小学五年级数学上册《商的近似数》暑期精讲知识清单

小学五年级数学上册《商的近似数》暑期精讲知识清单一、核心概念与学习目标定位（一）核心概念界定【基础】【理解】在现实生活和生产实践中，常常会遇到小数除法除不尽的情况，或者虽然能除尽但商的小数位数太多，实际应用中不需要那么精确。此时，我们便可以根据需要，按照一定的方法，省略商的小数部分的多余位数，只保留指定的小数位数，这样得到的数就是原来商的近似数。求商的近似数，本质上是在“精确与简洁”之间寻找一个平衡点，它并非对计算结果的简单“四舍五入”，而是蕴含着深刻的数学建模思想和实际应用智慧1。（二）单元学习目标【重要】1.理解意义：结合具体情境，理解求商的近似数的必要性，体会近似数在现实生活中的广泛应用。2.掌握方法：熟练掌握用“四舍五入”法求商的近似数的方法与步骤，并能根据要求准确地求出商的近似数。3.灵活应用：能够区分“四舍五入”法、“进一法”和“去尾法”，并能根据具体问题的实际背景，灵活、合理地选择恰当的方法取商的近似值来解决实际问题10。4.辨析比较：清晰区分求商的近似数与求积的近似数在方法上的异同，避免知识混淆。二、求商的近似数的标准方法——“四舍五入”法【高频考点】【核心技能】这是本课时最为核心的方法，必须熟练掌握其规范的操作流程。（一）操作步骤三步走【重要】第一步：明确要求。仔细审题，看清题目要求保留几位小数。例如，“得数保留一位小数”、“精确到百分位”、“商保留两位小数”等，这些表述都指明了最终结果的小数位数。第二步：多除一位。在列竖式计算时，除到比要求保留的小数位数多一位。这是关键所在！例如：1.要求保留一位小数，就要除到小数部分第二位（百分位）。2.要求保留两位小数，就要除到小数部分第三位（千分位）。3.要求保留三位小数，就要除到小数部分第四位（万分位）。第三步：四舍五入。观察多除出来的那一位上的数字。如果该数字小于5（即0、1、2、3、4），则将其及其后面的尾数全部舍去；如果该数字大于或等于5（即5、6、7、8、9），则先向它的前一位（即保留位数的最后一位）进“1”，然后再舍去尾数。最后，用“≈”（约等号）连接2。（二）经典范例剖析【例题】计算19.4÷12。（得数分别保留一位小数和两位小数）【分析】这是教材中的经典情境，买羽毛球的问题，非常贴合生活实际78。1.保留一位小数：1.2.要求保留一位小数，我们需要除到百分位（即小数部分第二位）。2.3.竖式计算：19.4÷12，商到百分位时，得到商为1.61（即1.6和余数，但我们要看第二位）。此时，百分位上的数字是“1”。1.616...多除一位的下一位（即千分位），我们计算到第三位时发现是6（实际是1.616...）。4.5.千分位是6，大于5，所以向百分位进“1”。百分位原为1，进1后变成2。1.616...结果：19.4÷12≈1.6（特别注意：这里虽然向百分位进了1，但百分位结果“2”被进位后，最终保留的十分位是“6”，即1.6。有的同学可能会误写成1.62，但要求保留一位小数，所以只能写到十分位。得到1.616...，看第二位是1，但第三位是6，向第二位进1，第二位由1变成2，即1.62？不对！注意我们只保留一位小数，所以我们要看的决定位是第二位。当我们除到第二位（百分位）得到1.61时，我们再看第三位是6，6>5，所以向第二位（百分位）进1，百分位的1变成2，此时结果是1.62吗？不对！结果要求保留一位小数，最终答案只能写到十分位。所以正确的思考过程是：我们除到百分位，看到1.61，但为了判断是否需要进位，我们多看一位到千分位是6，需要进位，所以1.61就变成了1.62，然后我们只保留一位小数，这个1.62就是由十分位的1和百分位的2组成，所以保留一位小数看的是十分位，但这里的十分位已经被进位影响了？这里我们重新理清思路：保留一位小数，我们要看第二位小数。我们计算到第二位小数是1.61，此时第二位是1。再看第三位是6，6>5，所以向第二位进1，第二位1+1=2，那么商就变成了1.62。现在我们要求保留一位小数，这个1.62的小数第一位是6，第二位是2，我们保留一位小数，就是1.6。因为1.62保留一位小数，我们看第二位是2（2<5），所以直接舍去，得到1.6。所以整个过程是：计算到多位，然后四舍五入到目标位数。更简洁的理解：直接除到比保留位数多一位（这里是第三位），得到1.616，然后对第三位进行四舍五入：第三位是6>5，所以第二位由1变为2，得到1.62，最后将1.62按要求保留一位小数，就是1.6。因此，19.4÷12≈1.6。这个过程确实容易混淆，建议同学们牢记：直接除到比保留位数多一位，然后直接对这一位进行四舍五入，舍入后的结果就是最终保留位数的结果。即：除到第三位是1.616，保留两位小数看第三位，第三位是6，进1，得1.62。保留一位小数看第二位，第二位是1，第三位是6，第二位要进1，变成2，所以得数变为1.62，但1.62保留一位小数，看第二位是2，舍去，得1.6。为了不绕晕，最保险的方法是分步写：先算出1.616，然后分别按要求取近似数。1.616≈1.6（保留一位小数，看第二位1<5），1.616≈1.62（保留两位小数，看第三位6>5）。所以，最好多算一位，然后直接对那一位进行判断。7.保留两位小数：1.8.要求保留两位小数，我们需要除到千分位（即小数部分第三位）。2.9.竖式计算：19.4÷12，商到千分位时，得到商为1.616。3.10.观察第三位后面的第四位？不，我们只需看到第三位即可。因为我们多除了一位，现在看到第三位是6。要保留两位小数，我们就看第三位。4.11.第三位是6，大于5，所以向第二位（百分位）进“1”。第二位原为1，进1后变成2。5.12.最终结果：19.4÷12≈1.62。（三）精确度与末尾的“0”【难点】【易错点】当保留的小数位数末位是“0”时，这个“0”必须保留，不能去掉！因为它代表着精确度。【例如】计算45.5÷38，要求得数保留两位小数。1.197...位，结果为1.197...。千分位是7>5，需向百分位进1。百分位原为9，进1后变成10，百分位写0，并向十分位进1。十分位原为1，进1后变成2。最终结果为1.2038。★【特别注意】这里的1.20表示精确到百分位（0.01），而1.2表示精确到十分位（0.1）。二者在数值上相等，但在数学精确度意义上完全不同。在求近似数的题目中，如果保留两位小数，末尾的0无论如何都不能省略。三、方法辨析：求商的近似数与积的近似数【基础】【易混点】很多同学在学习时容易将两者混淆，通过对比可以更清晰地掌握其本质区别。|比较维度|求积的近似数|求商的近似数|【重要】||:|:|:||计算过程|先求出精确的积，再根据要求用“四舍五入”法省略多余位数。|除到比需要保留的小数位数多一位，然后根据这一位用“四舍五入”法取近似值。|核心区别||精确度|取决于因数中小数的位数，积的精确值是已知的。|取决于除的过程中算到了哪一位，我们是在近似商的过程中进行取舍。|逻辑不同||举例|2.34×0.6=1.404，保留两位小数约是1.40。|2.34÷0.6=3.9，如果要求保留两位小数，实际需要算到3.90？这里商刚好除尽，就是3.90。但如果除不尽，如7.51÷4≈1.8775，保留一位小数，要算到1.87？不对，要算到第二位？7.51÷4=1.8775，保留一位小数看第二位，第二位是7，第三位也是7，第二位7要进1？实际上我们列竖式除到第二位即可，但为了保险，多算一位：1.8775，保留一位，看第二位是7>5，所以十分位8要加1，变成9，即1.9。但7.51÷4=1.8775，精确值其实知道，但商的情形往往是无限小数。|操作不同|四、根据生活实际灵活取近似数【核心素养】【热点题型】“四舍五入”法是求近似数的最基本方法，但并不是唯一方法。在解决实际问题时，我们必须结合生活情境，选择“进一法”或“去尾法”。这是小学数学核心素养中“应用意识”的重要体现。（一）“进一法”——无论尾数是多少，都向前一位进一【高频考点】1.适用情境：在解决“需要多少容器装东西”、“需要多少辆车运货物”、“需要多少个人完成工作”等问题时，只要剩下一点，就需要一个独立的容器或人来承载，此时不管剩余部分是多少，都需要在整数部分加1。2.生活实例：13.333...题：每个油桶最多能装4.5千克油，要装60千克油，至少需要多少个这样的油桶？60÷4.5=13.333...（个）。根据实际，13个桶只能装13×4.5=58.5千克，剩下的1.5千克还需要1个桶，所以需要14个桶6。2.4.运输问题：用载重量是4.5吨的货车运15.3吨的货物，至少要运多少次？15.3÷4.5=3.4（次）。3次只能运13.5吨，剩下的1.8吨还需要一次，所以需要运4次6。3.5.包装问题：每个玻璃瓶最多能装0.4kg香油，把3kg香油分装完，至少需要准备多少个这样的玻璃瓶？3÷0.4=7.5（个）。7个瓶只能装2.8kg，剩下的0.2kg还需一个瓶，所以需要8个瓶16。（二）“去尾法”——无论尾数是多少，都直接舍去【高频考点】1.适用情境：在解决“一块布能做多少件衣服”、“一根绳子能扎多少根礼带”、“一些材料能制造多少个产品”等问题时，不足一个单位的材料就无法做成一个完整的东西，此时必须把尾数舍去。2.生活实例：20.833...问题：每套校服用布2.4米，50米布最多可以做多少套这样的衣服？50÷2.4=20.833...（套）。因为20套用布48米，剩下的2米不够再做一套，所以只能做20套1。2.4.做蛋糕问题：每个生日蛋糕需要0.64千克面粉，12千克面粉最多可以做几个蛋糕？12÷0.64=18.75（个）。只能做18个，剩下的面粉不够做一个15。3.5.买物品问题：张华带了15元钱买钢笔，每支钢笔2.5元，他最多可以买几支？15÷2.5=6（支）。刚好整除，但如果是15元买2.8元一支的，15÷2.8≈5.35，就只能买5支5。（三）三法辨析小贴士1.四舍五入法：主要用于不需要考虑实际物体完整性的纯计算问题，或者题目明确要求“保留几位小数”、“精确到多少”。2.进一法：关键词通常是“至少需要几个/几辆”、“需要准备多少个”。只要是求容纳、装载、运输所需容器的数量，几乎都用进一法。3.去尾法：关键词通常是“最多能做几个/几套”、“可以买几支”。只要是从总量中去制作或分配成一个个独立的个体，不够一个就不算，几乎都用去尾法。五、考点、考向与解题策略【备考指南】（一）常见题型及考查方式1.直接计算求近似数（基础题）：直接给出除法算式，要求保留一位、两位或三位小数。考查竖式计算的准确性和“四舍五入”的运用。2.填空题（概念与细节题）：1.考查近似数末尾“0”的处理。例如：把45.5÷38的商保留两位小数是（1.20），问这个0能否去掉？（不能）2.考查精确度与小数位数的关系。例如：求商的近似数，要保留三位小数，必须除到小数部分的第（四）位。3.考查最大最小值。例如：一个两位小数除以一个数的商，保留一位小数是2.0，这个商最大可能是（2.04），最小可能是（1.95）38。1.判断题（易错点辨析）：1.求商的近似数，只要除到比要保留的位数多一位即可。（√）122.一个数的近似数可能比原数大，也可能比原数小。（√）23.求商的近似数和求积的近似数一样，都要先算出精确值。（×）54.3.497保留两位小数约是3.5。（×）（正确答案是3.50）11.解决问题（生活应用题）：1.纯“四舍五入”型：题目中通常有“得数保留几位小数”的要求，直接计算后按要求取值即可。如求速度、单价、平均值等16。2.“进一法”或“去尾法”型：题目中没有明确要求保留几位小数，而是提出一个实际问题，需要学生自己判断采用何种方法。这是区分度较高的题。（二）解题步骤与规范【必考】【规范】步骤一：审题定法。仔细阅读题目，判断是属于“纯计算取近似”还是“生活实际问题”。如果是生活问题，分析应选用“四舍五入法”、“进一法”还是“去尾法”。步骤二：列式笔算。根据题意列出正确的算式。对于除法，列竖式计算。根据所需方法决定除到哪一位。1.若用四舍五入法，除到比保留位数多一位。2.若用进一法或去尾法，通常先计算出小数结果，再根据实际取整数。步骤三：规范答题。计算结果用“≈”连接。在解决问题中，最后要写答句，答句中的数字必须是最终取近似值后的结果。（三）易错点与避坑指南1.【坑一】除到多一位就停，但忘了“四舍五入”。有的同学竖式算到了千分位，但写结果时只写了千分位前的数字，没有进行舍入。2.【坑二】末尾的“0”处理不当。当保留的小数位数末位是0时，必须保留。尤其是在竖式商中间有0的情况更要小心。3.【坑三】横式上写等号。求近似数必须用“≈”，很多同学习惯性地写“=”，这是概念性错误。4.【坑四】生活情境方法误用。一看到“保留”就用四舍五入，而忽略了实际意义。例如，算出需要7.5个瓶子，直接四舍五入得8个，虽然结果是8个，但思考过程不对。应该理解是因为7个不够，所以需要8个，这是进一法的思想，而不是四舍五入。5.【坑五】审题不清。题目要求“保留一位小数”，结果算到了两位就停了，没看第三位就下结论，或者看了第三位但没正确处理进位。六、思维拓展与知识延伸（一）精确度与误差近似数不是准确数，它与准确数之间存在一个差值，这个差值就是误差。保留的小数位数越