控制工程基础715

控制工程基础

（第一章）

主讲：XZIT

2017第一章绪论课程内容第三章控制系统的时域响应分析方法第二章控制系统的数学模型第四章控制系统的根轨迹法第五章控制系统的频域分析方法第六章控制系统的综合与校正方法第七章线性离散系统分析方法1.1自动控制的基本概念1.2控制理论的发展及其在机械制造

业中的应用1.3 自动控制的基本要求及课程任务第一章绪论1.1自动控制的基本概念一、自动控制系统及其组成二、自动控制系统的分类第一章绪论1.1自动控制的基本概念一、

自动控制系统及其组成

自动控制是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（称为控制装置或控制器），使机器、设备或生产过程（统称被控对象）的某个工作状态或参数（即被控量）自动地按照预定的规律运行。如：数控机床、室内温度控制、机车、船舶

及飞机自动驾驶、导弹制导等。

恒温箱工作原理加热电阻丝~220V调压器人工控制的恒温箱

温度计1.1自动控制的基本概念人工控制恒温箱调节过程：

观测恒温箱内的温度（被控制量）

与要求的温度（给定值）进行比较，得到温度

偏差的大小和方向

根据偏差大小和方向调节调压器，控制加热电

阻丝的电流以调节温度回复到要求值。人工控制过程的实质：检测偏差再纠正偏差。1.1自动控制的基本概念大脑手调压器恒温箱眼睛实际温度期望温度人工控制恒温箱系统功能框图温度计1.1自动控制的基本概念加热电阻丝~220V调压器热电偶给定信号比较电压放大器功率放大器执行电动机减速器u2u1++

u恒温箱自动控制系统1.1自动控制的基本概念恒温箱自动控制系统工作原理：恒温箱实际温度由热电偶转换为对应的电压u2

恒温箱期望温度由电压u1给定，并与实际温度

u2比较得到温度偏差信号

u＝u1

u2温度偏差信号经电压、功率放大后，用以驱动执行电动机，并通过传动机构拖动调压器动触头。当温度偏高时，动触头向减小电流的方向运动，反之加大电流，直到温度达到给定值为止，此时，偏差

u＝0，电机停止转动。1.1自动控制的基本概念给定信号电压功率放大器控制电机减速器调压器恒温箱(控制对象)热电偶

u1u2

uuanvu温度t(被控量)扰动恒温箱自动控制系统功能框图1.1自动控制的基本概念从恒温箱控制系统功能框图可见：

给定量位于系统的输入端，称为系统输入量。

也称为参考输入量（信号）。

被控制量位于系统的输出端，称为系统输出量。

输出量（全部或一部分）通过测量装置返回系统的输入端，使之与输入量进行比较，产生偏差（给定信号与返回的输出信号之差）信号。用偏差信号产生控制调节作用去消除偏差，使得输出量维持期望的输出。1.1自动控制的基本概念由于存在输出量反馈，上述系统能在存在无法预计扰动的情况下，自动减少系统的输出量与参考输入量（或者任意变化的希望的状态）之间的偏差——反馈控制系统。反馈控制系统具备测量、比较和执行三个基本功能。其控制方式称之为反馈控制——“检测偏差再纠正偏差”。注意：反馈控制系统中，反馈信号是与给定信号相减，使偏差越来越小，称为负反馈。负反馈控制是实现自动控制最基本的方法。1.1自动控制的基本概念二、自动控制系统的分类实际的控制系统根据有无反馈作用可分为：

开环控制系统

闭环控制系统根据输入与输出信号的数量可分为：

单输入单输出系统

多输入多输出系统1.1自动控制的基本概念

开环控制系统系统仅受输入量和扰动量控制；输出端和输入端之间不存在反馈回路；输出量在整个控制过程中对系统的控制不产生任何影响。

控制器对象或过程输入量输出量开环控制系统框图1.1自动控制的基本概念优点：简单、稳定、可靠。若组成系统的元件特性和参数值比较稳定，且外界干扰较小，开环控制能够保持一定的精度。缺点：精度通常较低、无自动纠偏能力1.1自动控制的基本概念

闭环控制系统输出端和输入端之间存在反馈回路，输出量对控制过程有直接影响。闭环的作用：应用反馈，减少偏差。控制器对象或过程输入量输出量测量元件闭环控制系统框图反馈量1.1自动控制的基本概念优点：精度高，对外部扰动和系统参数变化不敏感。缺点：存在稳定、振荡、超调等问题，系统性能分析和设计麻烦。1.1自动控制的基本概念闭环控制系统的基本组成控制工程主要研究闭环控制系统，其组成：

给定元件：产生给定信号或输入信号。

反馈元件：测量被控量，产生主反馈信号。

被控对象：控制系统所要操纵的对象。1.1自动控制的基本概念闭环控制系统的基本组成比较元件：用来比较输入信号和反馈信号的偏差。

放大元件：对偏差信号进行信号放大和功率放大。

执行元件：直接对被控对象进行操作的元件。

反馈校正元件：用以稳定控制系统，提高性能。1.1自动控制的基本概念又称单变量系统，是指从系统外部变量来描述，系统只有一个输入量和一个输出量，而不考虑系统内部的通道与结构。

单输入单输出系统是经典控制理论的主要研究对象，它以传递函数作为基本数学工具，讨论线性定常系统的分析和设计问题，也是本课程讲述的主要内容。

单输入单输出系统1.1自动控制的基本概念又称多变量系统，是指具有多个输入量和多个输出量的系统。一般来说，当系统输入或输出多于一个时，就成为多变量系统。多变量系统是现代控制理论主要研究的对象。在数学上以状态空间法为基础，讨论多变量、变参数、非线性、高精度、高效能等控制系统的分析和设计。

多输入多输出系统1.1自动控制的基本概念

公元前1400－1100年，中国、埃及和巴比伦相继出现自动计时漏壶，人类产生了最早期的控制思想。

时间刻度浮子铜壶滴漏1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

公元100年，亚历山大的希罗发明开闭庙门和分发圣水的自动计时装置。1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

公元132年，东汉杰出天文学家张衡发明了水运浑象仪，研制出了自动测量地震的候风地动仪。1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

公元235年，汉朝时期最负盛名的机械发明家马钧研制出了用齿轮传动的自动指示方向的指南车。1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

公元1637年，明末科学家宋应星所著的《天工开物》记载了有程序控制思想的提花织机结构图。1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

公元1788年，英国人J.Watt用离心式调速器控制蒸汽机的速度，由此产生了第一次工业革命。

1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

1884年：E.J.Routh提出劳斯稳定性判据。

1895年：A.Hurwitz提出赫尔维茨稳定性判据。

1932年：H.Nyquist提出乃奎斯特稳定性判据。

1892年：A.M.Lyapunov提出李雅普诺夫稳定

性理论。

1945年：H.W.Bode提出反馈放大器的一般设计方法

1868年：J.C.Maxwell发表《调速器》，提出反馈控制的概念及稳定性条件。1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

1948年：N.Wiener发表《控制论》，标志经典控制理论基本形成；经典控制理论以传递函数为基础，主要研究单输入—单输出（SISO）系统的分析和控制问题；维纳（Wiener,N.，1894~1964），MIT教授，控制论的奠基人，美国科学家曾于1936年到清华大学任访问教授。控制论之父。1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

1950年：W.R.Evans提出根轨迹法，进一步充

实了经典控制论；

1954年：钱学森用英文出版《工程控制论》，首先把控制论推广到工程技术领域。1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

“工程控制论是关于工程技术领域各个系统自动控制和自动调节的理论。维纳博士40年代提示了控制论的基本思想后，不少工程师和数学博士曾努力寻找通往这座理论顶峰的道路，但均半途而废。工程师偏重于实践，解决具体问题，不善于上升到理论高度；数学家则擅长于理论分析，却不善于从一般到个别去解决实际问题。钱学森则集中两者优势于一身，高超地将两只轮子装到一辆战车上，碾出了工程控制论研究的一条新途径。”1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

50年代末60年代初：现代控制理论形成；现代控制理论以状态空间法为基础，主要分析和研究多输入-多输出(MIMO)、时变、非线性等系统的最优控制、最优滤波、系统辨识、自适应控制、智能控制等问题；控制理论研究的重点开始由频域移到从本质上说是时域的状态空间方法。1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用1956年：庞特里亚金（Понтрягин，Л.С.）提出极大值原理1957年：R.I.Bellman提出动态规划理论1960年：R.E.Kalman提出卡尔曼滤波理论1960～1980年：确定性系统的最优控制、随机系统的最优控制、复杂系统的自适应和自学习控制1980迄今：鲁棒控制、H

控制、非线性控制、智能控制等1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

接着短短的几十年里，在各国科学家和科学技术人员的努力下，又相继出现了生物控制论，经济控制论和社会控制论等，控制理论已经渗透到各个领域，并伴随着其它科学技术的发展，极大地改变了整个世界。控制理论自身也在创造人类文明中不断向前发展。1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

第一颗人造卫星（苏联，1957年）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用第一艘载人飞船（苏联，1961年，加加林）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用人类首次登上月球（美国，1969年）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用首架航天飞机（美国，1981年）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用和平号空间站（苏联，1986年）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用仿人机器人（日本，2001年）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用神州五号、六号、七号、八号载人航天成功

（中国，2003年，2005年，2008年，2011年）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

勇气号、机遇号火星探测器（美国，2004年）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用土卫六探测器（欧盟，2005年）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用坦普尔1号彗星深度撞击（美国，2005年）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

嫦娥一号（2007年，中国）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用导弹击中卫星（中国，2007年；

美国，2008年）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用好奇者号Curiosity

（

美国，2012年）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用天鹅号航天飞机Cygnus（

美国，2014年）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

“作为技术科学的控制论，对工程技术、生物和生命现象的研究和经济科学，以及对社会研究都有深刻的意义，比起相对论和量子论对社会的作用有过之无不及．我们可以毫不含糊地说从科学理论的角度来看，二十世纪上半叶的三大伟绩是相对论、量子论和控制论，也许可以称它们为三项科学革命，是人类认识客观世界的三大飞跃。”

——钱学森

1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用

机电工业是我国最重要的支柱产业之一，而传统的机电产品正在向机电一体化（Mechatronics）方向发展。机电一体化产品或系统的显著特点是控制自动化。

机电控制型产品技术含量高，附加值大，在国内外市场上具有很强的竞争优势，形成机电一体化产品发展的主流。当前国内外机电结合型产品，诸如典型的工业机器人，数控机床，自动导引车等都广泛地应用了控制理论。1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用机器人关节伺服系统1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用工业机器人奇瑞汽车生产线62台工业焊接机器人1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用数控机床1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用自动导引车（AGV）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用柔性制造系统（FMS）1.2控制理论的发展及其在机械制造业中的应用对控制系统的基本要求：稳、准、快。

稳定性

系统动态过程的振荡倾向及其恢复平衡状态的能力。稳定的系统当输出量偏离平衡状态时，其输出能随时间的增长收敛并回到初始平衡状态。稳定性是控制系统正常工作的先决条件。

这里讨论的控制系统稳定性由系统结构所决定，与外界因素无关。1.3自动控制的基本要求及课程任务

精（准）确性

控制精度，主要以稳态误差来衡量。稳态误差：系统的调整（过渡）过程结束而趋于稳定状态时，系统输出量的实际值与给定量之间的差值。1.3自动控制的基本要求及课程任务

快速性

输出量和输入量产生偏差时，系统消除这种偏差的快慢程度。快速性表征系统的动态性能。注意：

不同性质的控制系统，对稳定性、精确性和快速性要求各有侧重。

系统的稳定性、精确性、快速性相互制约，应根据实际需求合理选择。1.3自动控制的基本要求及课程任务

本课程的学习任务：

(1)掌握机电反馈控制系统的基本概念，其中包括机电反馈控制系统的基本原理、机电反馈控制系统基本组成、开环控制、闭环控制等；

(2)掌握建立机电系统动力学模型的方法；

(3)掌握机电系统的时域分析方法；

(4)掌握机电系统的频域分析方法；

(5)掌握模拟机电控制系统的分析及设计综合方法。1.3自动控制的基本要求及课程任务主要教材：控制工程基础张磊、王荣林、冯钧、张建化、肖理庆编著西安电子科技大学出版社，2016年1.3自动控制的基本要求及课程任务主要教材：控制工程基础(第三版)董景新、赵长德、郭美凤、陈志勇、李冬梅编著清华大学出版社，2009年1.3自动控制的基本要求及课程任务主要参考文献：主要参考文献：主要教材：机械工程控制基础(第六版)杨叔子、杨克冲、编著华中科技大学出版社，2011年1.3自动控制的基本要求及课程任务谢谢！控制工程基础

（第二章）

主讲：XZIT

2017一、系统的微分方程二、非线性微分方程的线性化三、拉氏变换四、传递函数五、系统传统函数方框图及简化六、控制系统的传递函数推导举例第二章

控制系统的数学模型七、数学模型的MATLAB实现本章要掌握下列内容：第二章控制系统的动态数学模型建立基本环节（质量-弹簧-阻尼系统、R-L-C电路网络）的数学模型及模型的线性化重要的分析工具：拉氏变换及反变换经典控制理论的数学基础：传递函数控制系统的图形表示：方框图建立实际机电系统的传递函数及方框图系统数学模型的MATLAB实现

经典控制理论：以传递函数为基础。现代控制理论：以状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。数学模型

数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

一、基本环节的数学模型

建立数学模型的方法

解析法

实验法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。

举例

解析法

实验法机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：

质量mfm(t)参考点x

(t)v

(t)质量-弹簧-阻尼系统

弹簧kfk(t)fk(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)

阻尼DfD(t)fD(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)

机械平移系统mmfi(t)kDxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fk(t)机械平移系统及其力学模型fD(t)静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。

弹簧－阻尼系统xo(t)0fi(t)kD弹簧-阻尼系统系统运动方程为一阶常系数微分方程。

电路系统

电阻电路系统三个基本元件：电阻、电容和电感。Ri(t)u(t)

电容Ci(t)u(t)

电感Li(t)u(t)R-L-C无源电路网络LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。

若L=0，则系统简化为：

由机械动力学模型或电学模型列写数学模型的一般步骤

分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；

从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程，做适当简化、线性化；

消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；

标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列上述由机械动力学模型或电学模型直接列写微分方程（数学模型），只要掌握元件和系统所遵循的物理规律，列写出系统微分方程的难度并不大。

然而，对于实际的工程系统而言，动力学模型或电学模型必须要经过对实际系统的抽象和简化获得，这种抽象和简化直接决定了所列写微分方程的工程适用程度，需要较为扎实的理论基础和一定的工程经验才能进行，对研究者的要求较高。说明

建立数学模型的一般步骤系统（实物）简化的动力学模型或电学模型列写数学模型

需要掌握！说明根据工程经验和数学方法的抽象、简化。（现阶段暂不需掌握！）例：进给传动装置示意图及等效力学模型机械系统和电路系统的抽象与简化机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。

同理，电路系统也要根据元件特性进行抽象简化。机械系统和电路系统的抽象与简化

电动机直流电动机工作原理直流电动机直流电动机电路与动力学模型

电动机牛顿第二定律电磁感应定律基尔霍夫定律磁场对载流线圈作用的定律为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程可简化为

有源电路网络+

CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即：

单输入、单输出微分方程的一般形式

式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm为由系统结构参数决定的实常数，m≤n。

线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；

线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：

可加性：

齐次性：或：二、数学模型的线性化用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。

非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。

实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。

线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。

非线性系统数学模型的线性化

泰勒级数展开法

函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：

略去含有高于一次的增量

x=x-x0的项，则：或：y-y0=

y=K

x，

其中：上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。y0=f(x0)称为系统的静态方程；由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。在点附近泰勒展开

实例：单摆运动线性化解：根据牛顿第二定律：将非线性项

单输入、单输出微分方程的一般形式

式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm为由系统结构参数决定的实常数，m≤n。

三、拉氏变换和拉氏反变换原函数（微分方程的解）像函数微分方程像函数的代数方程数学反变换数学变换解代数方程数学变换法求解线性微分方程的思路Pierre-SimonLaplace皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵（Pierre-SimonmarquisdeLaplace，1749年3月23日－1827年3月5日），法国著名的天文学家和数学家，天体力学的集大成者。1749年生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长。1812年发表了重要的《概率分析理论》一书，在该书中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举审判调查、气象等方面的应用，导入”拉普拉斯变换“等。在拿破仑皇帝时期和路易十八时期两度获颁爵位。拉普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘。1827年3月5日卒于巴黎。设函数f(t)(t

0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数

，使得：则函数f(t)的拉氏变换存在，并定义为：式中：s=

+j

（

，

均为实数）为复变数；

拉氏变换称为拉普拉斯积分；F(s)称为函数f(t)的拉普拉斯变换或像函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。Laplace（拉普拉斯）变换建立了时域和复频域间的联系,是描述和分析连续、线性、时不变系统的重要工具！(2)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，是一种积分变换，一般地在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的，故以后不再对其存在性进行讨论。假定t<0时，f(t)=0;说明：(1)定义中，只要求在

上f(t)有定义，为了方便,

简单函数的拉氏变换单位阶跃函数1(t)10tf(t)单位阶跃函数指数函数（a为常数）指数函数0tf(t)1正弦及余弦函数正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sin

tf(t)=cos

t-1由欧拉公式，有：

从而同理

幂函数函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。

拉氏变换性质叠加原理

齐次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a为常数；

叠加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。微分定理式中，f'(0)，f''(0)，……为函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：

积分定理当初始条件为零时:同样当初始条件为零时:

衰减定理例：

延时定理设当t<0时，f(t)=0，则对任意

0，有：函数

f(t-

)0tf(t)

f(t)f(t-

)

初值定理

终值定理若sF(s)的所有极点位于左半s平面，

即存在。则

的像函数例：

的像函数

的像函数

周期函数的像函数若函数f(t)是以T为周期的周期函数，即，则

卷积定理若t<0时，

f(t)＝g(t)＝0，则f(t)和g(t)的卷积可表示为其中，f(t)

g(t)表示函数f(t)和g(t)的卷积。原函数（微分方程的解）像函数微分方程像函数的代数方程数学反变换数学变换解代数方程数学变换法求解线性微分方程的思路引入拉普拉斯变换后，时域的微积分运算可以化成复频域的代数运算；但在工程技术领域，在做完复频域的分析后，有时还需要将分析结果变换到时域，此时，还需要进行拉式反变换。拉氏反变换L－1为拉氏反变换的符号。

部分分式法

如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)●拉氏反变换在控制理论中，通常为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式式中，p1，p2，…，pn为分母=0的根的负值，称为F(s)的极点；ci=bi

/a0

(i=0,1,…,m)。此时，即可将F(s)展开成部分分式。

只含不同单极点的情况式中，Ai为常数，称为s=-pi极点处的留数。于是例：求的原函数。解：即：

含共轭复数极点情况方法1假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、-p2，其余极点均为各不相同的实数极点，则式中，A1和A2的值由下式求解：上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相等即可确定A1和A2的值。方法2此时F(s)仍可分解为下列形式：由于p1、p2为共轭复数，因此，

A1和A2的也为共轭复数。方法1例：求的原函数。解：即所以

解：方法2例：

则

含多重极点情况设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。……注意到：所以：例：求的原函数。解：于是原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程

借用拉氏变换解常系数线性微分方程

求解步骤

将微分方程通过拉氏变换变为

s的代数方

程；

解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表

达式；

应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。

实例设系统微分方程为：其中

，求

？解：对微分方程左右边分别进行拉氏变换代入初值得用上述求解留数的方法，解得故

实例设系统微分方程为：若xi

(t)

=1(t)，初始条件分别为x'o(0)、xo(0)，试求xo(t)。解：对微分方程左边进行拉氏变换即：对方程右边进行拉氏变换从而所以当初始条件为零时：状态响应零输入响应

微分方程在应用拉氏变换后，已经转换为s的代数方程，并且该代数方程仅仅包含输入、输出量，因此具备了讨论输出与输入关系的基础条件。

如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。

由上述实例可见：四、传递函数以及典型环节的传递函数

传递函数的概念和定义

一般地，设线性定常系统的微分方程为：

在零初始条件下，其拉式变换为：

定义传递函数为：

即在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。

零初始条件：t<0时，输入量及其各阶导数均为0；

输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t<0时，输出量及其各阶导数也均为0；比微分方程简单，通过拉氏变换，实数域复杂的微积分运算已经转化为简单的代数运算；传递函数有以下特点：传递函数只适用于线性定常系统；它是复变量s的有理真分式函数，且m≤n；传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入、输出信号无关；传递函数虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的集体物理结构，因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数；如果传递函数已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应；如果系统的传递函数未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数。

传递函数求解示例

质量-弹簧-阻尼系统的传递函数

所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：R-L-C无源电路网络的传递函数

传递函数的几点说明

传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量与输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于线性定常系统；

传递函数是

s的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数；

传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此，传递函数不反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；

传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况；

一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，适合于单输入单输出系统的描述。

典型环节示例

比例环节输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量；K—比例系数，等于输出量与输入量之比。比例环节的传递函数为：z1z2ni(t)no(t)齿轮传动副R2R1ui(t)uo(t)比例运算放大器

一阶惯性环节凡运动方程为下面一阶微分方程形式的环节称为一阶惯性环节。其传递函数为：T—时间常数，表征环节的惯性，和

环节结构参数有关式中，K—环节增益（放大系数）；如：无源滤波电路RCui(t)uo(t)i(t)R-C无源滤波电路即常数T=RC；如：弹簧-阻尼器环节xi(t)xo(t)弹簧-阻尼器组成的环节KD

微分环节

输出量正比于输入量的微分。运动方程为：传递函数为：式中，

—微分环节的时间常数如：测速发电机uo(t)

i(t)测

速

发

电

机式中，Kt为电机常数。

无负载时RCui(t)uo(t)i(t)无源微分网络无源微分网络

显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|<<1时，才近似为微分环节。

在物理系统中输入输出同量纲的微分环节很难独立存在，经常和其它环节一起出现。

积分环节输出量正比于输入量对时间的积分。

运动方程为：传递函数为：积分环节特点：

输出量取决于输入量对时间的积累过程。

具有明显的滞后作用。积分环节常用来改善系统的稳态精度。如当输入量为常值

A时，由于输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值A。如：有源积分网络

+

CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)aei——距离，输入量；nei机械积分器IBA

0——I轴的转角，输出量；n(t)——I轴的转速。

二阶振荡环节含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：传递函数：式中，T—振荡环节的时间常数

ζ—阻尼比，对于振荡环节，0<ζ<1K—比例系数振荡环节传递函数的两种常用标准形式为（K=1）：

n称为无阻尼固有角频率。传递函数：R-L-C无源电路网络LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络如：质量-弹簧-阻尼系统传递函数：常数：当时，为振荡环节。

几点结论

传递函数是复数s域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。

若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定，即传递函数表征了系统内在的固有动态特性。

传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输入－输出特性来描述系统的内部特性。五、系统传递函数方框图及其简化

方框图系统方框图是控制系统的动态数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各环节间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。是表示控制系统的另一种图形，与方块图有类似之处，可将系统函数方块图转化为信号流图。

信号流图

方框图的结构要素

信号线

带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记变量，即信号的时间函数或象函数。X(s),x(t)信号线

函数方框(环节)G(s)X1(s)X2(s)函数方块函数方块具有运算功能，即X2(s)=G(s)X1(s)传递函数的图解表示。比较点（求和点、综合点）信号之间代数加减运算的图解。用符号“

”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。

相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。

X1(s)X2(s)X1(s)

X2(s)

ABA-BCA-B+C

A+C-BBCAA+C

ABA-B+CCA-B+C比较点可以有多个输入，但输出是唯一的。

信号引出点（线）

表示信号引出或测量的位置和传递方向。

同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。

引出线X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)

求和点函数方块函数方块引出线Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方块图示例任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及比较点组成的方框图来表示。

系统方块图的建立

步骤

建立系统各环节的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）。

对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。

按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。

示例RCui(t)uo(t)i(t)无源RC电路网络

无源RC网络

拉氏变换得：从而可得系统各方框单元及其方框图。

Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)(a)Uo(s)I(s)(b)

Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)无源RC电路网络系统方框图

方块图简化

方框图的运算法则

串联G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s)...G(s)=G1(s)G2(s)···Gn(s)Xi(s)Xo(s)

并联Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)

++Gn(s)...Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)+

+Gn(s)

反馈

G(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)

B(s)E(s)Xi(s)Xo(s)开环传递函数

方块图变换法则

求和点的移动

G(s)

ABC±G(s)

ABC±G(s)

ABCG(s)±G(s)

ABC±求和点后移求和点前移

引出点的移动G(s)ACCG(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA引出点前移引出点后移

由方框图求系统传递函数基本思路：利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。

例：求下图所示系统的传递函数。H1(s)Xo(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)

BH2(s)AH1(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)

Xo(s)H2(s)G3(s)解：1、A点前移；2、消去H2(s)G3(s)反馈回路H1(s)Xo(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)Xi(s)Xo(s)H3(s)

Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s)反馈回路4、消去H3(s)反馈回路

（机械）系统分析的一般步骤系统（实物）到动力学模型的简化六、控制系统传递函数推导举例由简化的动力学模型列写微分方程拉式（反）变换求解输出/传递函数绘制系统函数方块图或信号流图

组合机床动力滑台

汽车悬挂系统当汽车行驶时，轮胎的垂直位移作用于汽车悬挂系统上，系统的运动由质心的平移运动和围绕质心的旋转运动组成。车体车架质心汽车悬挂系统（垂直方向）液力减震器m2m1K2DK1xi(t)xo(t)x(t)简化的悬挂系统（垂直方向）

FK1(s)X(s)FD(s)FK2(s)(b)

Xi(s)X

(s)K1FK1(s)(a)

Xo(s)FD(s)FK2(s)

(d)K2

X(s)Xo(s)FK2(s)DsFD(s)(c)

Xi(s)X(s)FD(s)FK1(s)

Xo(s)FK2(s)

K1

Xo(s)FK2(s)DsFD(s)K2汽车悬挂系统方框图X(s)K1X(s)Xo(s)Xi(s)Matlab简介：1980年前后，美国moler博士构思并开发；最初的matlab版本是用fortran语言编写，现在的版本用c语言改写；1992年推出了具有重要意义的matlab4.0版本；并于1993年推出了其windows平台下的微机版，目前的版本每年更新2次，分为a、b。七、系统数学模型的MATLAB实现

要分析系统，首先需要能够描述这个系统。例如用传递函数的形式描述系统

控制系统数学模型在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数按降序排列。如要输入多项式：x4-12x3+25x+126>>p=[1-12025126]p=1-12025126在MATLAB中，用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num=[b0b1…bm]den=[a0a1…an]然后利用下面的语句就可以表示这个系统

sys=tf(num,den)其中tf()代表传递函数的形式描述系统，还可以用零极点形式来描述，语句为

z=[12]; p=[-1-2-3];k=4;sys=zpk(z,p,k)4(s-1)(s-2)-----------------(s+1)(s+2)(s+3)而且传递函数形式和零极点形式之间可以相互转化，语句为

[z,p,k]=tf2zp(num,den)[num,den]=zp2tf(z,p,k)den1=122den2=2332den=271314104z=[1;2]; p=[-1;-2;-3];k=4;[num,den]=zp2tf(z,p,k)当传递函数复杂时，应用多项式乘法函数conv()等实现。例如

den1=[1,2,2]den2=[2,3,3,2]den=conv(den1,den2)计算闭环传递函数系统的基本连接方式有三种：串连、并联和反馈串连：sys=series(sys1,sys2)并联：sys=parallel(sys1,sys2)反馈：sys=feedback(sys1,sys2,-1)如果是单位反馈系统，则可使用cloop()函数，sys=cloop(sys1,-1)

用MATLAB展开部分分式设：应用举例用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num=[b0b1…bm]den=[a0a1…an]MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：[r,p,k]=residue(num,den)其中，r,p分别为展开后的留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量。若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项：例：求的部分分式展开。>>num=[111395226];>>den=[110355024];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=1.00002.5000-3.00000.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k=1展开式为：例：求的部分分式展开。>>num=[1001056];>>den=[15972];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=-4.000020.0000-20.000010.0000p=-2.0000-1.0000-1.0000-1.0000k=1-5展开式为：[num,den]=residue(r,p,k)函数

residue也可用于将部分分式合并，其句法为：>>r=[1234]';p=[-1-2-3-4]';k=0;>>[num,den]=residue(r,p,k)num=107015096den=110355024例：

用MATLAB求系统传递函数已知两个系统分别求两者串联、并联连接时的系统传递函数，并求负反馈连接时系统的零、极点增益模型。num1=[1];den1=[1,0];num2=[1];den2=[1,2];[numc,denc]=series(num1,den1,num2,den2);[numb,denb]=parallel(num1,den1,num2,den2);[numf,denf]=feedback(num1,den1,num2,den2,-1);[z,p,k]=tf2zp(numf,denf)八、小结

数学模型基本概念

数学模型形式

微分方程

传递函数

控制系统的图形化描述

方框图

信号流图

闭环控制系统的传递函数

小结

物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。

从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。

通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元件（惯

性质量、弹性要素、电感、电容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元件，其内部

就多一层能量（信息）的交换。

系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数，与系统的输入无关。

作业

教材14页习题1-4教材68页习题2-3（1）2-6（c）教材68页习题2-9

（e）2-10（a）2-11（c）教材72页习题2-15谢谢！控制工程基础

（第三章）

主讲：XZIT

2017时域响应稳态（静态）响应：当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。瞬态（过渡）响应：系统在某一输入信号作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。3.1时域响应以及典型输入信号3.2一阶系统的瞬态响应3.3二阶系统的瞬态响应3.4控制系统的稳定性分析3.5控制系统的稳态误差分析3.6基于Matlab的时域分析第三章控制系统的时域响应分析方法3.1时域响应以及典型输入信号

控制系统在外加作用（输入）激励下，其输出量随时间变化的函数关系称为系统的时域响应（timeresponse）。

由于线性定常系统可用微分方程来描述，所以系统时域响应的数学表达式就是微分方程的解。任一稳定系统的时域响应都是由瞬态响应(transientresponse)和稳态响应(steady-stateresponse)两部分组成。3.1时域响应以及典型输入信号数学处理简单，给定典型信号下的性能指标，便于分析和综合系统；典型输入的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础；便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。分析瞬态响应时，往往选择典型输入信号，这是因为：典型输入信号1.阶跃信号数学表达式：示意图：2.斜坡信号数学表达式：示意图：3.加速度信号数学表达式：示意图：4.脉冲信号数学表达式：示意图：当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称为脉冲响应函数。

由于δ函数的拉氏变换等于1，因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。0tf(t)单位脉冲函数

1

5.正弦函数：数学表达式：示意图：3.1节小结选择哪种函数作为典型输入信号，应视不同系统的具体工作情况而定。时域响应及典型输入信号：瞬态响应及稳态响应的概念典型输入信号

阶跃函数

斜坡函数加速度函数脉冲函数正弦函数3.2一阶系统的瞬态响应一阶系统：

能够用一阶微分方程描述的系统。它的典型形式是一阶惯性环节。3.2.1一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入象函数为则进行拉氏反变换特点：(1)稳定，无振荡；(2)经过时间

T曲线上升到

0.632的高度；(3)调整时间为

(3～4)T；(4)在

t=0处，响应曲线的切线斜率为

1/T；

3.2.2一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡输入象函数为

则进行拉氏反变换3.2.3一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲输入象函数为则进行拉氏反变换3.2节小结一阶系统的瞬态响应：三者的关系？1.单位斜坡响应2.单位阶跃响应3.单位脉冲响应3.3二阶系统的瞬态响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它的典型形式是二阶振荡环节。为阻尼比；为无阻尼自振角频率

形式一：形式二：3.3.1二阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入象函数为则根据二阶系统的极点分布特点,分五种情况进行讨论。1.欠阻尼

二阶系统的极点是一对共轭复根。式中，，称为阻尼自振角频率。进行拉氏反变换，得

特点：1.以为角频率衰减振荡；

2.随着的减小，振荡幅度加大。

2.临界阻尼二阶系统的极点是二重负实根。进行拉氏反变换,得特点：无振荡。

3.过阻尼

二阶系统的极点是两个负实根。

则

特点：无振荡，过渡时间长。

进行拉氏反变换，得特点：无阻尼等幅振荡。

4.零阻尼

二阶系统的极点是一对共轭虚根。进行拉氏反变换,得5.负阻尼

二阶系统的极点具有正实部。响应表达式的指数项变为正指数，随着时间

，其输出，系统不稳定。

其响应曲线有两种形式：发散振荡单调发散二阶系统的瞬态响应：

单位阶跃响应欠阻尼临界阻尼过阻尼零阻尼负阻尼二阶系统单位阶跃响应小结欠阻尼：衰减振荡，振荡角频率为，随着阻尼系数的减小，其振荡幅度加大；临界阻尼：无振荡；过阻尼：无振荡，阻尼比越大，过渡时间越长；零阻尼：等幅振荡；负阻尼：发散，系统不稳定。二阶系统单位阶跃响应小结3.3.2时域分析性能指标时域分析性能指标是以系统对单位阶跃输入的瞬态响应形式给出的。1.上升时间响应曲线从零时刻首次到达稳态值的时间。或从稳态值的

10%上升到稳态值的90％所需的时间。

2.峰值时间响应曲线从零时刻上升到第一个峰值点所需要的时间。3.最大超调量响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比；单位阶跃输入时，即是响应曲线的最大峰值与稳态值的差。通常用百分数表示。4.调整时间响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间。允许误差±5％5.延迟时间响应曲线从零上升到稳态值的50%所需要的时间。6.振荡次数在调整时间内响应曲线振荡的次数。允许误差±5％以欠阻尼二阶系统为重点。时域性能指标的求取该系统的极点是一对共轭复根。由前述所求，该系统的单位阶跃响应为将代入，得1.求取上升时间由于上升时间是输出响应首次达到稳态值的时间，故因为

所以峰值点为极值点，令，得2.求取峰值时间因为

所以将上式代入到单位阶跃响应表达式中，得

3.求取最大超调量4.求取调整时间以进入±5%的误差范围为例，

解得同理可证，进入±2%的误差范围，则有当阻尼比较小时，有当阻尼比一定时，无阻尼自振角频率

越大，则调整时间越短，系统响应越快。当

较大时，前面两式的近似度降低。当允许有一定超调时，工程上一般选择二阶系统阻尼比ζ在0.5~1之间。当ζ变小时，ζ愈小，则调整时间

愈长；而当ζ变大时，ζ愈大，调整时间

也愈长。例某磁悬浮列车系统，输入直流大小与磁悬浮列车上升的高度之间的关系如下图所示，求其动态性能参数。（K=100)。I(s)z(s)_解：系统的传递函数为：因为K=100因而

，。上升时间为峰值时间为调整时间，设误差控制在±0.05之内超调量为例

欲使系统的最大超调量等于20%，峰值时间等于1s，试确定增益K和Kh的数值，并确定在此K和Kh数值下，系统的上升时间tr和调整时间ts。解：依题意：解之得因而

依题意：所以（系统进入±2%的误差范围）例下图所示系统，施加8.9N阶跃力后，记录其时间响应如图，试求该系统的质量M、弹性刚度k和粘性阻尼系数D的数值。解：根据牛顿第二定律拉氏变换，并整理得由

有由

有3.4.1系统稳定性的基本概念1.单摆2.闭环控制系统的稳定性问题

定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统为稳定；否则，称该系统为不稳定。系统受扰动后能否恢复原来的状态3.4.2系统稳定的充要条件N(s)到Xo(s)的传递函数：设n(t)为单位脉冲函数，如果系统稳定，应有即

为系统闭环特征方程式的根的实部控制系统稳定的充分必要条件是：

闭环特征方程式的根全部具有负实部

系统特征根即闭环极点，故也可以说充要条件为：极点全部在[s]平面的左半面为系统的特征根基于方程式的根与系数的关系

3.4.3劳斯判据设系统特征方程为

充要条件：如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为正，则系统稳定。劳斯阵列：

其中实部为正的特征根数＝劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。例:设控制系统的特征方程式为

试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。劳斯阵列第一列中系数符号全为正，所以控制系统稳定。

解：排劳斯阵列例2设控制系统的特征方程式为

试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。 排劳斯阵列第一列系数改变符号2次，闭环系统的根中有2个实部为正，控制系统不稳定。

二阶系统特征式为，劳斯表为故二阶系统稳定的充要条件是

对于特征方程阶次低（n≤3）的系统，劳斯判据可简化：三阶系统特征式为，劳斯表:故三阶系统稳定的充要条件是

例设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。解：系统闭环传递函数为特征方程为根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定须满足故使系统稳定的K值范围为例:设控制系统的闭环特征方程式为用劳斯判据判断稳定性。劳斯阵列表符号改变2次，2个正实根。无正实根，有虚根。例:设控制系统的闭环特征方程式为用劳斯判据判断稳定性。劳斯阵列表临界稳定劳斯判据的不足：定性——较难从量上判断系统的稳定程度必须知道系统的闭环传递函数Nyquist稳定判据根据开环频率特性判断闭环稳定性对含有延迟环节的系统无效

“准确”是对控制系统提出的一个重要要求。对于实际系统来说，输出量常常不能绝对精确地达到所期望的数值，期望的数值与实际输出的差就是所谓的误差。

系统的输出量通常由瞬态分量和稳态分量组成。误差也由瞬态误差和稳态误差两部分组成。在过渡过程开始时，瞬态误差是误差的主要部分，但它随时间而逐渐衰减，稳态误差逐渐成为误差的主要部分。稳态误差分析是本节要讨论的问题。3.5控制系统的稳态误差分析3.5.1稳态误差的基本概念1.系统的误差与偏差误差是以系统的输出端为基准来定义的：控制系统的理想输出量与实际输出量之差，称为误差。1.系统的误差与偏差偏差是以系统的输入端为基准来定义的：控制系统的输入量与实际输出反馈量之差，称为偏差。1.系统的误差与偏差和间的关系：对控制系统的控制作用体现在，如则，就起控制作用，力图将调节到值；反之，当，就有，而使不再对进行调节。因此，当时：1.系统的误差与偏差故又由故可得故求出偏差后，即可求出误差。2.系统的稳态误差与稳态偏差系统的稳态误差是指系统进入稳态后的误差，因此，不讨论过渡过程中的情况。只有稳定的系统存在稳态误差。稳态误差的定义为其计算可利用拉式变换的终值定理进行：同理，系统的稳态偏差：输入偏差传递函数3.5.2输入引起的稳态误差由上式可知，稳态偏差不仅与系统的结构与参数有关，而且与输入信号的特性有关。系统的“型次”设系统的开环传递函数为式中，为串联积分环节的个数（称为系统的无差度），表征了系统的结构特征。工程上一般规定：分别称为“0型”，“I型”和“II型”系统。愈高，稳态精度愈高，但稳定性愈差。因此，一般系统不超过III型。单位阶跃输入：

单位阶跃输入静态位置误差系数：

单位阶跃输入的稳态误差：

Ⅰ型以上系统0型系统的稳态偏差

单位阶跃输入Ⅰ型以上系统0型系统单位阶跃输入：可见，当系统开环传递函数中有积分环节存在时，系统阶跃响应的稳态值将是无差的。而没有积分环节时，稳态是有差的。为了减少误差，应当适当提高放大倍数。但过大的K值，将影响系统的相对稳定性。单位斜坡输入：

单位斜坡信号静态速度误差系数：

单位斜坡输入的稳态误差：

Ⅰ型系统单位斜坡信号0型系统的稳态偏差

Ⅰ型以上系统对I型系统对0型系统对II型系统单位斜坡输入时：上述结果说明，0型系统不能跟随斜坡输入，因为其稳态偏差为无穷；I型系统可跟随斜坡输入，但存在稳态偏差，同样可增大K值来减少偏差；II型以上系统，对斜坡输入响应的稳态是无差的

。单位加速度输入：

单位加速度信号静态加速度误差系数：

单位速度输入的稳态误差：

Ⅰ型系统单位加速度信号0型系统的稳态偏差

II型系统对I型系统对0型系统对II型系统单位加速度输入时：可见，输入为加速度信号时，0、I型系统不能跟随；II型为有差，要无差需要采用III型或以上。系统的开环类别单位阶跃单位斜坡单位加速度0型I型II型各类系统的稳态偏差总结：稳态偏差与输入信号的形式有关。在随动系统中，一般称阶跃信号为位置信号，斜坡信号为速度信号，抛物线信号为加速度信号。由输入“某种”信号而引起的稳态偏差用一个系数来表示，就叫“某种”误差系数。如输入阶跃信号而引起的偏差，就叫静态位置误差系数。它表示了稳态的精度。该系数越大，表明系统精度越高。如大到，则稳态无差；如为0，则稳态偏差，表示不能跟随输出。总结：当增加系统型别时，系统的准确性将提高；但系统的稳定性将变差。因为系统开环传递函