26.4 实际问题与二次函数 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章二次函数2026人教版·九年级上册26.4实际问题与二次函数（第3课时）学习目标1.掌握抛物线型实际问题的解题步骤，能根据实际场景合理建立平面直角坐标系，准确求出二次函数解析式；熟练利用二次函数的图象和性质，求解轨迹类问题中的高度、跨度、最值等实际问题.2.经历“实际问题—抽象建模—函数求解—回归实际”的完整探究过程，提升数形结合分析问题、将生活问题转化为数学函数问题的能力，熟练掌握建模解题的通用方法.3.感受二次函数在生活中的广泛应用，体会数学源于生活、服务生活的本质；培养严谨的数学思维和解决实际问题的能力，增强数学学习的实用性认知和学习兴趣.课堂导入课堂导入1.这些建筑轮廓是什么曲线？2.能否用二次函数知识解决相关高度、宽度问题？探究新知探究2

一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？探究新知分析：二次函数的图象是抛物线，抛物线形拱桥问题如何转化为二次函数问题来解决？第1步：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立适当的平面直角坐标系第2步：将实际建筑数学化，根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题；第3步：明确具体的数量关系，如函数解析式；第4步：分析所求问题，代入解析式求解.xyO探究新知解：以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系.设抛物线解析式为y=ax2.将点(5，-4)代入解析式，可得-4=a×52.解得a=所以抛物线解析式为y=水面上升1m，即此时y=-3.则-3=解得x=水面的宽度：

≈8.7m.答：此时水面的宽度大约是8.7m.xyO探究新知

如果以上升1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系.与前面方法的结果相同吗？解：依题意建立如图所示的直角坐标系.xOy设抛物线解析式为y=ax2+3.将点(5，-1)代入解析式，可得-1=a×52+3.解得a=所以抛物线解析式为y=水面上升1m，即此时y=0.则解得x=水面的宽度：≈8.7m.探究新知你还有其他的方法吗？

还可以以水面未上升时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算.虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的.xyO新知小结利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：建立适当的直角坐标系写出抛物线上的关键点的坐标运用待定系数法求出函数关系式求解数学问题求解抛物线形实际问题即时即练（选自教材P54练习

第2题）1.在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示.这艘船宽4m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m.这艘船能从这座拱桥下通过吗？xyOy3O以上升1m后的水面为x轴34m2mx=2时，y≥2的话船就能通过.x即时即练（选自教材P54练习

第2题）解：以上升1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图直角坐标系.y3O4m2m前面已求得抛物线的解析式为y=x且抛物线与x轴的交点分别为当x=2时，y=又所以这艘船能从这座拱桥下通过.1.固定船(汽车)的宽，看抛物线形的桥洞(隧道)是否足够高（相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高度比较大小）；2.固定高，看抛物线形的桥洞(隧道)是否足够宽（相当于已知y的值，根据函数的解析式求x的值，再与限制的宽度比较大小）.新知小结判断船能否安全通过桥洞，汽车能否安全通过隧道等问题的两种常用方法：即时即练（选自教材P54练习

第1题）2.在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y=－0.2x²+3.85的一部分（如图），若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l.解：y=3.05时，有-0.2x²+3.85=3.05，解得x1=2，x2=-2(舍去).即篮筐所在位置为(2,3.05)，则l=3.2+2=5.2(m).答：运动员到篮筐正下方的距离l为5.2m.课堂小结实际问题转化回归数学模型(实物中的抛物线形问题)(二次函数的图象和性质)拱桥问题抛物线形运动轨迹问题转化的关键建立恰当的直角坐标系1.能够将实际距离准确的转化为点的坐标；2.选择运算简便的方法.1.如图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽4m.如图2建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是

(

)A.y＝－2x2B.y＝2x2C.y＝－

x2D.y＝

x2课堂练习C2.廊桥是我国古老的文化遗产.如图是某座抛物线形的廊桥示意图.已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF等于_____米.课堂练习3.广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根喷水管，如图，以水管与地面的交点为原点，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高点B，高度为3m，水柱落地处C离水池中心的距离为3m.(1)求抛物线对应的函数解析式；课堂练习解：(1)依题意，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋3，代入(3，0)，得a(3－1)2＋3＝0，解得a=-

.∴抛物