数学分析函数关键试题及标准答案

数学分析函数关键试题及标准答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在括号内。）1.设函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)=f(x-1)+f(2x)的定义域为().A.[0,1]B.[0,2]C.[0,1)∪(1,2]D.[1,2]2.函数f(x)=|x|在区间(-1,1)内().A.连续且可导B.连续但不可导C.不连续但可导D.不连续且不可导3.极限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的值为().A.0B.2C.4D.不存在4.若lim(x→a)f(x)=A且lim(x→a)g(x)=B(B≠0)，则lim(x→a)[f(x)/g(x)]的值为().A.A+BB.A-BC.A/BD.B/A5.下列函数中，在x=0处连续但不可导的是().A.f(x)=x^2B.f(x)=|x|C.f(x)=x^3D.f(x)=26.函数f(x)=x^2在区间(0,1)内的左导数与右导数的关系是().A.左导数>右导数B.左导数<右导数C.左导数=右导数D.左右导数都不存在7.若函数f(x)在x=c处可导，且f'(c)=3，则极限lim(h→0)[f(c+h)-f(c-h)]/(2h)的值为().A.3B.6C.1.5D.无法确定8.根据介值定理，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)<0,f(b)>0，则方程f(x)=0在开区间(a,b)内().A.必有唯一实根B.至少有一个实根C.没有实根D.可能有一个或多个实根9.函数f(x)=e^x在其定义域内().A.有最大值但没有最小值B.有最小值但没有最大值C.既没有最大值也没有最小值D.既有最大值也有最小值10.若函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=1,f'(0)=2，则极限lim(x→0)[f(x)-1]/x的值为().A.1B.2C.3D.0二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在题中横线上。）11.若函数f(x)=√(x-1)，则其定义域为________。12.极限lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(x^2+5x-3)的值为________。13.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数为________。14.若函数f(x)在x=0处连续，且lim(x→0)f(x)=5，则f(0)=________。15.函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π/2]上的最大值为________。三、解答题（共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（8分）求极限lim(x→1)[(x^2-1)/(x-1)]/[(x^3-1)/(x-1)]。17.（10分）讨论函数f(x)=|x-1|+|x+2|在整个实数域R上的连续性。18.（12分）设函数g(x)=x^3-3x^2+2。(1)求函数g(x)的导数g'(x)；(2)求函数g(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。19.（10分）证明：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，都有|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2|(M为常数)，则f(x)在[a,b]上为线性函数（即f(x)=kx+b，k,b为常数）。20.（10分）设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0,f'(0)=1。求极限lim(h→0)[f(2h)-f(h)]/h。试卷答案一、单项选择题1.C2.B3.C4.C5.B6.C7.C8.B9.C10.B二、填空题11.[1,+∞)12.313.-214.515.√2三、解答题16.解：原式=lim(x→1)[(x^2-1)/(x-1)]*[(x-1)/(x^3-1)]=lim(x→1)[(x+1)]*[1/(x^2+x+1)]=(1+1)*[1/(1^2+1+1)]=2*(1/3)=2/317.解：函数f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段表示为：f(x)={x-1+x+2,x≥1}={-x+1+x+2,-2≤x<1}={-x-1+x+2,x<-2}={2x+1,x≥1}={3,-2≤x<1}={-2x-1,x<-2}在x=1处，f(1)=3。左极限lim(x→1-)f(x)=3，右极限lim(x→1+)f(x)=3。因为左极限=右极限=f(1)，所以f(x)在x=1处连续。在x=-2处，f(-2)=3。左极限lim(x→-2-)f(x)=-2*(-2)-1=3，右极限lim(x→-2+)f(x)=3。因为左极限=右极限=f(-2)，所以f(x)在x=-2处连续。在(-∞,-2)内，f(x)=-2x-1，该区间内函数为初等函数，故连续。在(-2,1)内，f(x)=3，该区间内函数为常数函数，故连续。在(1,+∞)内，f(x)=2x+1，该区间内函数为初等函数，故连续。18.解：(1)g'(x)=(x^3-3x^2+2)'=3x^2-6x(2)令g'(x)=0，得3x^2-6x=0，即x(x-2)=0，解得x=0或x=2。需要比较g(x)在驻点及区间端点处的函数值：g(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+2=-1-3+2=-2g(0)=0^3-3*0^2+2=2g(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2g(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2比较可得，函数g(x)在区间[-1,3]上的最大值为2，最小值为-2。19.证明：由题意，对任意x1,x2∈[a,b]，都有|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2|。令x1=c,x2=c，则|f(c)-f(c)|≤M|c-c|，即0≤0，成立。令x1=c+h,x2=c，其中h≠0且c+h∈[a,b]，则|f(c+h)-f(c)|≤M|(c+h)-c|=M|h|。两边同时除以|h|(h≠0)，得|(f(c+h)-f(c))/h|≤M。令h→0，由f(x)在x=c处可导，得f'(c)=lim(h→0)[f(c+h)-f(c)]/h。所以|f'(c)|≤M，即-M≤f'(c)≤M。特别地，取x1=c+Δx,x2=c，其中Δx≠0且c+Δx∈[a,b]，则|f(c+Δx)-f(c)|≤M|Δx|。两边同时除以|Δx|(Δx≠0)，得|(f(c+Δx)-f(c))/Δx|≤M。令Δx→0，由f(x)在x=c处可导，得f'(c)=lim(Δx→0)[f(c+Δx)-f(c)]/Δx。所以|f'(c)|≤M，即-M≤f'(c)≤M。这与之前的结果一致。现在证明f'(x)在[a,b]上恒为常数。对任意x1,x2∈[a,b]，x1<x2，则x2-x1>0。考虑函数F(x)=f(x)-f(x1)-f'(x1)(x-x1)。则F(x2)-F(x1)=[f(x2)-f(x1)]-f'(x1)(x2-x1)。由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(x1,x2)，使得f(x2)-f(x1)=f'(\xi)(x2-x1)。代入得F(x2)-F(x1)=f'(\xi)(x2-x1)-f'(x1)(x2-x1)=[f'(\xi)-f'(x1)](x2-x1)。由题意|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2|，即|f(x2)-f(x1)|≤M|x2-x1|。所以|F(x2)-F(x1)|≤M|x2-x1|。两边同时除以|x2-x1|(x2-x1)>0，得|F(x2)-F(x1)|/|x2-x1|≤M。令x2→x1，由f(x)在x=x1处可导，得F'(x1)=f'(x1)-f'(x1)=0。由导数定义，F'(x1)=lim(x2→x1)[F(x2)-F(x1)]/(x2-x1)=0。所以对任意x∈[a,b]，F'(x)=0。即f'(x)-f'(x1)=0，得到f'(x)=f'(x1)。这说明f'(x)在[a,b]上恒为常数，设为k。所以f(x)=kx+b。其中k=f'(c)（任意c∈[a,b]取值），b=f(c)-kc。因此，f(x)为线性函数。20.解：方法一：利用f'(0)的定义。lim(h→0)[f(2h)-f(h)]/h=lim(h→0)[(f(2h)-f(0))/h-(f(h)-f(0))/h]=lim(h→0)(2*[f(2h)-f(0)]/(2h))-lim(h→0)([f(h)-f(0)]/h)=2*f'(0)-f'(0)=2*1-1=1方法二：利用导数与极限的关系。由f'(0)=lim(h→0)[f(h)-f(0)]/h=1，得lim(h→0)[f(h)-f(0)]/h=1。令t=2h，则当h→0时，t→0。且h=t/2。lim(h→0)[f(2h)-f(h)]/h=lim(t→0)[f(t)-f(t/2)]/(t/2)=2*lim(t→0)[f(t)-f(t/2)]/t=2*lim(t→0)[(f(t)-f(0))/t-(f(t/2)-f(0))/t]=2*[lim(t→0)(f(t)-f(0))/t-lim(t→0)(f(t/2)-f(0))/(t/2)]=2*[f'(0)-2*f'(0)]=2*(1-2*1)=2*(-1)=-2*（注意：此方法推导过程中使用了f(t/2)-