初中七年级数学《有理数加减混合运算的深化与综合应用》教学设计（第二课时）

初中七年级数学《有理数加减混合运算的深化与综合应用》教学设计（第二课时）

一、设计理念与理论依据

  本教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，聚焦于发展学生的运算能力、推理意识、抽象能力以及应用意识。有理数的加减混合运算不仅是初中数学运算体系的基石，更是连接算术与代数的关键桥梁，是培养学生符号意识与程序化思维的重要载体。第二课时的设计，超越第一课时对基本法则与技能的掌握，致力于实现从“会算”到“理解算理”、“灵活运用”乃至“解决复杂问题”的认知跃迁。

  本课以建构主义学习理论为指导，强调学生在已有知识经验（正负数概念、绝对值、加法法则、减法法则及第一课时的运算技能）上的主动建构。通过创设富有现实意义与思维挑战性的问题情境，引导学生在分析、转化、归纳、演绎的探究活动中，深化对运算律（加法交换律、结合律）在混合运算中简化作用的理解，并掌握将加减混合算式统一为代数和形式进行高效、准确运算的策略。同时，渗透数学中的转化与化归思想、数形结合思想（如利用数轴解释运算），以及模型思想，为学生后续学习有理数的乘除、乘方及更复杂的代数运算奠定坚实的思维基础与习惯。

  教学过程贯彻“学生为主体，教师为主导”的原则，通过“问题导学—合作探究—精讲点拨—变式训练—反思内化”的递进式环节，鼓励学生独立思考、大胆质疑、合作交流，在解决认知冲突和实际问题的过程中，实现数学核心素养的有机生长。评价设计贯穿教学始终，兼顾过程性评价与终结性评价，关注学生的思维品质、参与程度及问题解决能力的提升。

二、教材与学情深度分析

  （一）教材内容解析

  本节课内容选自人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册第一章“有理数”第三节“有理数的加减法”的后半部分。教材在第一节“正数与负数”与第二节“数轴、相反数、绝对值”的概念铺垫，以及第三节第一课时明确了有理数加、减法各自法则的基础上，自然引出加减混合运算。教材编排逻辑清晰：首先通过实际问题引出加减混合运算的必要性，然后利用减法法则将减法统一转化为加法，从而将算式写成省略括号和加号的“代数和”形式，最后运用加法运算律进行简便计算。

  第二课时的教学价值在于深化与综合。它不仅是第一课时“统一为加法”操作的巩固，更是运算律在有理数领域推广应用的典型场景，是训练学生选择合理、简捷算法能力的关键节点。教材中的例题与练习，逐步从直接运算过渡到含有小数、分数的运算，以及寻找简便运算途径的题目，体现了思维的层次性。理解并熟练运用运算律简化计算，是本节课的核心目标，也是难点所在。这要求学生不仅掌握操作程序，更要理解运算律（交换律、结合律）在扩充到有理数集后依然成立的本质，并能根据算式的结构特征灵活识别和应用。

  （二）学生学情研判

  认知基础：经过前期学习，七年级学生已经理解了正负数的现实意义，掌握了利用数轴比较有理数大小、求相反数与绝对值的方法。在第一课时，他们学习了有理数的加法法则和减法法则，并初步体验了将加减混合算式转化为“代数和”形式进行运算的基本流程。对于“减去一个数等于加上这个数的相反数”这一转化规则，大部分学生能够记忆并模仿使用。

  潜在困难与生长点：尽管具备操作基础，但学生的认知可能存在以下薄弱环节：1.理解惰性：对“代数和”形式的本质（即一系列正负数的和）理解可能停留在表面，对省略括号和加号后算式的读法、意义可能模糊。2.法则混淆：在运算过程中，可能会不自觉地回到小学的加减法思维，忽视符号处理，或将加法法则与减法法则错误混用。3.策略单一：倾向于按从左到右的顺序机械计算，缺乏观察算式结构、主动运用运算律进行简算的意识与能力。4.符号障碍：面对连续多个符号（运算符号与性质符号）的算式时，容易产生畏难情绪和符号判断错误。5.应用脱节：难以将运算技能与解决实际问题有效关联，建立数学模型的能力尚在萌芽。

  基于此，本课的教学生长点在于：引导学生从“程序性操作”走向“理解性运算”，深刻体会转化思想的价值；通过对比不同算法，激发学生追求简算策略的内在动机；设计阶梯式问题链和综合性应用情境，提升运算的灵活性、准确性以及解决实际问题的综合能力。

三、教学目标

  （一）核心素养导向目标

  1.运算能力：能熟练、准确地将有理数的加减混合算式写成省略括号和加号的“代数和”形式，并运用加法运算律（交换律、结合律）选择合理、简捷的路径进行计算，提高运算的熟练度、灵活性及正确率。

  2.推理意识：在探究运用运算律简化计算的过程中，能有条理地表达算式的变形依据（如“这里运用了加法结合律，将同号数先结合”），初步形成步步有据的运算推理习惯。

  3.抽象能力：从具体算式的简化过程中，抽象概括出适用于有理数加减混合运算的一般简算策略（如“正负数分别结合”、“凑整结合”、“同分母分数结合”等）。

  4.应用意识：能够从实际生活情境（如收支记录、温度变化、水位升降、运动位移等）中抽象出有理数加减混合运算的数学模型，并运用所学知识解决问题，体会数学的实际价值。

  （二）具体教学目标

  1.知识与技能：

   （1）进一步巩固将有理数加减混合运算统一为加法运算（代数和形式）的方法。

   （2）理解并掌握在有理数加减混合运算中运用加法交换律和结合律进行简便计算的原理与方法。

   （3）能综合运用转化思想、运算律以及运算技巧，解决包含小数、分数的较复杂有理数加减混合运算。

   （4）能读懂并解决涉及有理数加减混合运算的实际应用问题。

  2.过程与方法：

   经历观察算式结构、探索简算方法、对比不同算法、归纳简算策略的完整探究过程，发展观察、分析、归纳和迁移应用的能力。

   通过小组合作讨论与交流，体验解决问题策略的多样性，学会倾听、表达与协作。

  3.情感、态度与价值观：

   在克服复杂运算困难、获得简算成功体验的过程中，增强学习数学的信心和兴趣。

   感受数学转化思想与运算律的普适性与简洁美，养成追求运算合理性与简洁性的思维习惯。

   体会数学与生活实际的紧密联系，增强应用数学知识解决现实问题的意识。

四、教学重难点

  （一）教学重点

  1.有理数加减混合运算中加法运算律的灵活运用。

  2.根据算式特点选择恰当策略进行简便计算。

  （二）教学难点

  1.准确识别算式结构，创造性地运用运算律进行简便计算（特别是符号的处理与数的组合）。

  2.从实际情境中准确抽象出数学问题，并列式进行有理数加减混合运算求解。

五、教学准备

  （一）教师准备

  1.多媒体课件：包含情境动画、问题链、典型例题、阶梯式练习、实际应用背景资料等。

  2.学习任务单（导学案）：设计探究活动记录、例题模仿区、分层练习区、反思小结区。

  3.教具：可书写磁贴（用于展示学生的不同解法），数轴模型。

  4.预设学生可能出现的错误类型及应对引导策略。

  （二）学生准备

  1.复习有理数加法法则、减法法则及第一课时学习的加减混合运算转化为加法的方法。

  2.回忆小学学过的加法交换律、结合律内容。

  3.准备课堂练习本、红笔（用于订正）。

六、教学过程实施

  （一）情境激趣，孕伏主题（预计用时：8分钟）

  1.创设现实情境，引出复杂运算：

   课件展示：“某快递仓库本周的货物进出记录（单位：件）：周一入库5件，出库8件；周二出库3件，入库10件；周三入库4件，出库6件；周四出库7件，入库2件；周五入库9件，无出库。请问到周五下班时，仓库的货物总量比上周结束时增加了多少件？（假设上周结束时库存为基准）”

   引导学生用正数表示入库，负数表示出库，将每日变化记录为：周一：-3；周二：+7；周三：-2；周四：-5；周五：+9。

   问题：要计算本周总变化量，如何列式？学生易得：(-3)+(+7)+(-2)+(-5)+(+9)。

   此算式是多个有理数的加法，但来源是每天的“入库减出库”这一混合运算。教师指出：生活中有很多连续变化的过程，最终需要求总和，这常常涉及到多个有理数的加法，其实质是加减混合运算的延伸。

  2.复习旧知，奠定基础：

   快速抢答：（1）将下列算式统一成加法，并写成省略括号和加号的形式：

    a.7-(+3)+(-5)-(-2)

    b.-4.5+(-2.1)-3.2-(+1.8)

   请两名学生板演，并简述步骤（减法变加法，省略括号和加号）。全班核对。

   教师强调“代数和”的读法：如7-3-5+2，应读作“正7、负3、负5、正2的和”，或按运算符号读，但心中需明确其“和”的本质。

  3.设疑导入，明确目标：

   针对情境中得到的算式(-3)+7+(-2)+(-5)+9，提问：“如果不使用计算器，你能快速口算出结果吗？怎样算比较快？”给学生片刻思考，可能有的学生按顺序加，有的学生可能会将正数、负数分别先加起来。教师捕捉后一种思路，引出课题：“今天，我们就来深入探究如何让有理数的加减混合运算——实质上是多个有理数的加法——算得更快、更准、更聪明！关键在于‘运算律’的妙用。”

  （二）探究新知，建构策略（预计用时：20分钟）

  1.探究活动一：运算律在有理数加法中仍然成立吗？

   问题1：我们小学学过加法交换律a

+

b

=

b

+

a

a+b=b+a

a+b=b+a和结合律(

a

+

b

)

+

c

=

a

+

(

b

+

c

)

(a+b)+c=a+(b+c)

(a+b)+c=a+(b+c)。这些律对于有理数还成立吗？请举例验证。

   学生独立举例（可包含正数、负数、零），同桌交流。教师巡视，选取有代表性的例子（如包含负数的情况）请学生用磁贴展示在黑板上，并口头说明验证过程。

   师生共同归纳：在有理数范围内，加法交换律和结合律依然成立。这为我们简化计算提供了理论依据。

  2.探究活动二：如何运用运算律简化计算？

   出示例题1：计算(

−

20

)

+

(

+

3

)

−

(

−

5

)

−

(

+

7

)

(-20)+(+3)-(-5)-(+7)

(−20)+(+3)−(−5)−(+7)。

   步骤1：先让学生独立将其转化为代数和形式：−

20

+

3

+

5

−

7

-20+3+5-7

−20+3+5−7。

   步骤2：学生尝试计算。教师收集不同算法：

    算法A（按顺序）：(

−

20

)

+

3

=

−

17

,

−

17

+

5

=

−

12

,

−

12

−

7

=

−

19

(-20)+3=-17,\quad-17+5=-12,\quad-12-7=-19

(−20)+3=−17,−17+5=−12,−12−7=−19。

    算法B（先转化后顺序）：−

20

+

3

=

−

17

,

−

17

+

5

=

−

12

,

−

12

−

7

=

−

19

-20+3=-17,\quad-17+5=-12,\quad-12-7=-19

−20+3=−17,−17+5=−12,−12−7=−19。（同A）

    算法C（运用运算律）：(

−

20

)

+

3

+

5

−

7

=

(

−

20

−

7

)

+

(

3

+

5

)

=

−

27

+

8

=

−

19

(-20)+3+5-7=(-20-7)+(3+5)=-27+8=-19

(−20)+3+5−7=(−20−7)+(3+5)=−27+8=−19。

    算法D（另一种组合）：(

3

+

5

)

+

(

−

20

−

7

)

=

8

+

(

−

27

)

=

−

19

(3+5)+(-20-7)=8+(-27)=-19

(3+5)+(−20−7)=8+(−27)=−19。

   步骤3：组织学生比较、讨论：

    （1）算法A/B和算法C/D的结果一样吗？（一样）

    （2）哪种算法你觉得更简便？为什么？（引导学生关注算法C/D将同号数先结合，使得计算过程中正数加正数、负数加负数，更符合认知习惯，减少了异号相加的判断次数，降低了出错率，可能更快。）

    （3）算法C中，将“-20”和“-7”结合的依据是什么？（加法结合律。实际上，过程是：(

−

20

+

3

)

+

5

−

7

(-20+3)+5-7

(−20+3)+5−7先结合前两项？不，更好的解释是：我们运用了加法交换律和结合律，将符号相同的数“凑”到一起。写成[

(

−

20

)

+

(

−

7

)

]

+

(

3

+

5

)

[(-20)+(-7)]+(3+5)

[(−20)+(−7)]+(3+5)更体现结合律。）

   教师精讲点拨：①在代数和的形式下，我们可以随意运用加法交换律调整加数的位置，运用结合律改变相加的顺序。②一个常用的简算策略是“同号结合法”：将正数和负数分别相加，再把所得结果相加。③书写时，可以运用加法交换律、结合律，将算式重组，但不改变其值。可以这样书写：

   原式

=

(

−

20

)

+

3

+

5

+

(

−

7

)

(统一为加法)

=

[

(

−

20

)

+

(

−

7

)

]

+

(

3

+

5

)

(交换律与结合律)

=

(

−

27

)

+

8

=

−

19

   \begin{aligned}

   原式=(-20)+3+5+(-7)\quad\{(统一为加法)}\\

   =[(-20)+(-7)]+(3+5)\quad\{(交换律与结合律)}\\

   =(-27)+8\\

   =-19

   \end{aligned}

      原式         ​=(−20)+3+5+(−7)(统一为加法)=[(−20)+(−7)]+(3+5)(交换律与结合律)=(−27)+8=−19   ​   

   强调：第一步转化是基础；第二步重组是关键，需心算或草稿上完成数的分组；第三步分别计算；第四步求和。

  3.探究活动三：简算策略的归纳与拓展。

   出示例题2：计算1

2

+

(

−

2

3

)

−

(

−

4

5

)

+

(

−

1

2

)

−

(

+

1

3

)

\frac{1}{2}+(-\frac{2}{3})-(-\frac{4}{5})+(-\frac{1}{2})-(+\frac{1}{3})

21​+(−32​)−(−54​)+(−21​)−(+31​)。

   引导学生观察算式特点。学生独立思考后小组讨论：“这个算式有什么特点？你能想出几种简算方法？”

   预设学生发现：①有互为相反数的数1

2

\frac{1}{2}

21​和−

1

2

-\frac{1}{2}

−21​；②分母有公倍数或同分母的分数−

2

3

-\frac{2}{3}

−32​和−

1

3

-\frac{1}{3}

−31​。

   请小组代表分享策略并板书过程：

   策略一：先统一为加法，然后利用交换结合律，将相反数结合得0，同分母分数结合。

   原式

=

1

2

+

(

−

2

3

)

+

4

5

+

(

−

1

2

)

+

(

−

1

3

)

=

[

1

2

+

(

−

1

2

)

]

+

[

(

−

2

3

)

+

(

−

1

3

)

]

+

4

5

=

0

+

(

−

1

)

+

4

5

=

−

1

5

   \begin{aligned}

   原式=\frac{1}{2}+(-\frac{2}{3})+\frac{4}{5}+(-\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3})\\

   =[\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})]+[(-\frac{2}{3})+(-\frac{1}{3})]+\frac{4}{5}\\

   =0+(-1)+\frac{4}{5}\\

   =-\frac{1}{5}

   \end{aligned}

      原式         ​=21​+(−32​)+54​+(−21​)+(−31​)=[21​+(−21​)]+[(−32​)+(−31​)]+54​=0+(−1)+54​=−51​   ​   

   策略二：先将同分母分数结合，再与其它数运算。

   师生共同归纳简算策略“工具箱”：

   （1）同号结合法：正数与正数结合，负数与负数结合。

   （2）相反数结合法：互为相反数的两数结合，和为零。

   （3）同分母（或易通分）结合法：将分母相同或容易通分的分数结合在一起，便于计算。

   （4）凑整法：将相加能得整数的数（如-7.5和+7.5，-99和+100等）结合。

   教师强调：策略不是孤立的，往往需要综合运用。核心是观察结构，灵活重组。

  （三）变式训练，深化理解（预计用时：10分钟）

   设计分层练习，学生在学习任务单上完成，教师巡视指导，针对性点拨。

   基础巩固组（全体必做）：

   1.下列计算是否正确？如不正确，请指出错误并改正。

    (1)−

5

−

8

+

3

=

−

5

−

11

=

−

16

-5-8+3=-5-11=-16

−5−8+3=−5−11=−16（错，顺序运算错误，未统一成加法）

    (2)3.5

+

(

−

2.8

)

−

1.2

+

(

−

4.5

)

=

[

3.5

+

(

−

4.5

)

]

+

[

(

−

2.8

)

−

1.2

]

=

(

−

1

)

+

(

−

4

)

=

−

5

3.5+(-2.8)-1.2+(-4.5)=[3.5+(-4.5)]+[(-2.8)-1.2]=(-1)+(-4)=-5

3.5+(−2.8)−1.2+(−4.5)=[3.5+(−4.5)]+[(−2.8)−1.2]=(−1)+(−4)=−5（对，但第二组结合实质是[

(

−

2.8

)

+

(

−

1.2

)

]

[(-2.8)+(-1.2)]

[(−2.8)+(−1.2)]）

   2.运用运算律简便计算：

    (1)16

+

(

−

25

)

+

24

−

35

16+(-25)+24-35

16+(−25)+24−35

    (2)−

2.4

+

3.5

−

4.6

+

3.5

-2.4+3.5-4.6+3.5

−2.4+3.5−4.6+3.5

   能力提升组（大部分学生选做）：

   3.计算：（侧重分数与小数）

    (1)(

−

2

3

)

+

1

2

−

(

−

5

6

)

−

(

+

1

4

)

(-\frac{2}{3})+\frac{1}{2}-(-\frac{5}{6})-(+\frac{1}{4})

(−32​)+21​−(−65​)−(+41​)

    (2)−

0.5

−

(

−

3

4

)

+

2.75

−

(

+

5.5

)

-0.5-(-\frac{3}{4})+2.75-(+5.5)

−0.5−(−43​)+2.75−(+5.5)

   4.请至少用两种不同的简算方法计算：−

1.75

+

2.5

+

(

−

3.25

)

+

(

−

4.5

)

+

5

-1.75+2.5+(-3.25)+(-4.5)+5

−1.75+2.5+(−3.25)+(−4.5)+5。比较哪种方法你更喜欢。

   思维挑战组（学有余力选做）：

   5.在方框内填上适当的数，使等式成立，并思考如何运用运算律思想来思考：

    □

+

(

−

5

)

+

9

+

□

+

(

−

4

)

=

0

\square+(-5)+9+\square+(-4)=0

□+(−5)+9+□+(−4)=0

   6.已知∣

a

∣

=

3

,

∣

b

∣

=

5

|a|=3,|b|=5

∣a∣=3,∣b∣=5，且a

<

b

a<b

a<b，求a

−

b

+

(

−

a

)

+

b

a-b+(-a)+b

a−b+(−a)+b的值。（渗透绝对值分类讨论，但结合后简化）

   练习后，组织学生汇报、互评。重点讲评错误率高或方法多样的题目。对于第5、6题，请想出解法的学生分享思路，教师提炼其中的“整体思想”、“抵消思想”。

  （四）综合应用，链接生活（预计用时：7分钟）

   回归课堂伊始的“仓库货物问题”，现在请学生用新学的简算策略快速口算：(-3)+7+(-2)+(-5)+9。

   学生展示：[

7

+

9

]

+

[

(

−

3

)

+

(

−

2

)

+

(

−

5

)

]

=

16

+

(

−

10

)

=

6

[7+9]+[(-3)+(-2)+(-5)]=16+(-10)=6

[7+9]+[(−3)+(−2)+(−5)]=16+(−10)=6（件）。答：增加了6件。

   拓展应用情境：

   情境A（水文监测）：“某河流的警戒水位是30米。夏季某周水位变化记录如下（相对于前一天的变化，单位：米）：+0.8，-0.3，-0.5，+1.2，+0.4，-0.7，-0.2。已知上周日水位是29.5米，请问本周日水位是否超过警戒水位？”

   引导学生分析：①先求一周总变化量；②再求本周日水位。列式：总变化量=0.8

−

0.3

−

0.5

+

1.2

+

0.4

−

0.7

−

0.2

0.8-0.3-0.5+1.2+0.4-0.7-0.2

0.8−0.3−0.5+1.2+0.4−0.7−0.2。鼓励用简算：(

0.8

+

1.2

+

0.4

)

+

[

(

−

0.3

)

+

(

−

0.5

)

+

(

−

0.7

)

+

(

−

0.2

)

]

=

2.4

+

(

−

1.7

)

=

0.7

(0.8+1.2+0.4)+[(-0.3)+(-0.5)+(-0.7)+(-0.2)]=2.4+(-1.7)=0.7

(0.8+1.2+0.4)+[(−0.3)+(−0.5)+(−0.7)+(−0.2)]=2.4+(−1.7)=0.7（米）。本周日水位：29.5+0.7=30.2（米）>30米，超过警戒水位。

   情境B（股票账户）：“小明爸爸的股票账户上周五收盘时市值为10万元。本周每天市值变化情况如下（单位：万元）：+0.5，-0.2，-0.8，+1.1，-0.3。请计算本周五收盘时的市值。”（过程略）

   通过解决这些实际问题，让学生深刻体会：有理数加减混合运算（多个数连加）是描述连续变化量总效果的强大数学工具，而简算策略能帮助我们更高效地做出分析与判断。

  （五）反思小结，体系内化（预计用时：5分钟）

   1.知识网络建构：

    教师引导学生以思维导图或知识树的形式，共同梳理本节课的核心内容：

    核心：有理数加减混合运算的简便计算。

    依据：加法交换律a

+

b

=

b

+

a

a+b=b+a

a+b=b+a；加法结合律(

a

+

b

)

+

c

=

a

+

(

b

+

c

)

(a+b)+c=a+(b+c)

(a+b)+c=a+(b+c)。

    步骤：①（若有减法）统一为加法（代数和）；②观察结构，运用运算律重组；③分别计算各组；④得出最终结果。

    策略：同号结合、相反数结合、同分母结合、凑整结合等。

    思想：转化思想（减化加）、化归思想（复杂化为简单）、优化思想（追求简捷）。

   2.学生自主反思：

    在学习任务单的“反思区”回答：（1）我今天掌握的最重要的一个方法或策略是什么？（2）在今天的练习或应用中，我最容易在哪个环节出错？以后要注意什么？（3）我还能想到哪些可以用今天所学知识解决的生活中的问题？

   3.教师总结寄语：

    “同学们，今天我们一起解锁了有理数加减混合运算的‘简算秘籍’。数学运算不仅要求对，更追求巧和妙。这种‘观察结构，灵活转化，寻求最优’的思维策略，不仅在数学中，在解决许多实际问题时都至关重要。希望你们能将这种思维习惯保持下去，做学习的有心人，生活的智慧者。”

七、分层作业设计

  （一）基础性作业（全体完成，巩固双基）

   1.教科书对应章节的练习题（必做题），重点完成涉及简便计算的题目。

   2.自行编写一道包含至少4个数的有理数加减混合运算题（要求包含分数或小数），并运用至少一种简算策略解答，写出简要过程。

  （二）拓展性作业（鼓励完成，提升能力）

   3.实践调查：记录自家连续5天的电表读数（或水表、燃气表），计算每天的使用量（后一天减前一天），再用有理数加减运算计算这5天的总使用量。思考：每天的用量变化可以用正负数表示吗？总使用量的计算属于我们今天学的哪种运算？

   4.探究题：计算1

−

2

+

3

−

4

+

5

−

6

+

…

+

99

−

100

1-2+3-4+5-6+\ldots+99-100

1−2+3−4+5−6+…+99−100的值。（提示：观察相邻两项，你能发现什么规律？如何分组？）

  （三）挑战性作业（自主选择，发展思维）

   5.数学小论文（提纲或片段）：以“运算律——让计算飞起来的翅膀”为题，结合本节课的例子，谈谈你对运