江西省景德镇市乐平市第一中学2025-2026学年高三（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江西省景德镇市乐平市第一中学高三（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=3−i1+2i(i为虚数单位)，则|z|=A.1 B.2 C.3 2.设集合A={x|x<a}，B={x|log2x<1}，若B⊆A，则a的取值范围为A.a≤0 B.a≤2 C.a≥0 D.a≥23.(1+ax)6的展开式中x3的系数为160，则a=A.2 B.−2 C.4 D.−44.已知下列四个命题：

①数据−2，−1，2，3，5，9，11，15，20的60%分位数为9

②若随机变量X～B(2,12)，则D(X)=12

③若随机变量X～N(2,σ2)且P(X>1)=0.8，则P(1<X<3)=0.3

④线性回归方程yA.1 B.2 C.3 D.45.已知等差数列{an}前n项和Sn存在最大值，且a3+a30<0，a16a17<0，当Sn取得最大值时A.14 B.15 C.16 D.176.设函数f(x)=ex+e−x，记A.b>a>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b7.已知O为坐标原点，过焦点(p2,0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，若OAA.2 B.1 C.12 D.8.已知函数f(x)=2xx2+1,x≥0,−1x,x<0,若方程A.{0,1} B.{1} C.(−∞,2) D.(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(m,1),b=(2,m)，则下列结论正确的是A.若a与b方向相反，则m=−2

B.若(2a+b)⊥(a+b)，则m=−1

C.若m=2，则b在a方向上的投影向量坐标为(10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2bcosC=2a−3c，且BA⋅BC=92A.△ABC的面积为332 B.当b=3时，R=3

C.当a=311.已知曲线C：x|x|−y|y|=1与坐标轴交于A、B两点，点P在C上，则(

)A.|AB|=2 B.C为轴对称图形

C.直线y=x与C有两个公共点 D.存在2个点P使△PAB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若sin(π2+θ)=35，则13.某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研.已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有

种(用数字作答)．14.已知函数f(x)=f′(1)ex−1−f(0)x+12x2，若f(x)≥1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：是否满意性别满意不满意合计男业主a20100女业主cd100合计m60200(1)求a，c，d，m，并判断是否有95%把握认为该小区物业服务评价的差异与男女性别有关？

(2)从小区的业主中任选一人，A表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，B表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出P(A|B)，P(B|A−)的估计值．α0.050.010.005x3.8416.6357.87916.(本小题15分)

已知各项均为正数的数列{an}中，a1=8，且满足an+12−4an+1=an2+4an，数列{bn}的前n项和Sn，满足Sn+1=2bn17.(本小题15分)

设函数f(x)=e2x−2ax．

(1)当a=12时，求y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)证明：当a>018.(本小题17分)

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为32，短轴长为2．

(1)求椭圆C的方程；

(2)(i)若P(x0,y0)为椭圆上一定点，证明：直线x0xa2+19.(本小题17分)

球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为3，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a.设Oa表示以O为圆心，过B，C的圆，同理，圆Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，球面ABC(阴影部分)叫做球面三角形．

(1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积(直接写出答案，无需证明)；

(2)若平面三角形ABC为直角三角形，AC⊥BC，设∠AOC=θ1，∠BOC=θ2，∠AOB=θ3，则：

(i)求证：cosθ1+cosθ2−cosθ3=1；

(ii)延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为π4,π3，BE=λBD

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】BCD

11.【答案】ABD

12.【答案】−713.【答案】18

14.【答案】1215.【答案】a=80，c=60，d=40，m=140，有关

P(A|B)=15，16.【答案】an=4n+4，bn17.【答案】y=x+1

当a≤0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在(−∞,lna2)上单调递减；在(lna2,+∞)上单调递增

由(2)可知，当a>0时，f(x)在x=lna2处取极小值，即最小值，

即f(x)min=f(lna2)=e2×lna2−2a×lna2=a−alna，

要证f(x)≥lna−a22+32，即证a−alna≥lna−a22+32，

化简得a2−2alna−2lna+2a−3≥0，令g(a)=a2−2alna−2lna+2a−3，

则g′(a)=2a−2lna−2a×1a−2×1a+2=2a−2lna−2a，

再