山东省青岛市第二中学2025-2026学年高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山东省青岛市第二中学高一（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据8，6，2，4，10，9的中位数为(

)A.6 B.7 C.8 D.92.已知向量a=(1,2,3)，b=(2,m,n)，且a//b，则n−mA.2 B.1 C.−1 D.−23.小明记录了某年1月至11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据、整理并绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列说法错误的是(

)A.月跑步里程最小值出现在2月

B.2月至6月的月跑步里程逐月增加

C.9月至11月的月跑步里程的平均数大于20

D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大4.已知两个随机事件A，B相互独立，P(A)=2P(B)=0.6，则P(A∪B)=(

)A.0.6 B.0.72 C.0.84 D.0.95.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//n

B.若m//n，n⊂α，则m//α

C.若α⊥β，m⊥β，n⊥m，则n⊥α

D.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β6.从标有数字1，2，6的三个球中，任意抽取两个，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，已知标有1的球被抽中4次，那么乘积为12的频率为(

)A.15 B.12 C.357.位于广安市渠河畔的白塔是广安市的有名风景点.现采用三角高程测量法测量白塔的高度.如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影A1，B1，C1满足∠A1C1B1=45°，∠A1B1C1=60°，在点C处测得点B的仰角为15°，BB1与CC1A.69m B.72m C.79m D.82m8.已知O为锐角△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且CO⋅AB=BO⋅CA，a=1A.(24,34] 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=i1+i，则(

)A.z的虚部为−12 B.|z|=22 10.已知数据x1，x2，x3，x4的平均数为x−，方差为sx2，中位数为x0，极差为tx；数据x1−1，x2−1，x3A.x−=y− B.sx2<s11.已知正三棱台ABC−A1B1C1，上底面A1B1C1边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点P在侧面BCC1B1内A.正三棱台ABC−A1B1C1的体积为5223

B.点P的轨迹长度为23π

C.存在点P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正△ABC边长为2，则AB⋅BC=

13.已知三棱锥S−ABC中，SA=SB=SC=22，AB=BC=CA=4，则该三棱锥的外接球体积为

．14.甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3>a1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在△ABC中，D是BC上的一点，O是AD的中点，过O点的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.设AP=mAB(m>0)，AQ=nAC(n>0)．

(1)若BD=2DC，AO=xAB+yAC16.(本小题15分)

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2=233acsinB+b2，D为边AC的中点．

(1)求B17.(本小题15分)

为了解师生对“世界杯”的认知程度.某高校针对不同年龄的师生举办了一次“世界杯”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组[20,25)，第二组[25,30)，第三组[30,35)，第四组[35,40)，第五组[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄；

(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本校的“世界杯”宣传使者．

(i)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定入选，现从第四组和第五组被抽到的使音中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；

(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．18.(本小题17分)

已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1所有棱长均为2，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=π3．

(1)求证：平面A1ACC1⊥平面ABCD；

19.(本小题17分)

对于一个向量组a1,a2,a3,⋯,an(n∈N且n≥3)，令Sn=a1+a2+a3+⋯+an，如果存在at(t∈{1,2,3,⋯,n})，使得|at|≥|Sn−kat|,k∈Z，则称at是该向量组的“k向量”．

(1)设an=(n,x−n),n∈N∗，若a4是向量组a1,a2,a3,a4的“2向量”，求实数x的取值范围；

(2)若an=(cosnπ1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】BD

10.【答案】AC

11.【答案】ACD

12.【答案】−2

13.【答案】814.【答案】(−∞,12]∪[24,+∞)

15.【答案】解：(1)因为BD=2DC，所以AD=13AB+23AC，

又因为O是AD的中点，所以AO=12AD=16AB+13AC，

所以x=16，y=13，所以2x+y=23；

(2)因为AP=mAB(m>0)，AQ=n16.【答案】(1)解：△ABC中，a2+c2=233acsinB+b2，所以a2+c2−b2=2ac⋅33sinB，

由余弦定理得，a2+c2−b2=2accosB，所以33sinB=cosB，

因为B∈(0,π)，所以cosB≠0，所以tanB=3，B=π3；

(2)证明：b=23，c=2，B=π3，由余弦定理得，b2=a2+17.【答案】解：(1)设这m人的平均年龄为x−，

则x−=22.5×0.02×5+27.5×0.07×5+32.5×0.05×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=31.75；

(2)(i)由题意得，第四组应抽取0.2×20=4人，记为A(甲)，B，C，D，

第五组抽取0.1×20=2人，记为E(乙)，F，

对应的样本空间的样本点为：

Ω= {(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)}，

设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，

则M={(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,E)，(C,E)，(D,E)，(E,F)}，

所以P(M)=n(M)n(Ω)=915=35；

(ii)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x4−，x5−，方差分别为s42，s52，

则x4−=36，x3−=42，s42=518.【答案】解：(1)证明：如图，设BD与AC交于O点，连接A1O，

在菱形ABCD中，BD⊥AC，O为BD中点，

因为AA1为公共边，AB=AD，∠A1AB=∠A1AD

所以△A1AB≌△A1AD，所以A1B=A1D，

所以△A1BD为等腰三角形，则A1O⊥BD，

又因为AC∩A1O=O，AC⊂平面A1ACC1，A1O⊂平面A1ACC1，

所以BD⊥平面A1ACC1，因为BD⊂平面ABCD，

所以平面A1ACC1平面ABCD．

(2)证明：连接B1D1，易知BD/​/B1D1，

因为BD⊂平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，

所以BD/