导→解驻点→求二阶偏导→算判别式→判极值求最值，严格按步骤答题，踩点得分；2.核心判定口诀：Delta正大A小极大、Delta正大A大极小、Delta负无极值、Delta零判不出；3