人教版小学数学四年级下册第一单元四则运算知识清单

人教版小学数学四年级下册第一单元四则运算知识清单一、本单元知识框架图解本单元是整数四则运算的完结篇，也是系统化构建运算知识体系的关键阶段。我们将对加、减、乘、除四种运算的意义、各部分之间的关系进行抽象与概括，并在此基础上重点探究含有括号的混合运算的运算顺序，最终运用这些知识解决实际问题，为今后学习小数、分数的四则运算奠定坚实基础。二、核心概念与运算定律（一）四则运算的意义【基础】1、加法：把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。加法是基本的运算，它代表了数量的增加或合并。2、减法：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。在减法中，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，求出的未知加数叫做差。减法是加法的逆运算。3、乘法：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。乘法是加法的特殊形式，它极大地简化了重复加法的计算过程。4、除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。在除法中，已知的积叫做被除数，已知的因数叫做除数，求出的未知因数叫做商。除法是乘法的逆运算。（二）四则运算各部分之间的关系【高频考点】理解并掌握各部分之间的关系，是进行验算和解简单方程的基础。1、加法各部分间的关系：（1）和=加数+加数（2）加数=和另一个加数2、减法各部分间的关系：（1）差=被减数减数（2）被减数=减数+差（3）减数=被减数差3、乘法各部分间的关系：（1）积=因数×因数（2）因数=积÷另一个因数4、除法各部分间的关系：（1）商=被除数÷除数（2）被除数=除数×商（3）除数=被除数÷商★【特别注意】：在有余数的除法里，被除数与除数、商、余数之间的关系是：被除数=商×除数+余数。三、四则混合运算的顺序【核心考点】【难点】这是本单元的重中之重，必须严格按照以下顺序进行计算：1、无括号的混合运算：（1）如果一个算式中，只含有同一级运算（即只有加减法或只有乘除法），要按照从左到右的顺序依次计算。例如：25+1812，应先算25+18=43，再算4312=31。（2）如果一个算式中，含有两级运算（即有加减法，又有乘除法），要先算乘除法，后算加减法。例如：12+4×5，应先算4×5=20，再算12+20=32。2、有括号的混合运算：（1）小括号“（）”的作用：在混合运算中，如果要改变运算顺序，可以先算小括号里面的。括号里的运算同样遵循上述的运算顺序。例如：(12+4)×5，应先算括号里的12+4=16，再算16×5=80。（2）中括号“【】”的作用：在一个算式中，如果已经使用了小括号，还需要改变运算顺序时，就可以使用中括号。计算时，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。例如：【(12+4)×5】÷2，应先算小括号里的12+4=16，再算中括号里的16×5=80，最后算80÷2=40。▲【重要】运算顺序口诀：混合运算并不难，明确顺序是关键。同级运算最好办，从左到右依次算。两级运算都出现，先算乘除后加减。遇到括号更优先，先内后外记心间。四、有关0的运算【易错点】0是一个特殊且重要的数字，在四则运算中具有独特的性质：1、一个数加上0，还得原数。例如：a+0=a2、一个数减去0，还得原数。例如：a0=a3、一个数减去它本身，等于0。例如：aa=04、一个数和0相乘，仍得0。例如：0×a=05、0除以任何非0的数，还得0。例如：0÷a（a≠0）=06、★【特别注意】：0不能做除数。（1）为什么0不能做除数？我们可以从除法的意义来理解：如果除数是0，比如5÷0，我们就要找一个数，使得它与0相乘等于5。但任何数与0相乘都得0，找不到这样的数，所以不可能得到商。如果是0÷0，我们要找一个数与0相乘等于0，这样的数有无数个，商不唯一。因此，为了计算结果的确定性和唯一性，数学上规定0不能做除数。（2）0做除数无意义，在计算中一旦出现如“5÷0”或“0÷0”的式子，这个算式就是错误的，没有结果。五、四则运算的应用题【高频考点】【热点】本单元的应用题主要是利用四则混合运算解决生活中的实际问题，特别是需要“先求什么，再求什么”的两步或三步计算问题。关键是理清数量关系，确定解题步骤。（一）一般应用题解题步骤【重要】1、审题：认真读题，理解题意，弄清楚题目中给出的已知条件和要解决的问题。2、分析数量关系：分析已知条件和未知问题之间的联系，确定先算什么，再算什么。这是解题的核心步骤，可以借助画线段图、列表等方法帮助分析。3、列式计算：根据分析出的数量关系，列出正确的综合算式，并按照运算顺序进行计算。4、检验作答：将计算出的结果代入原题进行检验，看是否符合题意，最后写出完整的答语。（二）常见应用题类型与数量关系1、行程问题：数量关系：速度×时间=路程；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间。例如：一辆汽车每小时行60千米，4小时可行多少千米？（60×4=240千米）2、价格问题：数量关系：单价×数量=总价；总价÷数量=单价；总价÷单价=数量。例如：学校买了5个同样的篮球，共花了400元，每个篮球多少元？（400÷5=80元）3、工程问题：数量关系：工作效率×工作时间=工作总量；工作总量÷工作时间=工作效率；工作总量÷工作效率=工作时间。例如：王师傅每小时加工20个零件，加工160个零件需要几小时？（160÷20=8小时）4、和差问题（初步渗透）：已知两个数的和与差，求这两个数。解题公式：较大数=(和+差)÷2；较小数=(和差)÷2。例如：小明和小红一共有30本书，小明比小红多6本，两人各有多少本？分析：较大数是小明的本数，较小数是小红的本数。小明：(30+6)÷2=18（本）；小红：(306)÷2=12（本）。六、典型例题解析与解题技巧（一）运算顺序判断题例1：判断下面各题的计算顺序是否正确，并改正。题目：15050÷5×2错误解法：15050÷5×2=100÷5×2=20×2=40▲【解析】这道题错在没有掌握运算顺序。乘除法是同级运算，应该从左到右依次计算，而错误解法先算了减法。正确解法应先算除法，再算乘法，最后算减法。正确解法：15050÷5×2=15010×2=15020=130【易错警示】牢记“先乘除，后加减，同级运算从左到右”的规则。（二）带括号的综合算式列式题例2：用185减去15与12的积，差是多少？【解题思路】此题的关键词是“减去……的积”，说明被减数是185，减数是“15与12的积”。列式时需要保证先计算乘法，再计算减法。正确列式：18515×12如果列式为(18515)×12，意思就变成了“185减去15的差，再乘12”，与题意不符。▲【重要】在列综合算式时，如果需要改变运算顺序（即要先算加减法，后算乘除法），必须使用括号。（三）实际应用题例3：【热点题型】某玩具厂要生产840个玩具。已经生产了5天，平均每天生产120个。剩下的计划3天完成，平均每天需要生产多少个？【考点】本题考查学生分析数量关系，运用四则混合运算解决实际问题的能力。【解题步骤】1、审题：已知总量840个，已生产5天，每天120个；剩余部分计划3天完成。求剩余部分平均每天产量。2、分析数量关系：要求剩余部分平均每天产量，需要知道剩余的总个数和剩余的天数。剩余天数已知是3天，所以关键是求剩余的总个数。剩余总个数=需要生产的总个数已经生产的个数。已经生产的个数=每天生产的个数×生产的天数。3、列式计算：分步计算：（1）已经生产了多少个？120×5=600（个）（2）还剩多少个？=240（个）（3）剩下的平均每天生产多少个？240÷3=80（个）综合算式：（×5）÷3=（）÷3=240÷3=80（个）4、检验作答：先检验计算过程和结果是否正确，然后完整作答：平均每天需要生产80个。★【解题技巧】在列综合算式时，为了确保先算出“已经生产的个数”和“剩下的个数”，需要将减法运算用括号括起来。七、思维拓展与易错题辨析（一）错中求解问题【培优】例4：小马虎在计算“30+□×4”时，错误地先算了加法，后算了乘法，得到的结果是200。正确的结果应该是多少？【思路导航】这类问题需要“将错就错”，根据错误的运算顺序反推出未知数□的值，再代入原式按正确顺序计算。1、分析错误算法：小马虎的算法是(30+□)×4=200。2、根据错误算式求□：把(30+□)看成一个整体，它是一个因数，根据因数=积÷另一个因数，可得30+□=200÷4=50。再根据加数=和另一个加数，可得□=5030=20。3、代入原式求正确结果：原式是30+20×4。按正确顺序，先算乘法20×4=80，再算加法30+80=110。答：正确的结果应该是110。▲【要点】掌握四则运算各部分之间的关系是解决此类问题的金钥匙。（二）关于“0”的运算陷阱例5：判断：0除以任何数都得0。（）【解析】这道题是常见的判断题陷阱。正确的说法是“0除以任何非0的数都得0”。因为0不能做除数，所以“任何数”这个表述不严谨，必须排除0本身。答案：（×）（三）租船/租车问题【优化思想】【热点】例6：有32名同学去划船。大船每条限坐6人，租金30元；小船每条限坐4人，租金24元。怎样租船最省钱？【考点】本题考查学生综合运用四则运算进行方案优化与比较的能力，体现了数学的优化思想。【解题策略】解决此类问题的原则是：优先考虑人均租金便宜的船，并且尽量不留空位。1、计算每种船的人均租金：大船人均：30÷6=5（元）小船人均：24÷4=6（元）比较可知，大船的人均租金更便宜，所以应优先租大船。2、制订租船方案：方案一：全租大船。32÷6=5（条）……2（人）。需要租5条大船，但还多出2人。这2人可以再租1条小船。此时大船5条，小船1条。可坐人数：5×6+1×4=30+4=34（人），有空位2个。租金：5×30+1×24=150+24=174（元）方案二：调整，尽量不留空位。既然有2个空位，我们可以减少一条大船，把减少的6人和之前的2人凑起来，看看需要几条小船。即6+2=8（人），8÷4=2（条）。此时大船4条，小船2条。可坐人数：4×6+2×4=24+8=32（人），正好坐满，没有空位。租金：4×30+2×24=120+48=168（元）方案三：全租小船。32÷4=8（条），租金：8×24=192（元），比前两种都贵，可排除。3、比较与选择：比较方案一（174元）和方案二（168元），方案二的租金更少。答：租4条大船和2条小船最省钱，需要168元。★【核心方法】通过计算和比较，找到“尽可能租人均便宜的船”和“尽可能减少空位”的平衡点，就是最优方案。八、本单元学习能力培养1、抽象概括能力：从大量的具体计算实例中，抽象概括出加、减、乘、除的意义以及四则混合运算的法则。2、逻辑推理能力：能够根据数量之间的关系，进行有条理的思考，推导出解决实际问题的步骤，并能清晰地表达自己的思考过程。3、运算能力：能够准确、迅速地进行四则混合运算，特别是带有括号的复杂运算，并能运用各部分关系进行验算。4、建模意识：初步学会将生活中的实际问题抽象成数学问题，并用四则运算的模型（如行程模型、价格模型）去解决，感受数学的应用价值。九、单元综合检测要点1、填空题：主要考查四则运算的意义、各部分之间的关系、0的运算特性、运算顺序等基础概念。例如：一个数加上0得（），一个数和0相乘得（），0除以一个（）的数得0。2、判断题：考查对概念和法则的精确理解，特别是关于0的除法和运算顺序的易错点。3、选择题：在几个相似或混淆的算式中，选出符合题意或计算正确的选项。4、计算题：（1）直接写得数：考查基