小学五年级数学 公倍数与最小公倍数 单元整体教学设计

小学五年级数学公倍数与最小公倍数单元整体教学设计

一、教学内容分析

（一）【基础】教材逻辑与知识定位

本课内容隶属于冀教版小学数学五年级下册第二单元《异分母分数加减法》，是本单元的核心概念课，也是后续学习通分、异分母分数加减法以及分数大小比较的认知基础和算法前提。教材编排遵循从生活情境抽象出数学概念，再回归到算法探究与应用拓展的逻辑线索。通过“打字比赛”这一真实情境，引发比较5/6和3/4大小的需求，在将异分母分数转化为同分母分数的过程中，学生发现可以选择不同的公倍数作为公分母，进而产生对“最小公倍数”这一最优解的认识需求。随后，教材引导学生从具体的数例抽象出公倍数与最小公倍数的定义，并通过“找公倍数”的活动，探究其方法（列举法、集合法）及特殊关系（倍数关系、互质关系）下最小公倍数的规律。整个编排体现了从感性认识到理性分析，从算法多样化到算法优化的认知过程，渗透了集合思想与优化思想。

（二）【重要】核心素养聚焦

本课教学不仅仅是教授一个数学概念和一种计算方法，更承载着发展学生核心素养的重要任务：

1.数感与运算能力的深化：在理解公倍数意义的基础上，为后续通分、分数运算奠定坚实的算理基础，使学生明白“为什么要用最小公倍数”以及“怎么用”，提升运算的合理性与简洁性。

2.抽象与概括能力的培养：引导学生从“共同的休息日”、“共同的正方形边长”等具体实例中，剥离出非本质属性，抽象概括出公倍数与最小公倍数的数学定义，经历概念形成的完整过程。

3.模型意识的初步建立：将生活问题（如铺砖、周期相遇）转化为求两个数的最小公倍数问题，初步感知数学建模的过程，体会数学的应用价值。

4.推理意识的渗透：在探究特殊关系的两个数的最小公倍数规律时，引导学生通过观察、比较、归纳，进行合情推理，发现并总结规律。

二、教学目标设定

基于课程标准的“四基”、“四能”要求，结合本课内容的育人价值，确立如下分层教学目标：

（一）【基础】知识与技能目标

1.学生结合具体情境，理解公倍数和最小公倍数的意义，能用自己的语言描述其含义。

2.掌握求两个数的最小公倍数的基本方法——列举法（包括一般列举法和筛选法），能用集合图表示两个数的倍数和公倍数。

3.能够熟练地求出有特殊关系的两个数（倍数关系、互质关系）的最小公倍数，并能运用所学知识解决简单的实际问题。

（二）【重要】过程与方法目标

1.经历探索和归纳公倍数、最小公倍数意义的过程，通过观察、猜测、验证、归纳等数学活动，发展抽象思维和推理能力。

2.在比较、分析不同找公倍数方法的过程中，体会解决问题策略的多样化，并在此基础上进行优化，提升思维的灵活性和深刻性。

（三）【非常重要】情感态度与价值观目标

1.在自主探索与合作交流的过程中，获得成功的体验，树立学好数学的信心。

2.感受数学与生活的紧密联系，体会数学知识的内在魅力与应用价值，激发学习数学的兴趣和探索欲望。

3.通过认识公倍数无限、最小公倍数唯一的特性，初步渗透有限与无限的辩证思想。

三、教学重难点及突破策略

（一）【难点】教学重点

理解公倍数与最小公倍数的意义，掌握求两个数的最小公倍数的方法。

【突破策略】通过创设“打字比赛”和“铺正方形”的双重情境，从“用”的角度引发对“公倍数”的需求；通过动手操作、合作交流，让学生在寻找、列举、验证的过程中，直观感受公倍数的存在与最小公倍数的唯一性，从而深刻理解概念的内涵。

（二）【非常重要】教学难点

理解求最小公倍数“为什么有无数个”以及“为什么没有最大的”，并探究发现特殊关系的两个数的最小公倍数的规律。

【突破策略】在列举4和6的公倍数时，通过追问“还能继续找下去吗？找得完吗？”引导学生发现倍数个数无限，从而推导出公倍数个数也无限，自然突破“没有最大公倍数”的难点。对于特殊规律的探究，设计对比观察的练习组（如3和9，5和7，4和6），引导学生分组讨论、汇报交流，在思维碰撞中发现并总结规律。

四、教学准备

教师准备：多媒体课件（PPT），包含打字比赛情境图、数轴动画、集合圈展示动画；长3厘米、宽2厘米的小长方形纸片若干（供小组活动用）。

学生准备：草稿本，练习纸，彩笔。

五、教学实施过程（核心环节）

本教学过程共设计为五个环环相扣、层层递进的环节，总用时约40分钟。

（一）创设情境，激趣导入——从“用”而生“需”

1.呈现情境，引发冲突：教师利用课件动态呈现“打字比赛”场景：红红和聪聪录入同一份稿件，红红用了3/4小时，聪聪用了5/6小时。教师提出问题：“同学们，你们能判断出谁打得快吗？”

2.激活旧知，尝试解决：学生根据已有知识（比较分数大小）明确，用时少的人打得快，即需要比较3/4和5/6的大小。这是两个异分母分数，学生自然会想到“通分”。教师鼓励学生独立尝试通分并比较。

3.展示方法，初步感知：教师巡视，选取典型解法进行展示。

生1：用24作公分母，3/4=18/24，5/6=20/24，因为18/24<20/24，所以3/4<5/6，红红快。

生2：用12作公分母，3/4=9/12，5/6=10/12，因为9/12<10/12，所以3/4<5/6，红红快。

4.聚焦问题，引出课题：教师引导全班对比观察这两种方法：“真奇怪，同样的两个分数，有的同学用24作公分母，有的用12作公分母，都正确比较出了大小。你更喜欢哪一种？为什么？”学生自然回答用12更简便。教师追问：“24和12，和原来的分母4、6有什么共同的关系吗？”（学生回答：它们既是4的倍数，也是6的倍数）。教师顺势揭示课题：“同学们，像12、24这样，既是4的倍数，又是6的倍数，我们称它们是4和6的‘公倍数’。其中最小的那个12，就是它们的最小公倍数。今天这节课，我们就来深入认识这位新朋友——最小公倍数。”（板书课题：公倍数与最小公倍数）

【设计意图】此环节从学生熟悉的生活情境入手，将新知（公倍数）蕴含于旧知（通分）的解决过程中。通过算法多样化的比较，自然地引出“公分母”的选择问题，使学生初步感知到“公倍数”的存在及其“最小化”的价值，激发了学生内在的学习动机，体现了“数学来源于生活，又服务于生活”的理念。

（二）操作建构，理解概念——从“形”而入“理”

1.动手操作，深化感知：教师出示探究任务二（小组合作）：“请拿出老师发给你的小长方形，它的长是3厘米，宽是2厘米。现在请你用若干个这样的长方形拼成一个大的正方形。想一想，拼成的正方形的边长可能是多少厘米？动手试一试，并把你的发现记录下来。”

2.小组合作，教师巡视：学生分组操作，教师巡视指导，鼓励学生尝试拼出不同边长的正方形，并思考边长与小长方形长、宽的关系。

3.汇报交流，数形结合：

组1：我们拼出了边长6厘米的正方形。一行摆了3个（长3×2=6），摆了2行（宽2×3=6）。

组2：我们拼出了边长12厘米的正方形。一行摆了4个（长3×4=12），摆了3行（宽2×6=12）。

组3：我们还拼出了边长18厘米的正方形……

4.抽象概括，揭示概念：教师根据学生汇报，板书正方形可能的边长：6，12，18，24……随后提问：

师：为什么正方形的边长不能是5厘米、7厘米、8厘米？（引导学生理解：正方形的边长必须既是小长方形长的倍数，又是宽的倍数。）

师：那么，这些可能的边长（6，12，18……）和小长方形长3、宽2有什么关系？

生：它们既是2的倍数，也是3的倍数。

师：数学上，就把这几个数公有的倍数，叫做2和3的“公倍数”。其中最小的那个6，就叫做2和3的“最小公倍数”。（结合板书，完善定义）

5.借助数轴，理解内涵：教师利用课件动态展示数轴，分别用红色点闪烁表示2的倍数，用蓝色点闪烁表示3的倍数，当两种颜色点在同一位置重合时（如6，12，18……），这些点对应的数就是2和3的公倍数。通过直观演示，让学生深刻理解“公”的含义——公共拥有。同时，引导学生观察数轴，发现公倍数的个数是无限的，没有最大的，但有一个最小的。从而明确【难点】：“两个数没有最大的公倍数。”

【设计意图】本环节通过“形”的操作支撑“数”的理解，将抽象的倍数关系转化为直观的正方形拼摆，符合五年级学生由具体到抽象的认知规律。数轴的引入，将无限的思想可视化，有效突破了“公倍数无限、没有最大”这一认知难点，使概念的建立更加扎实、深刻。

（三）算法探究，优化策略——从“法”而悟“道”

1.自主探究，方法多样化：教师出示问题：“我们已经理解了公倍数的意义，那么如何求出两个数的公倍数和最小公倍数呢？以4和6为例，请同学们用自己的方法找一找。”

学生独立尝试，教师巡视，搜集典型方法。

2.展示交流，思维碰撞：

方法一（列举法）：分别列出4和6的倍数，再找公有的。

4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36……

6的倍数：6，12，18，24，30，36……

公倍数：12，24，36……最小公倍数：12。

方法二（筛选法）：先列出较大数（或较小数）的倍数，再看这些倍数是否是另一个数的倍数。

6的倍数：6，12，18，24，30……

其中4的倍数有：12，24……最小公倍数是12。

方法三（集合图法）：用韦恩图表示，两个椭圆分别代表4和6的倍数，相交部分就是公倍数。

3.对比优化，提炼算法：教师引导学生对比这几种方法：“你觉得哪种方法最清晰？哪种最快捷？为什么？”在讨论中达成共识：列举法最基础，适合所有情况；筛选法更快捷，尤其当数字较大时。无论哪种方法，都要注意用省略号表示倍数的无限性，并准确找出最小的那个。

4.【重要】规律探寻，提升思维：教师出示一组有特殊关系的数，要求学生快速说出它们的最小公倍数，并观察特点。

第一组：3和9，5和10，4和8（倍数关系）

第二组：3和5，4和7，8和9（互质关系）

第三组：4和6，6和9，8和10（一般关系）

学生分组计算，然后全班汇报。教师引导归纳：

生1：我发现第一组中，大数是小数的倍数，它们的最小公倍数就是那个大数。

生2：我发现第二组中，两个数只有公因数1，它们的最小公倍数就是它们的乘积。

教师板书规律：【高频考点】“倍数关系时，最小公倍数是较大数；互质关系时，最小公倍数是两数的积。”

【设计意图】此环节充分体现了“以学生为主体”的教学理念。从方法的自主探索，到交流碰撞，再到优化提炼，最后上升到规律的总结，学生经历了完整的数学探究过程。这不仅使学生掌握了知识与技能，更培养了学生的观察、比较、归纳、概括的能力，实现了从“学会”到“会学”的转变。

（四）分层练习，巩固应用——从“知”而达“能”

1.【基础性练习】（面向全体，巩固新知）

（1）填一填：6的倍数有（），9的倍数有（），6和9的公倍数有（），最小公倍数是（）。

（2）用集合图表示4和8的公倍数。

（3）求下面每组数的最小公倍数：5和7，12和24，15和20。

2.【综合性练习】（面向多数，形成技能）

（1）判断：两个数的公倍数一定比这两个数都大。（）并说明理由。

（2）选择：a是b的3倍（a、b均为非0自然数），a和b的最小公倍数是（）。A.aB.bC.a×b

（3）比较大小（用今天学的知识解释）：5/6和7/8，4/9和3/7。

3.【拓展性练习】（面向优生，发展思维）

（1）生活应用：人民公园是4路和7路公交车的起点站。4路公交车每6分钟发车一次，7路公交车每8分钟发车一次。这两路公交车同时发车后，至少再过多少分钟又同时发车？

（2）思维挑战：有一包糖果，无论是平均分给8个小朋友，还是平均分给10个小朋友，都正好剩3块。这包糖果至少有多少块？

（3）【难点/高频考点】已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，其中一个数是12，另一个数是多少？

【设计意图】练习设计遵循“由浅入深、由易到难”的原则，兼顾基础性与发展性。通过基础练习，确保所有学生达成课时基本目标；通过综合练习，强化学生对概念的理解和方法的灵活运用；通过拓展练习，满足学有余力学生的求知欲，培养学生综合运用知识解决实际问题的能力，特别是最后一题，逆向考查了学生对最大公因数与最小公倍数关系的理解，极具思维挑战性。

（五）课堂总结，反思升华——从“学”而悟“道”

1.回顾梳理：教师引导学生从知识、方法、感受三个方面进行总结。

师：同学们，这节课快要结束了，请大家静静地回想一下，这节课我们学习了什么？我们是怎样学习的？你最大的收获或感受是什么？

2.全班交流，分享收获：

生1：我认识了公倍数和最小公倍数，知道了什么叫公倍数。

生2：我学会了用列举法和筛选法求最小公倍数。

生3：我知道了当两个数是倍数关系时，最小公倍数就是大数；互质时，就是它们的乘积。

生4：我觉得数学和生活联系很紧密，排队问题和铺砖问题都能用最小公倍数解决。

3.教师提升，寄语未来：同学们，今天我们从一个生活问题出发，通过动手操作、动脑思考、合作交流，不仅认识了“公倍数与最小公倍数”这位新朋友，还学会了如何找到它、使用它。其实，在数学王国里，还有很多这样有趣的“朋友”等着我们去发现。希望大家在今后的学习中，继续用善于观察的眼睛和勇于探索的心灵，去揭开一个又一个数学奥秘！

【设计意图】通过回顾与反思，帮助学生构建系统的知识结构，将零散的知识点串联成线、编织成网。同时，引导学生关注学习过程和方法，体悟数学思想，将三维目标有机融合，实现课堂的升华。

六、板书设计

公倍数与最小公倍数

1.定义：

几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。

其中最小的一个，叫做它们的最小公倍数。

（没有最大的公倍数）

2.求法：

（1）列举法

（2）筛选法

3.规律：

（1）倍数关系→较大数

（2）互质关系→两数之积

七、教学反思（预